Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THCS năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Hưng Yên
Đề chọn học sinh giỏi Toán THCS
Lớp:
Lớp 9
Môn:
Toán
Dạng tài liệu:
Đề thi HSG
Loại File:
PDF
Phân loại:
Tài liệu Tính phí
Đề thi HSG tỉnh Hưng Yên 2024-2025
xytunghoanh
Ngày 4 tháng 3 năm 2025
1 Đề thi
Bài 1 (4 điểm).
(a) Cho A =
3
√
x + 2
, với x =
r
√
3 − 1 +
q
6 −
p
49 − 8
√
3. Tính T = A+A
2
+A
3
+...+A
2025
.
(b) Cho a, b > 0 thoả mãn a ̸= b và a + 2b = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q =
√
a −
√
b
√
a +
√
b
−
√
a +
√
b
√
a −
√
b
!
1
a
−
1
b
.
Bài 2 (4 điểm).
(a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc âm đi qua
điểm M(−1; −5) và giao với parabol (P ) : y = 4x
2
tại đúng một điểm.
(b) Giải hệ phương trình
(
(y
2
− y + 1)
√
x − y
3
− y + x = 0
2x
2
y
2
− x
2
− 3y
2
+ 1 =
p
x
5
+ y
8
+ 1
Bài 3 (4 điểm).
(a) Tìm tất cả các cặp giá trị nguyên (x, y) thoả mãn phương trình
x
2
y
2
− 4xy
2
− 2x
3
+ 5x
2
+ 4y
2
+ 4x − 32 = 0
(b) Một hộp chứa 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra hai thẻ. Tính xác
suất của biến cố E: "Tích hai số ghi trên thẻ là một số chẵn".
1
Bài 4 (2 điểm). Tam giác ABC có ∠B và ∠C là các góc nhọn thoả mãn điều kiện
sin
2
B + sin
2
C
cos
2
B + cos
2
C
=
tan
2
B + tan
2
C
2
.
Chứng minh rằng △ABC là tam giác cân.
Bài 5 (4 điểm). Cho △ABC nhọn nội tiếp (O). Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại
H. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
(a) Chứng minh rằng: AH = 2OM
(b) Gọi K là giao điểm các đường phân giác ∠ABH và ∠ACH. Chứng minh rằng đường thẳng
MK chia đôi AH.
Bài 6 (2 điểm). Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 2025. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
√
a
2
+ 2025 +
√
b
2
+ 2025 +
√
c
2
+ 2025
√
ab +
√
bc +
√
ca
2 Lời giải
Bài 1 (4 điểm).
(a) Cho A =
3
√
x + 2
, với x =
r
√
3 − 1 +
q
6 −
p
49 − 8
√
3. Tính T = A+A
2
+A
3
+...+A
2025
.
(b) Cho a, b > 0 thoả mãn a ̸= b và a + 2b = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q =
√
a −
√
b
√
a +
√
b
−
√
a +
√
b
√
a −
√
b
!
1
a
−
1
b
.
Lời giải.
(a) Điều kiện: x ≥ 0.
Biến đổi liên tiếp x ta được
x =
s
√
3 − 1 +
r
6 −
q
49 − 8
√
3 =
s
√
3 − 1 +
r
6 −
√
48 − 1
=
r
√
3 − 1 +
√
3 − 2
= 1.
Do đó
A =
3
√
x + 2
=
3
1 + 2
= 1.
Nên
T = 1 + 1
2
+ 1
3
+ ... + 1
2025
= 1 + 1 + 1 + ... + 1
| {z }
2025 số hạng 1
= 2025.
Vậy T = 2025
2
Đề chọn học sinh giỏi Toán THCS năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Hưng Yên được thiết kế bám sát chương trình, giúp học sinh phát triển tư duy và kỹ năng giải toán nâng cao bao gồm cả đáp án và lời giải chi tiết, nhằm hỗ trợ quý thầy cô tham khảo, hướng dẫn ôn tập cho học sinh một cách hiệu quả.
Với nội dung được chọn lọc kỹ lưỡng, bài viết không chỉ giúp giáo viên hiểu rõ cấu trúc đề, ra đề sát với chuẩn năng lực mà còn là nguồn tài liệu hữu ích để nâng cao hiệu suất ôn thi cho học trò.
