Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 – 2025 phòng GD&ĐT Vĩnh Châu – Sóc Trăng
Đề chọn học sinh giỏi Toán 9
Lớp:
Lớp 9
Môn:
Toán
Dạng tài liệu:
Đề thi HSG
Loại File:
PDF
Phân loại:
Tài liệu Tính phí
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỊ XÃ VĨNH CHÂU
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ
Năm học 2024-2025
Môn: Toán 9
Th
ờ
i gian 150 phút, không k
ể
th
ờ
i gian giao đ
ề
(Đề thi này có 01 trang)
Câu 1. (4 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên
(
)
,
xy
thỏa mãn:
(
)
22
2 3x 29.
xyy-+ +=
b) Đội văn nghệ của lớp 9A có 3 bạn nam và 4 bạn nữ. Cô giáo phụ trách đội chọn
ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca. Tính xác suất của biến cố T: “Trong hai bạn được chọn ra
có một bạn nam và một bạn nữ”.
Câu 2. (4 điểm)
a) Cho biểu thức
xyxy
x y 2xy
P :1
1 xy
1 xy 1 xy
æö
+-
æö
++
=++
ç÷
ç÷
ç÷
-
-+
èø
èø
, với
(
)
x 0;y 0;xy 1.
³³¹
a1. Rút gọn biểu thức
P
.
a2. Tính giá trị của
P
khi
22
2
2
2025 2024 1
1 2025
2024 2024
x
+
++-= và
12
y 22
2024
=
.
b) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
12
abc
abbcca
<++<
+++
Câu 3. (4 điểm)
a) Anh Bình cần rút tiền trong thẻ ATM để chi tiêu cá nhân nhưng lại quên mật khẩu
đăng nhập tài khoản. Biết rằng mật khẩu là một số chính phương A có bốn chữ số, nếu bớt đi
mỗi chữ số của số A một đơn vị thì được số mới là số chính phương có bốn chữ số. Em hãy
giúp anh Bình tìm lại mật khẩu đã quên.
b) Giải hệ phương trình :
3 3 22
( )2
68
xyxy
x y xy
+=
ì
í
+ +=
î
.
Câu 4. (5 điểm) Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB, C là trung điểm của OA và dây
MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của
AK, MN.
a) Chứng minh: BCHK là tứ giác nội tiếp.
b) Tính AH.AK theo R.
c) Xác định vị trí điểm K để KM + KN + KB lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
Câu 5. (3 điểm)
a) Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhỏ hơn 90
0
. Từ B kẻ BM vuông góc với
AC tại M (điểm M thuộc AC). Chứng minh rằng
2
12
AM AB
MC BC
æö
+=
ç÷
èø
b) Tính diện tích của hình vuông lớn nhất, biết diện tích hình vuông
bé nhất là 124 cm
2
(hình bên).
--- Hết ---
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Đề chính thức
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỊ XÃ VĨNH CHÂU
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ
NĂM HỌC 2024-2025
MÔN TOÁN 9
HƯỚNG DẪN CHẤM
Dưới đây là chi tiết biểu điểm của đề thi HSG môn Toán 9. Các Giám khảo thảo luận
thống nhất thêm chi tiết lời giải cũng như thang điểm của biểu điểm đã trình bày (nếu có).
Nội dung thảo luận và đã thống nhất khi chấm được ghi vào biên bản cụ thể để việc
chấm phúc khảo sau này được thống nhất và chính xác.
Học sinh có lời giải khác đúng, chính xác thì bài làm đúng đến ý nào giám khảo cho
điểm ý đó.
Việc làm tròn số điểm bài kiểm tra được thực hiện theo quy định của Bộ Giáo dục và
Đào tạo.
Câu Đáp án Điểm
1a)
Tìm tất cả các cặp số nguyên
(
)
,
xy
thỏa mãn:
(
)
22
2 3x 29.
xyy-+ +=
2,0
Ta có:
(
)
22
2 3x 29.
xyy-+ +=
(
)
(
)
( )( )
22
22
6 9 2 1 8 29 3 1 37
xxyy xy
++- -+-=Û+--=
(
)
(
)
4 2 37
xy xy
-+ ++=
(Vì 37 = 1.37 = (-1).(-37))
0,5
Ta có bảng
4
xy
-+
1
37
1
-
37
-
2
xy
++
37
1
37
-
1
-
x
16
16
22
-
22
-
y
19
17
-
17
-
19
1,0
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên
(
)
;
xy
là
(
)
(
)
(
)
(
)
16;19 , 16; 17 , 22; 17 , 22;19
----
.
0,5
1b)
Đội văn nghệ của lớp 9A có 3 bạn nam và 4 bạn nữ. Cô giáo phụ trách
đội chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca. Tính xác suất của biến cố
T: “Trong hai bạn được chọn ra có một bạn nam và một bạn nữ”.
2,0
Gọi 3 bạn nam lần lượt là 1, 2, 3
Gọi 4 bạn nữ lần lượt là a, b, c, d
Kết quả có thể của phép thử là cặp (X, Y) sao cho
XY
¹
. Vì chọn đồng
thời 2 bạn nên loại trừ các trường hợp trùng nhau. Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
1, 2 ; 1, 3 ; 1, ; 1, ; 1, ; 1, ;
abcd
W=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2,3;2, ;2, ;2, ;2; ;
abcd
(
)
(
)
(
)
(
)
3, ; 3, ; 3, ; 3, ;
abcd
(
)
(
)
(
)
,;,;,;
ab ac ad
(
)
(
)
,;,;
bc bd
(
)
}
,
cd
Tập
W
có 21 phần tử
1,0
Vì chọn ngẫu nhiên nên các kết quả có thể là đồng khả năng.
Có 12 kết quả thuận lợi chon biến cố T: “Trong hai bạn được chọn ra có
một bạn nam và một bạn nữ” là:
(
)
(
)
(
)
(
)
{
1, ; 1, ; 1, ; 1, ;
abcd
(
)
(
)
(
)
(
)
2, ; 2, ; 2, ; 2; ;
abcd
(
)
(
)
(
)
(
)
3, ; 3, ; 3, ; 3,
abcd
nên xác suất biên cố T là:
124
()
217
PT
==
1,0
Câu Đáp án Điểm
2
Cho biểu thức
xyxy
x y 2xy
P :1
1 xy
1 xy 1 xy
æö
+-
æö
++
=++
ç÷
ç÷
ç÷
-
-+
èø
èø
,
(
)
x 0;y 0;xy 1.
³³¹
4,0
a1.
Rút gọn biểu thức
P
.
1,0
Với
(
)
x 0;y 0;xy 1.
³³¹
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
x y 1 xy x y 1 xy
1 xy x y 2xy
P:
1 xy 1 xy
+++--
- +++
=
--
0,25
xxy yyx xxy yyx
1 xy
.
1 xy 1 x y xy
++++--+
-
=
- +++
0,25
(
)
2 x yx
(1x)(1y)
+
=
++
0,25
2x(1y) 2x
(1x)(1y) 1x
+
==
+++
0,25
a2.
Tính giá trị của
P
khi
22
2
2
2025 2024 1
1 2025 ;
2024 2024
x
+
++-=
12
y 22
2024
=
.
1,0
Khi
22
2
2
2025 2024 1
1 2025
2024 2024
x
+
++-=
Ta có:
(
)
2
22
2024 2025 1 2025 2.2025 1
=-=-+
22
2025 1 2024 2.2025
+=+
0,25
22
2
2
2025 2024 1
2024 2.2025
2024 2024
x
+
Þ ++-=
2
2
2025 2024 1
2024
2024 2024
+
æö
=+-
ç÷
èø
222
2025 2024 1 2024 2025 2024 1
2024 1
2024 2024 2024
+ +--
=+-==
0,5
Vậy
2x 21
P1
1x 11
= ==
++
0,25
2b)
Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
12
abc
abbcca
<++<
+++
2,0
Vì a, b, c là các số dương nên ta có:
a a ac
abc ab abc
+
<<
++ + ++
(1)
0,5
b b ba
abc bc bca
+
<<
+++++
(2)
0,5
Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 – 2025 phòng GD&ĐT Vĩnh Châu – Sóc Trăng được thiết kế bám sát chương trình, giúp học sinh phát triển tư duy và kỹ năng giải toán nâng cao, bao gồm cả đáp án và lời giải chi tiết, nhằm hỗ trợ quý thầy cô tham khảo, hướng dẫn ôn tập cho học sinh một cách hiệu quả.
Với nội dung được chọn lọc kỹ lưỡng, bài viết không chỉ giúp giáo viên hiểu rõ cấu trúc đề, ra đề sát với chuẩn năng lực mà còn là nguồn tài liệu hữu ích để nâng cao hiệu suất ôn thi cho học trò.
