Góc nội tiếp hình học lớp 9

Toán lớp 9: Góc nội tiếp hình học

Góc nội tiếp hình học là tài liệu bồi dưỡng môn Toán lớp 9. Được VnDoc sưu tầm và chọn lọc, với tài liệu này các bạn học sinh nắm rõ định nghĩa, hệ quả của góc nội tiếp cũng như năm chắc kiến thức Toán lớp 9. Mời các bạn tham khảo tài liệu dưới đây

• Các bài toán thực tế trong đề tuyển sinh vào 10 THPT
• Bài tập căn bậc hai – căn bậc ba
• Sơ đồ tư duy Toán lớp 9
• Tài liệu ôn thi cấp tốc Đại số lớp 9
• Các dạng toán căn bậc ba - Toán lớp 9

Góc nội tiếp Hình học 9

Kiến thức cần nhớ:

Định nghĩa.

Góc nội tiếp là một góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây của đường tròn đó.

Định lí. Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Hệ quả

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng \(90^0\)) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Ví dụ 20

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B, o nằm trên đường tròn (O’). Dây AC của (O) cắt (O’) ở D, dây OE của (O’) cắt (O) ở F như trên hình. Chứng minh rằng:

a) OD ⊥ BC;

b) Điểm F cách đều ba cạnh của tam giác ABE.

Giải.

Kẻ hai bán kính OB và OC.

Do đó tia AF là tia phân giác của góc EAB. Chứng minh tương tự ta cũng có tia BF là tia phân giác của góc ABE. F là giao điểm hai đường phân giác trong của tam giác ABE nên điểm F cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Ví dụ 21

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Qua A kẻ hai đường thẳng

CD và EF, cắt (O) tại C và E, cắt (O’) tại D và F. Biết EÂB = DÂB, chứng minh rằng CD = EF.

Giải.

Kẻ BH ⊥ EF và BK ⊥ CD.

Vì AB là tia phân giác của góc EAD nên BH = BK.

Do đó hai tam giác vuông EHB và CKB bằng nhau (g.c.g) nên EH = CK. (1)

Chứng minh tương tự, ta có FH = DK. (2)

Từ (1) và (2) suy ra EF = CD.

BÀI TẬP

79. Hãy tính số đo góc BDC trong hình.

80. Trong hình có CA = CD. Hãy tính số đo BÂC.

81. Hãy tính số đo các góc ACB và OAC trong hình.

82. Trong hình, CA // DE. Hãy tính số đo các góc ODE và OAB.

83. Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB. Hai dây AD và BC cắt nhau tại một điểm E nằm trong (O).

a) Chứng minh rằng: AE . AD + BE . BC = \(4R^2\).

b) Hãy dựng một dây đi qua E và có độ dài bằng a cho trước (a ≤ 2R).

84. Cho hai đường thẳng song song. Một đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng tại A và cắt đường thẳng kia tại B và C. Trên đường tròn lấy một điểm D (không trùng với A, B, C). Chứng minh rằng điểm A cách đều hai đường thẳng BD và CD.

85*. MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O). C là một điểm nằm trên cung AB của đường tròn tâm M (A, B nằm trên (O)). Tia AC và tia BC cắt lại đường tròn (O) ở P và Q. Chứng minh rằng p và Q đối xứng nhau qua O.

86*. Cho một điểm p ở trong góc nhọn xAy. Hãy dựng một góc vuông đỉnh P, có một cạnh cắt Ax ở E, cạnh kia cắt Ay ở F sao cho các tam giác APE và APF có diện tích bằng nhau.

87. Trên các cạnh AB và BC của tam giác ABC, lấy các điểm A’ và C’ sao cho \(\frac{A’B}{AB}=\frac{1}{2}\) và \(\frac{BC’}{BC}=\frac{1}{4}\). Vẽ đường tròn qua 3 điểm A’, B, C’. Qua điểm A’, kẻ một đường thẳng cắt đoạn BC’ ở D, cắt đường tròn ở R Tính diện tích tam giác A’C’E biết rằng BC’ = 6 cm, BD = 2 cm, DE = 3 cm và diên tích tam giác ABC là 32 \(cm^2\).

88*. Trên cạnh CD của hình vuông ABCD ta lấy một điểm M (khác c và D). Các đường tròn đường kính CD và AM cắt nhau tại một điểm thứ hai N (khác D). Tia DN cắt BC tại p. Chứng minh rằng AC vuông góc với PM.

89*. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy một điểm M. Gọi N là một điểm nằm trong tam giác. Các điểm A’, B’, C theo thứ tự đối xứng với M qua các đường thẳng AN, BN và CN. Biết rằng AA’, BB’, CC’ song song với nhau. Chứng minh rằng N là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

90. Trên một đường thẳng xy, lấy ba điểm A, C, B (C nằm giữa A và B). Hãy xác định điểm D (khác C) trên xy sao cho DA/DB = CA/CB.

Hướng dẫn giải bài Góc nội tiếp

83.

a) Kẻ EF ⊥ AB. Từ hai tam giác vuông đồng dạng EFB và ACB ta có

BE.BC = AB.BF. (1)

Tương tự ta cũng có:

AE AD = AB.AF. (2)

Cộng từng vế (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

b) Gọi M là trung điểm của dây cần dựng thì M ‘thuộc đường tròn

này chứa dây cần dựng.

84.

Xét hai trường hợp vị trí của điểm D như ở hình a và hình b.

85.

Do đó P, O, Q thẳng hàng.

86.

Kẻ đường vuông góc với AP tại A, trên đó đặt về hai phía AM = AN. Kẻ MM’ và NN’ song song với AP. Vẽ đường tròn đường kính M’N’ cắt AP ở K.

Kẻ PE // KM\ PF // KN’.

87.

88.

Cách 1.

Gọi giao điểm của đường tròn đường kính AM với cạnh AB là E. Vì , Â = \(90^0\) nên ED cũng là đường kính, do đó = \(90^0\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), = \(90^0\) (như trên). Suy ra ba điểm C, N, E thẳng hàng. Xét hai tam giác vuông EBC và PCD có = = \(90^0\), BC = CD, = (cùng phụ với ). Do đó hai tam giác bằng nhau và ta có BE = CP.

Dễ thấy tứ giác EBCM là hình chữ nhật nên BE = CM. Vậy CP = CM và tam giác PCM cân ở C. Trong tam giác cân PCM, đường phân giác CA cũng là đường cao nên CA ⊥ PM.

Cách 2.

Gọi O là tâm của đường tròn đường kính CD, O’ là tâm của đường tròn đường kính AM. Ta có O’O ⊥ ND (đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau thì vuông góc với dây chung).

Kẻ AI ⊥ DN (I thuộc CD). Như vậy O’O // AI. Trong tam giác AMI, O’O đi qua trung điểm O’ của AM và song song với AI nên OM = OI mà OC = OD, suy ra CM = ID . (1)

Hai tam giác vuông ADI và DCP có = (cùng phụ với ), AD = DC, = = . Do đó, hai tam giác này bằng nhau và ta có ID = PC (2).

Từ (1) và (2), ta có CM = PC và tam giác PCM cân, đường phân giác CA cũng là đường cao nên CA ⊥ PM.

89.

Vậy N trùng I.

90.

Cách 1.

– Vẽ đường tròn đường kính AB, tâm O.

– Gọi E là điểm chính giữa của cung AB. Kẻ đường thẳng EC cắt (O) ở F.

– Gọi E’ là điểm đối xứng với E qua O.

– Đường thẳng E’F cắt xy tại điểm D phải xác định.

Cách 2.

– Qua A và B ta kẻ hai đường thẳng song song Am và Bn.

– Qua C kẻ một đường thẳng cắt Am tại F, cắt Bn tại E. Gọi I là điểm đối xứng với E qua B.

– Đường thẳng FI cắt xy tại điểm D phải xác định.

Chú ý. Nếu C là trung điểm của AB thì D trùng với C. Bài toán không có nghiệm hình.

....................................

Ngoài Góc nội tiếp hình học lớp 9. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học học kì 1 lớp 9, đề thi học học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi học kì 2 lớp 9 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tốt