Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS Tỉnh Hà Nam năm 2012 - 2013

Bài 1. (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức P.

2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2.

Bài 2. (4,0 điểm)

1. Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn 18a + 4b ≥ 2013. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm: 18ax2 + 4bx + 671 - 9a = 0.

2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình x³ + 2x² + 3x + 2 = y³.

Bài 3. (4,5 điểm)

1. Cho p và 2p + 1 là hai số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 4p + 1 là một hợp số.

2. Giải phương trình:

Bài 4. (6,0 điểm)

Cho góc xOy có số đo bằng 60^o. Đường tròn có tâm K nằm trong góc xOy tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P thỏa mãn OP = 3OM. Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F.

1. Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ.

2. Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp được trong đường tròn.

3. Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giác DEF là một tam giác đều.

Bài 5. (2,0 điểm)

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng: