Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Bắc Ninh năm 2014

Câu 1. (4 điểm). Cho biểu thức:

1. Rút gọn P.

2. Tìm giá trị của x để P = 3.

Câu 2. (4 điểm). Cho phương trình x2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0 (1) (x là ẩn số, m là tham số).

1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của (1). Tìm m để |x₁ - x₂| = 17

Câu 3. (4 điểm)

1.Giải hệ phương trình:

2. Cho các số thực m, n, p thoả mãn: . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S = m + n + p.

Câu 4 (5 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo với nhau góc 60⁰, nằm về hai phía của AB, cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF.

1. Chứng minh rằng

2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.

3. Khi tam giác AMN đều, gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN (C # A, N # C). Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí của điểm C để diện tích tam giác MCD là lớn nhất.

Câu 5 (3 điểm).

1. Cho 2014 số nguyên dương không lớn hơn 2014 và có tổng bằng 4028. Chứng minh rằng từ 2014 số đó luôn chọn được các số mà tổng của chúng bằng 2014.

2. Cho tam giác ABC có các điểm D,E,F lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CA. Gọi giao điểm của AE với BF và CD lần lượt là Q, R, giao điểm của CD và BF là P. Biết diện tích bốn tam giác ADR, BEQ, CFP, PQR cùng bằng 1. Chứng minh các tứ giác AFPR, BDRQ, CEQP có diện tích bằng nhau.