Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu
Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 9
Lớp:
Lớp 9
Môn:
Toán
Dạng tài liệu:
Đề thi HSG
Loại File:
PDF
Phân loại:
Tài liệu Tính phí
x 3 x
x x 6
4x
2
13x 10
3
17 2 11 5
1 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA-VŨNG TÀU
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2024 – 2025
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài thi: 150 phút
Ngày thi: 04/3/2025
Câu 1 (3,0 điểm):
a) Rút gọn biểu thức P
x 10
x 4
với
x 0 và
x 4 .
b) Tính giá trị của biểu thức Q
Câu 2 (4,0 điểm):
a) Giải phương trình 2
.
9x 6
b) Cho phương trình x
2
2
m 1
x m
2
4 0 (1).
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa
mãn x
2
2
m 1
x 3m
2
16 0 .
Câu 3 (4,0 điểm):
a) Tìm tất cả số nguyên tố p và cặp số tự nhiên
x; y
sao cho
2
p2
p
x
2
3
.
2 y
2
3x 5
b) Cho hai hộp kín, hộp thứ nhất chứa 8 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 8 , hộp thứ
hai chứa 12 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 12 . Các thẻ có kích thước như nhau.
Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp một thẻ. Tính xác suất chọn được hai thẻ mà tích của
hai số trên thẻ là một số chia hết cho 7 .
Câu 4 (5,0 điểm):
Cho tam giác nhọn ABC có AB AC , đường tròn
O
đường kính BC cắt AB tại F ,
cắt AC tại E . Gọi K là giao điểm của EF và BC , gọi H là giao điểm của BE và CF ,
đường thẳng AH cắt BC tại D , đường thẳng FD cắt đường tròn
O
tại M
M F
.
a) Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp.
b)
Chứng minh
BC
là đường phân giác của
E
‸
BM
và
KF.DM KM .DF
.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt AK tại
Chứng minh ba điểm P, Q, C thẳng hàng.
Câu 5 (4,0 điểm):
P
P A
, cắt ED tại Q
Q E
.
a) Xét các số thực x, y, z
thỏa mãn
x 0, y 0 ,
z 2 và 2x 2 y 2z 1 0 . Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức T x 10xy 4xyz .
b) Cho tập hợp X
1; 2;3;...; 2025
. Tìm số tự nhiên k nhỏ nhất sao cho với mọi cách
lấy k phần tử bất kỳ thuộc X
thì luôn tồn tại hai phần tử a, b
a b
trong k phần
tử được lấy mà a b chia hết cho a b .
------- HẾT -------
Họ và tên thí sinh:.................................................
Số báo danh:..........................................................
Chữ ký giám thị số 1:.................................
x 2 x 1
x 3 x 2
13 4 10
x
2
x 1
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2024 – 2025
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN LỚP 9
(Hướng dẫn chấm có 04 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
1.a
Rút gọn biểu thức P
x 10
x 3 x
x 2 x 1
với x 0 và x 4 .
x 4
x x 6 x 3
x 2
1,5
x
x
3
x
1
2
x
10
x
2
x
2
x 2 x 3 x 2 x 1
0,5
x 10
x
x 1
x
2
x
2
x
2
x
2
x 10
x
x
2
x
1
x
2
x
2
x
2
0,5
4 x 8
4
x
2
x
2
x
2
0,5
1.b
Tính giá trị của biểu thức Q 13 4
10
3
17 2 11
5 .
1,5
13 4
10 5 4
10 8
5 2 2
2
5 2
2
0,75
3
17
2 11 5
3
2
2 6
5 15
2 5
5
3
2 5
3
2 5
0,5
Q 13 4
10
3
17 2 11
5 2
0,25
2.a
Giải phương trình 4x
2
13x 10 2 x
2
x 1 9x 6
2,0
u 4x
2
13x 10
Đặt
điều kiện u, v 0
v x
2
x 1
0,25
Tính được u
2
4v
2
9x 6
0,25
Đưa PT về dạng u 2v u
2
4v
2
u 2v
u 2v 1
0
u 2v
u 2v 1
0,5
Giải PT u 2v tìm được nghiệm x
2
3
0,5
Giải PT u 2v 1 4x
2
13x 10 2 x
2
x 1 1 (1)
1
2
3
Chứng minh 2 x
2
x 1 2
x
3 suy ra PT (1) vô nghiệm
2
4
0,5
2.b
Cho phương trình x
2
2
m 1
x m
2
4 0 (1).
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
2
2
m 1
x 3m
2
16 0 .
1 2
2,0
Tính được
2m 3
0,25
2
Phương trình (1) có hai nghiệm x , x
0 m
3
1 2
2
0,5
Tính được x
1
x
2
2
m 1
0,25
x
2
2
m 1
x m
2
4 0 x
2
2
m 1
x m
2
4
1 1 1 1
0,25
x
2
2
m 1
x 3m
2
16 0 2
m 1
x m
2
4 2
m 1
x 3m
2
16 0
1 2 1 2
2
m 1
x x
4m
2
20 0
1 2
0,25
4
m 1
2
4m
2
20 0 m 2 . Kết luận
3
m 2
2
0,5
3.a
Tìm tất cả số nguyên tố p và cặp số tự nhiên
x; y
sao cho
2
p2
p
x
2
3
2 y
2
3x 5
.
2,0
Xét p 2 , ta có: 2 y
2
3x 5 2
x
2
3
2 y
2
2x
2
3x 1 (1)
0,25
Nếu x chẵn thì PT (1) VN nên x là số lẻ, đặt x 2n 1, n . Suy ra:
y
2
4n
2
n y
2
n
4n 1
. (2)
0,25
Vì y
2
là số chính phương và
n, 4n 1
1nên (2) có nghiệm duy nhất
n 0, y 0 x 1; y 0 .
0,25
Xét p 3 , ta có: 2
2 y
2
3x 5
3
x
2
3
4 y
2
3x
2
6x 1 (3)
0,25
Vì 4 y
2
0
mod 3
hoặc 4 y
2
1
mod 3
mà 3x
2
6x 1 2
mod 3
nên phương
trình (3) vô nghiệm.
0,25
Xét p 5 là số nguyên tố lẻ. PT đã cho 2
p
2
2 y
2
3x 5
p
x
2
3
(4)
Nếu x chẵn: p
x
2
3
lẻ mà vế trái luôn chẵn nên (4) vô nghiệm.
0,25
Nếu x lẻ: đặt x 2n 1, n (4) 2
p
3
y
2
3n 4
p
n(n 1) 1
.
Vế phải luôn lẻ vì n
n 1
chẵn, mà vế trái luôn chẵn nên (4) vô nghiệm.
0,25
Kết luận p 2; x 1; y 0
0,25
3.b
Cho hai hộp kín, hộp thứ nhất chứa 8 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 8 và
hộp thứ hai chứa 12 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 12 . Các thẻ có kích
thước như nhau. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp một thẻ. Tính xác suất
chọn được hai thẻ mà tích của hai số trên thẻ là một số chia hết cho 7 .
2,0
Hộp thứ nhất có 8 cách chọn thẻ và hộp thứ hai có 12 cách chọn thẻ nên có tất cả
8x12 96 cách chọn.
0,5
Tích của hai số chia hết cho 7 nên có ít nhất một số chia hết cho 7
0,5
Tổng số cách chọn thuận lợi là 1x8 1x12 1 19
0,5
Vậy xác suất chọn được hai thẻ mà tích của hai số trên thẻ là một số chia hết
cho 7 là
19
.
96
0,5
4.a
Cho tam giác nhọn ABC có AB AC , đường tròn
O
đường kính BC cắt
AB tại F , cắt AC tại E . Gọi K là giao điểm của EF và BC , gọi H là giao
điểm của BE và CF , đường thẳng AH cắt BC tại D , đường thẳng FD cắt
đường tròn
O
tại M
M F
.
a) Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp.
2,0
Đề học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu được thiết kế bám sát chương trình, giúp học sinh phát triển tư duy và kỹ năng giải toán nâng cao.
Bài viết này cung cấp đề thi chính thức, đáp án chi tiết và hướng dẫn giải chi tiết các bài toán. Đây là tài liệu tham khảo quý giá giúp giáo viên tham khảo ra đề, ôn luyện có định hướng cho học sinh và chuẩn bị đội tuyển học sinh giỏi tỉnh hiệu quả.
