Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Bình Phước
Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS
Lớp:
Lớp 9
Môn:
Toán
Dạng tài liệu:
Đề thi HSG
Loại File:
PDF
Phân loại:
Tài liệu Tính phí
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC
(Đề thi có 02 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2024 - 2025
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 15/02/2025
Câu 1. (5,0 điểm)
1. Cho biểu thức
65 21
1
2 12
xx x
P
xx x x
−+ +
= +++
−− + −
, với
0; 4xx≥≠
a) Rút gọn biểu thức
P
.
b) Tìm
x
nguyên để biểu thức
P
nhận giá trị nguyên.
2. Cho
14 65 6 25
x = − ++
. Tính giá trị của biểu thức
( )
2025
3
5 45Qx x= −−
.
3. Cho ba số thực
,,xyz
khác 0 thoả mãn
0xyz++=
. Chứng minh rằng:
( ) ( )
( )
( ) (
) (
)
333
222
3
xyz yzx zxy
x y z y z x z x y xyz
+− + +− + +−
=
−+ −+ −+
.
Câu 2. (5,0 điểm)
1. Giải phương trình
2 32
311 22xxx xx−++= −−
.
2. Giải hệ phương trình
( )
( )
22
2
3 2 (1)
3 2 3 (2)
+ += +
+ −+ =
x xy y y
x xy y
.
3. Một bể nước (ban đầu chưa có nước) được cung cấp nước bởi ba vòi. Biết rằng
nếu từng vòi cung cấp nước cho bể thì vòi thứ nhất sẽ làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai
10 giờ, vòi thứ ba lại làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất 8 giờ; còn nếu vòi thứ nhất và
thứ hai cùng cung cấp nước cho bể thì thời gian để chúng làm đầy bể bằng với thời gian
vòi thứ ba làm đầy bể. Hỏi nếu cả ba vòi cùng cung cấp nước cho bể thì chúng làm đầy
bể trong bao lâu?
Câu 3. (5,0 điểm)
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AO.
Đường thẳng a vuông góc với AB tại C, cắt nửa đường tròn (O; R) tại I. Trên đoạn CI
lấy điểm K bất kỳ (K không trùng với C và I). Tia AK cắt nửa đường tròn (O; R) tại M.
Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O; R) tại M cắt đường thẳng a tại N , tia BM cắt đường
thẳng a tại D.
1. Chứng minh: Tứ giác ADMC nội tiếp và tam giác MNK là tam giác cân.
2. Khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI, tính diện tích tam giác ABD theo R.
3. Chứng minh rằng khi K chuyển động trên đoạn thẳng CI (K không trùng với C
và I) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD luôn nằm trên đường thẳng cố định.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 4. (2,0 điểm)
1. Một cốc thuỷ tinh có mặt trong dạng hình trụ với chiều cao bằng 15 cm đựng đầy
nước và thể tích nước chứa được trong cốc bằng
240
π
cm
3
. Người ta thả vào cốc một
viên bi sắt hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy mặt trong của cốc nước, viên bi sắt
ngập toàn bộ trong nước. Tính thể tích nước bị tràn ra khỏi cốc. (
3,14
π
≈
, kết quả làm
tròn đến hàng phần chục).
2. Một hộp đựng 100 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, trong đó có 35 viên
bi màu đỏ, 25 viên bi màu xanh và số còn lại là bi màu vàng. Bạn An lấy ngẫu nhiên
một viên bi rồi bỏ lại vào hộp.
a) Tính xác suất để bạn An lấy được viên bi màu vàng.
b) Bạn An được mẹ cho thêm x viên bi màu xanh vào trong hộp. Tìm x, biết
rằng khi đó xác suất để bạn An lấy được viên bi màu vàng là
1
3
.
Câu 5. (3,0 điểm)
1. Giải phương trình nghiệm nguyên:
2
4 8 26 9+ −= +x x xy y
.
2. Cho ba số dương
,,abc
thỏa mãn
1
++=
abc
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
333
=++
++++++
abc
Q
a a bc b b ac c c ab
.
.………………HẾT…………………
• Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
• Giám thị không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH THCS NĂM HỌC 2024 - 2025
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 15/02/2025
ĐÁP ÁN
Câu
Đáp án
Câu 1
(5,0 đ)
1. Cho biểu thức
65 21
1
2 12
xx x
P
xx x x
−+ +
= +++
−− + −
, với
0; 4xx
≥≠
a) Rút gọn biểu thức
P
.
65 21
1
2 12
xx x
P
xx x x
−+ +
= +++
−− + −
(
0; 4xx
≥≠
)
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
22 1 12
65
12 12 12 12
x x x xx
xx
xx xx xx xx
− + + +−
−+
=+ ++
+− +− +− +−
( )
( )
654 1 2
12
x x x x xx
xx
− ++−+ ++− −
=
+−
( )(
)
36
12
xx
xx
−
=
+−
( )
( )
( )
32
3
1
12
xx
x
x
xx
−
= =
+
+−
b) Tìm
x
nguyên để biểu thức
P
nhận giá trị nguyên.
3 3 33 3
3
11 1
xx
P
xx x
+−
= = = −
++ +
P
nhận giá trị nguyên khi
1x
+
là ước của 3
Mà
10x +>
nên
11x +=
hoặc
13x +=
Do đó,
0x =
(nhận) hoặc
4
x =
(loại)
Vậy: Khi
0x =
thì P nhận giá trị nguyên.
2. Cho
14 65 6 25x = − ++
. Tính giá trị của biểu thức:
( )
2025
3
5 45Qx x= −−
.
Ta có:
14 65 6 25x = − ++
( ) ( )
22
3 5 51=−+ +
3 5 514
=− + +=
Thay
4x =
vào biểu thức Q, ta được:
( )
2025
3
4 5.4 45Q =−−
( )
2025
11=−=−
3. Cho ba số thực
,,
xyz
khác 0 thoả mãn
0xyz++=
. Chứng minh rằng:
( ) (
) ( )
( ) ( ) ( )
333
222
3
xyz yzx zxy
x y z y z x z x y xyz
+− + +− + +−
=
−+ −+ −+
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
33
33
33x y x y xy x y z xy z+=+ − +=−− −
(vì
0xyz
++=
)
Do đó:
3 33
3x y z xyz++=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
333 333
222
222
5
xyz yzx zxy z y x
xy x y yz y z xz x z xyz
x y z y z x z x y xyz
+ − + + − + + − − +− +−
=
++ ++ +−
−+ −+ −+
Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Bình Phước được thiết kế bám sát chương trình, giúp học sinh phát triển tư duy và kỹ năng giải toán nâng cao.
Với nội dung được chọn lọc kỹ lưỡng, bài viết không chỉ giúp giáo viên hiểu rõ cấu trúc đề, ra đề sát với chuẩn năng lực mà còn là nguồn tài liệu hữu ích để nâng cao hiệu suất ôn thi cho học trò.
