Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Vĩnh Phúc năm 2014

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Cho biểu thức: . Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để giá trị của M là một số nguyên.

b) Cho đa thức P(x) = ax² + bx + c thỏa mãn đồng thời các điều kiện P(x) ≥ 0 với mọi số thực x và b > a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 2 (2,0 điểm).

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau vô nghiệm:

Câu 3 (1,0 điểm).

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng số chia hết cho 60.

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho đường tròn (O) có tâm là O và bán kính bằng R. Hai điểm phân biệt B, C cố định nằm trên (O) sao cho BC = a < 2R. Gọi A là điểm bất kì thuộc cung lớn BC của (O), A không trùng với B, C. Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC. Hai điểm E, F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADB và ADC.

a) Chứng minh rằng hai tam giác AEO và ADC đồng dạng.

b) Tính diện tích tứ giác AEOF theo a và R .

c) Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi thì E di chuyển trên một đường thẳng cố định.

Câu 5 (1,0 điểm).

Trên một đường tròn cho 21 điểm phân biệt. Mỗi một điểm được tô bởi một trong 4 màu: xanh, đỏ, tím, vàng. Giữa mỗi cặp điểm nối với nhau bằng một đoạn thẳng được tô bởi một trong 2 màu: nâu hoặc đen. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có ba đỉnh được tô cùng một màu (xanh, đỏ, tím hoặc vàng) và ba cạnh cũng được tô cùng một màu (nâu hoặc đen).