Đề thi Olympic chuyên Toán THCS lần 2 năm 2025 trường chuyên Hạ Long – Quảng Ninh
Đề thi Olympic chuyên Toán THCS
Dạng tài liệu:
Đề thi HSG Toán Lớp 9
Phân loại:
Tài liệu Tính phí
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG
(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ THI OLYMPIC CÁC MÔN CHUYÊN
DÀNH CHO HỌC SINH THCS LẦN THỨ II, NĂM 2025
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1: (4 điểm)
a. Cho hai số thực phân biệt a, b 6= 0, thỏa mãn
a
2
+ 2ab = 3b
2
.
Tính giá trị biểu thức P =
(a + b)(a + 2b)
(a − b)(a − 2b)
.
b. Giải hệ phương trình:
3x(x + y − 2) = 2y
y(x + y − 1) = 9x
.
Câu 2: (4 điểm)
a. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a +b +c = 3. Chứng minh rằng:
a
1 + b
2
+
b
1 + c
2
+
c
1 + a
2
≥
3
2
.
b. Cho một chiếc hộp trong đó có 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng, các viên bi được coi
là khác nhau. Có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi, sao cho các viên bi lấy ra có đủ cả 3 màu?
Câu 3: (7 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). Kẻ các đường cao BE, CF cắt nhau tại H với
E ∈ AC, F ∈ AB. Trung trực của đoạn thẳng HB cắt cạnh BC tại M . Trung trực của đoạn thẳng HC
cắt cạnh BC tại N . Đường tròn (M; MB) cắt cạnh AB tại điểm J khác B. Đường tròn (N ; NC) cắt cạnh
AC tại điểm I khác C.
a. Chứng minh rằng các điểm I, J, B, C cùng thuộc một đường tròn.
b. Gọi P là giao điểm khác H của (M ; MB) và (N; N C). Chứng minh rằng P là giao điểm khác A của
AH và (O).
c. Lấy Q là giao điểm khác C của đường tròn ngoại tiếp tam giác P F C và AC. Chứng minh rằng Q
là trung điểm của AI.
Câu 4: (4 điểm)
a. Chứng minh rằng nếu bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương a, b đều
là các số chính phương thì a, b cũng là các số chính phương.
b. Tìm tất cả các số nguyên dương x để A = 4x
3
+ 9x
2
− 10x − 15 là số chính phương.
Câu 5: (1 điểm) Cho 20 điểm phân biệt gồm 10 điểm màu xanh và 10 điểm màu đỏ trên mặt phẳng,
trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng ta có thể dùng 10 đoạn thẳng nối mỗi điểm
xanh với một điểm đỏ tương ứng sao cho 10 đoạn thẳng này đôi một không có điểm chung.
———— HẾT ————
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
1
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HẠ LONG
(Hướng dẫn có 5 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC CÁC MÔN CHUYÊN
DÀNH CHO HỌC SINH THCS LẦN THỨ II
Môn thi: Toán
Câu Sơ lược lời giải Điểm
1(4,0đ) a. Cho hai số thực phân biệt a, b 6= 0, thỏa mãn
a
2
+ 2ab = 3b
2
.
Tính giá trị biểu thức P =
(a + b)(a + 2b)
(a − b)(a − 2b)
.
Biến đổi tương đương: a
2
+ 2ab = 3b
2
⇔ (a − b)(a + 3b) = 0 ⇔
a = b
a = −3b
.
Kết hợp giả thiết, loại trường hợp a = b, ta còn lại a = −3b.
1
thay vào P :
P =
(a + b)(a + 2b)
(a − b)(a − 2b)
=
(−3b + b)(−3b + 2b)
(−3b − b)(−3b − 2b)
=
1
10
.
Vậy P =
1
10
.
1
b. Giải hệ phương trình:
3x(x + y − 2) = 2y
y(x + y − 1) = 9x
.
Nhân theo vế của hai phương trình, phân tích thành nhân tử rồi rút gọn ta được:
3xy(x+y−2)(x+y−1) = 18xy ⇔
xy = 0
(x + y − 2)(x + y − 1) = 6
⇔
xy = 0
x + y − 4 = 0
x + y + 1 = 0
.
Từ đây, hoặc xy = 0 hoặc x + y = 4 hoặc x + y = −1.
1
TH1: Nếu x = 0 (tương ứng y = 0), thay vào hệ ban đầu ta được y = 0 (tương ứng
x = 0).
TH2: Nếu x + y = 4, thay vào hệ ban đầu ta được (x, y) = (1, 3).
TH3: Nếu x + y = −1, thay vào hệ ban đầu ta được (x, y) =
2
7
; −
9
7
.
Thử lại, ta kết luận hệ đã cho có 3 nghiệm như trên.
1
2(4,0đ) a. Cho
a, b, c > 0
a + b + c = 3
. Chứng minh rằng:
a
1 + b
2
+
b
1 + c
2
+
c
1 + a
2
≥
3
2
.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:
a
1 + b
2
=
a(1 + b
2
) − ab
2
1 + b
2
= a −
ab
2
1 + b
2
≥ a −
ab
2
2b
= a −
ab
2
.
1
1
Câu Sơ lược lời giải Điểm
Tương tự với hai biểu thức còn lại, cộng vế với vế ta được
a
1 + b
2
+
b
1 + c
2
+
c
1 + a
2
≥ (a + b + c) −
1
2
(ab + bc + ca) ≥ 3 −
1
2
.
(a + b + c)
2
3
=
3
2
.
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1.
1
b. Cho một chiếc hộp trong đó có 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng, các
viên bi được coi là khác nhau. Có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi, sao cho các bi lấy ra
có đủ cả 3 màu?
Ta tính số cách chọn 2 bi trong số n bi (n ≥ 2):
• Chọn bi đầu tiên, có n cách.
• Chọn bi thứ hai, có n − 1 cách.
Tuy nhiên với một cách lấy, bi thứ 2 có thể được lấy ra trước nên mỗi cách được tính
2 lần, suy ra số cách chọn 2 bi trong số n bi là
n(n − 1)
2
.
Trở lại bài toán, 4 bi có đủ 3 màu, ta có 3 trường hợp:
TH1: 2 đỏ, 1 xanh, 1 vàng, có
4.3
2
.5.6 = 180 cách.
TH2: 1 đỏ, 2 xanh, 1 vàng, có 4.
5.4
2
.6 = 240 cách.
TH3: 1 đỏ, 1 xanh, 2 vàng, có 4.5.
6.5
2
= 300 cách.
Vậy tất cả có 720 cách.
2
3(7đ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). Kẻ các đường cao BE, CF cắt nhau tại H với
E ∈ AC, F ∈ AB. Trung trực của đoạn thẳng HB cắt cạnh BC tại M . Trung trực
của đoạn thẳng HC cắt cạnh BC tại N. Đường tròn (M; MB) cắt cạnh AB tại điểm
J khác B. Đường tròn (N; N C) cắt cạnh AC tại điểm I khác C.
a. Chứng minh rằng các điểm I, J, B, C cùng thuộc một đường tròn.
b. Gọi P là giao điểm khác H của (M ; MB) và (N ; NC). Chứng minh rằng P là
giao điểm khác A của AH và (O).
c. Lấy Q là giao điểm khác C của đường tròn ngoại tiếp tam giác P F C và AC.
Chứng minh rằng Q là trung điểm của AI.
2
Đề thi Olympic chuyên Toán THCS lần 2 năm 2025 trường chuyên Hạ Long – Quảng Ninh được thiết kế bám sát chương trình, giúp học sinh phát triển tư duy và kỹ năng giải toán nâng cao.
Bài viết này cung cấp đề thi chính thức, đáp án chi tiết và hướng dẫn giải các bài toán tiêu biểu. Đây là tài liệu tham khảo quý giá giúp giáo viên tham khảo ra đề, ôn luyện có định hướng cho học sinh và chuẩn bị đội tuyển học sinh giỏi tỉnh hiệu quả.
