Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh
Đề chọn học sinh giỏi Toán 9
Lớp:
Lớp 9
Môn:
Toán
Dạng tài liệu:
Đề thi HSG
Loại File:
PDF
Phân loại:
Tài liệu Tính phí
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TH ÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2024-2025
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 14/03/2025
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (4 điểm)
1.
Cho 2 số a, b thỏa a – b = 3. Tính giá trị của biểu thức M = a
3
– b
3
– 9ab
2.
Giải phương trình:
Câu 2: (6 điểm)
–
= 41
1.
Thầy Bình chấm bài kiểm tra Toán lớp 9A có 45 bạn, sót bạn An nên điểm trung bình là
7,55. Sau đó chấm bổ sung được 7,56. Tính điểm bạn An.
2.
Ông Năm có cuộn dây 100m làm rào chắn cho hồ cá dạng hình chữ nhật, biết rằng ông
Năm không rào cả mặt tiếp xúc bờ. Tìm cách rào sao cho diện tích hồ cá đạt giá trị lớn
nhất.
3.
Ba bạn Phúc, Lộc, Thọ lần lượt viết lên bảng các số tự nhiên từ 1 đến 9 sao cho số người
trước không trùng số người sau. Tính xác suất số bạn Phúc chia hết cho số bạn Lộc, số
bạn Lộc chia hết cho số bạn Thọ.
Câu 3: (5 điểm)
1.
Cho tam giác ABC nhọn, lấy điểm P thuộc miền trong của tam giác ABC sao cho
PAC
= PBC
. Từ P kẻ PM BC tại M, PK AC tại K. Gọi D là trung điểm AB. Chứng
minh: DM = DK.
2.
Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R). Lấy điểm M thuộc cung BC, từ M kẻ MP, MQ, MR
lần lượt vuông góc với AB, BC, CA tại P, Q, R.
a)
Chứng minh: P, Q, R thẳng hàng.
b)
Kẻ CS AM tại S, CE AB tại E. Chứng minh: PQ = ES
Câu 4: (3 điểm)
1.
Cho số tự nhiên n cộng thêm với 26, tiếp đó thêm 3 chữ số vào bên phải của số đã cho.
Biết rằng sau khi thêm, số đó là tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n. Tìm n và 3
chữ số đã thêm.
2.
Cho tập hợp X = 1; 2;3...;100
. Hỏi sẽ lấy ra ít nhất bao nhiêu số sao cho chắc chắn:
a.
“Trong các số đã lấy có 5 số tự nhiên liên tiếp”
b.
“Trong các số đã lấy có 2 số có tổng chia hết cho 5”
Câu 5: (2 điểm)
Cho đa thức P
(
x
)
= x
2
+ ax + b
(
a,b
)
. Biết rằng đa thức P(x) sẽ gọi là đa thức“tốt” nếu P(x)
thỏa mãn có ít nhất một nghiệm nguyên và trị tuyệt đối của a và b không vượt quá 2025.
a)
Chứng minh rằng nếu P(x) là đa thức “tốt” thì P(-x) cũng là đa thức “tốt”.
b)
Gọi S(x) là tổng của các đa thức “tốt”. Chứng minh S(x) không có nghiệm thực.
-HẾT-
x + 2025
16 – 3x
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1: (4 điểm)
1.
Cho 2 số a, b thỏa a – b = 3. Tính giá trị của biểu thức M = a
3
– b
3
– 9ab
M = a
3
– b
3
– 9ab =
(
a – b
)
3
+ 3ab
(
a – b
)
– 9ab = 3
3
+ 3ab.3 – 9ab = 27 .
2.
Giải phương trình:
–
= 41
–
= 41
ĐK:
–
2025
x
16
3
x + 2025 +16 – 3x – 2
(
x + 2025
)(
16 – 3x
)
= 41
2
2
(
x + 2025
)(
16 – 3x
)
= 360 – 2x
ĐK:
x
180
4
(
x + 2025
)(
16 – 3x
)
= 4x
2
–1440x + 360
2
16x
2
+ 22796x = 0
x = 0
hoặc
x =
–5699
4
Thử lại: nhận x = 0 , loại
x =
–5699
4
Vậy: x=0 là nghiệm của phương trình.
Câu 2: (6 điểm)
1.
Thầy Bình chấm bài kiểm tra Toán lớp 9A có 45 bạn, sót bạn An nên điểm trung
bình là 7,55. Sau đó chấm bổ sung được 7,56. Tính điểm bạn An.
Tổng số điểm của 44 bạn (không có An) là: 7,55.44 = 332,2 điểm
Điểm An là: 7,56.45 – 332,2 = 8 điểm.
2.
Ông Năm có cuộn dây 100m làm rào chắn cho hồ cá dạng hình chữ nhật, biết rằng
ông Năm không rào cả mặt tiếp xúc bờ. Tìm cách rào sao cho diện tích hồ cá đạt giá
trị lớn nhất.
Giả sử, cái ao cá hình chữ nhật ông Năm muốn rào có dạng như hình vẽ
Diện tích cái ao S = x
(
100 – 2x
)
(
2x + 100 – 2x
2
100 - 2x
2S
=
2x
(
100
–
2x
)
= 2500
2
S
1250
Dấu “=” xảy ra khi 2x = 100 – 2x e x = 25
Vậy: ông Năm cần rào một cái ao có chiều rộng là 25m, chiều dài song song với bờ
50m thì diện tích cái ao đạt GTLN là 1250 m
2
.
3.
Ba bạn Phúc, Lộc, Thọ lần lượt viết lên bảng các số tự nhiên từ 1 đến 9 sao cho số
người trước không trùng số người sau. Tính xác suất số của bạn Phúc chia hết cho
số của bạn Lộc, số của bạn Lộc chia hết cho số của bạn Thọ.
• Bạn thứ nhất có 9 cách chọn để viết số
• Bạn thứ hai có 8 cách chọn để viết số
HƯỚNG DẪN GIẢI
x + 2025
16 – 3x
x + 2025
16 – 3x
x
x
bờ
• Bạn thứ ba có 7 cách chọn để viết số
Số các trường hợp xảy ra là: 9.8.7 = 504 cách chọn.
Do Phúc viết đầu tiên, nếu số của Phúc viết là các số 1; 2;3
thì không có số nào mà Lộc có thể
viết để thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó, Phúc có 6 cách để viết số lên bảng 4;5;6;7;8;9
• Phúc viết số 4 Lộc có 2 cách viết 1; 2
Giả sử Lộc viết số 1 thì Thọ không có cách viết số nào thỏa đề bài
Lộc viết số 2, Thọ viết số 1
ta có 1 bộ số thỏa yêu cầu bài toán là (4;2;1)
• Phúc viết số 5 Lộc có 1 cách viết là số 1 Thọ không có cách viết
trường hợp Phúc viết số 5 thì không có bộ số thỏa.
• Phúc viết số 6 Lộc có 3 cách viết là 1; 2;3
Tương tự như trên, Lộc không thể viết số 1 Lộc viết số 2 hoặc 3. Với
mỗi trường hợp, ta tìm được 2 bộ số là (6; 2; 1) và (6; 3; 1)
• Phúc viết số 7. Tương tự, không tìm được bộ số.
• Phúc viết số 8. Tương tự, tìm được 3 bộ số
• Phúc viết số 9. Tương tự, tìm được 1 bộ số.
Vậy có tổng cộng 1 + 2 + 3 + 1 = 7 khả năng được chọn.
Vì vậy: xác suất để xảy ra các trường hợp thỏa yêu cầu bài toán là
7
=
1
.
504 72
Tham khảo thêm bảng :
Phúc
Lộc
Thọ
4
2
1
6
2
1
8
2
1
6
3
1
9
3
1
8
4
1
8
4
2
Câu 3: (5 điểm)
1.
Cho tam giác ABC nhọn, lấy điểm P thuộc miền trong của tam giác ABC sao cho
PAC
= PBC
. Từ P kẻ PM BC tại M, PK AC tại K. Gọi D là trung điểm AB. Chứng
minh: DM = DK.
Gọi N đối xứng M qua D
Đề chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh được thiết kế bám sát chương trình, giúp học sinh phát triển tư duy và kỹ năng giải toán nâng cao. Đây là tài liệu tham khảo quý giá giúp giáo viên tham khảo ra đề, ôn luyện có định hướng cho học sinh và chuẩn bị đội tuyển học sinh giỏi tỉnh hiệu quả.
