VnDoc.com

Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội năm học 2021 - 2022 (vòng 2)

Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán có đáp án

1 374

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

VÒNG 2

KIỂM TRA KHẢO SÁT THI VÀO 10

NĂM HỌC 2021 - 2022

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1. (2,0 điểm). Cho

, ,

x y z

là các số thực dương thỏa mãn

( ) 1

xyz x y z

  

. Chứng minh rằng

2 2 2

1 1 1

( )( )( )

x y z x y y z z x

y z z

 

  

      

   

  

 

.

Câu 2. (3,0 điểm).

1) Cho hai số thực không âm

,

a b

thỏa mãn

2

a b  . Chứng minh

2 2 2

( )

1 1 1 ( )

a b a b



 

   

2) Tìm tất cả các số nguyên tố

,

p q

thỏa mãn

   

2 1

p q

p q q p



  

Câu 3. (1,0 điểm). Cho tập hợp

S

có các phần tử là các số thực,

S

chứa tất cả các số nguyên và

đóng đối với phép cộng và nhân, tức là với hai phần tử bất kỳ

,

x y

thuộc

S

ta có

x y



và

.

x y

đều

thuộc

S

. Biết rằng:

2020 2021

 thuộc

S

, chứng minh

2020 2021

 thuộc S.

Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn





O

và dây cung

AB

cố định, không là đường kính. Điểm

M

thay đổi

trên đoạn

AB

sao cho

,

M A M B

 

và

AM MB



. Đường thẳng



vuông góc với

OM

tại

M

,

cắt đường tròn





O

tại

P

và

Q

. Đường tròn đường kính

AM

cắt đường tròn





O

tại điểm thứ hai





K K A



và cắt đoạn thẳng

PQ

tại điểm thứ hai





D D M



. Gọi

S

là giao điểm của

AK

với

PQ

,

F

là giao điểm của

SB

với dường tròn









O F B



và

H

là trực tâm của tam giác

APQ

.

Chứng minh

a) Tứ giác

BMDF

nội tiếp.

b) Các điểm

M

,

H

,

K

thẳng hàng.

c) Đường thẳng

HF

luôn đi qua một điểm cố định khi

M

thay đổi trên đoạn

AB

.

Câu 5. (1,0 điểm). Cho tập hợp





1;2;....;2022

X 

.

a) Xét tập con

M

của

X

gồm 1012 phần tử. Chứng minh rằng luôn có hai phần tử

,

a b

của

M

mà

a b



và

b

là bội của

a

.

b) Tìm số nguyên dương

n

lớn nhất sao cho với mọi tập con

A

của

X

có 1348 phần tử thì trong

A

có ít nhất

n

cặp





;

a b

mà

a b



và

b

là bội của

a

.

---HẾT---

HƯỚNG DẪN

Câu 1. (2,0 điểm). Cho

, ,

x y z

là các số thực dương thỏa mãn

( ) 1

xyz x y z

  

. Chứng minh rằng

2 2 2

1 1 1

( )( )( )

x y z x y y z z x

y z z

 

  

      

 

  

  

 

.

Hướng dẫn

Ta có

2 2 2 2

2

2 2 2 2

1 1 ( ) ( )( )

x y x y xyz x y z xy z x z y

x

y y y y

     

   

Tương tự, ta có:

2 2

2 2 2 2

1 ( )( ) 1 ( )( )

;

yz x y x z xz y x y z

y z

z z x x

   

   

Do đó

2 2 2

1 1 1

( )( )( )

x y z x y y z z x

y z z

 

  

      

 

  

  

 

(đpcm).

Câu 2. (3,0 điểm).

1) Cho hai số thực không âm

,

a b

thỏa mãn

2

a b  . Chứng minh

2 2 2

( )

1 1 1 ( )

a b a b



 

   

2) Tìm tất cả các số nguyên tố

,

p q

thỏa mãn

   

2 1

p q

p q q p



  

Hướng dẫn

Nhận xét: điểm rơi của bài toán ta thử kiểm tra thấy rằng tại cả trung tâm và tại biên bài toán đều

đúng nên đây là bài toán khá chặt nếu sử dụng B.Đ.T cổ điển trong phòng thi sẽ rất tốn thời gian để

tìm hướng giải. Giải pháp theo tôi là sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để không làm giảm

độ mạnh của bất đẳng thức.

Do

, 0

a b



nên

2 2 2

1 0; 1 0; 2 ( ) 0

a b a b

      

. Khi đó, ta cần phải chứng minh :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( 2 )[1 ( ) ] ( 1)( )

a b a b a b a b a b a b

        

Xét hiệu:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

( 1)( ) ( 2 )[1 ( ) ]

( 2 )( ) (1 )( ) ( 2 )( ) ( 2 )

(1 )( ) ( 2 )

( ) ( ) ( ) 2

2 ( ) 2

M a b a b a b a b a b a b

M a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

M a b a b a b a b

M a b a b a b a b a b

M ab a b a b a b

         

             

     

      

   

2 2

[2 ( ) 2 ]ab ab a b ab   

Do

 

2

2 2

2

2 ( )

2 [( ) 2 2 ] ( ) 0

( ) 2

a b

a b M ab a b ab ab ab a b dpcm

a b



 



          



   





Dấu bằng xảy ra khi

0

0; 2

0

2; 0

0

2

, 0; 2

2

a

a b

b

a b

a b a b



 





 











  







 











 

  







Cách 2: Ta có:

2 2

1

4 ( ) 2 & ( ) 2

2

ab a b ab a b

      

Bất đẳng thức được viết lại :

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 ( ) 1 1 1 ( )

2 (1 ) 1

(1 )(1 ) 1 ( )

1 1

(1 )(1 ) 1 ( )

a b a b a b a b

a b a b a b

a b a b

a b

a b a b

        

       

     

 

   



 

   

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

(1 )[1 ( ) ] (1 )(1 )

1 ( ) ( ) 1

2 2 ( ) 0

[2 2 ( ) ] 0

a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

ab a b a b a b

ab ab ab a b

      

         

    

Ta có:

 

2

2 2 ( ) 0

1 1

2 ( ) 2. .2 2 0

2 2

0

ab ab a b

ab ab a b VT dpcm

ab



   

       







.

Dấu bằng xảy ra khi

1

0; 2 2; 0

2

a b a b a b

       

Cách 3:

Biến đổi B.Đ.T cần chứng minh về dạng

2 2

1 ( ) ( )

1 1

a b

a b a b

a b

 

 

    

 

 

 

 

2 2 2 2 2 2

2

2 2

(1 2 ) (1 2 )

( )

1 1

a a ab b b a ab b

a b

     

   

 

Áp dụng B.Đ.T Cauchy Schwarz, ta có

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

2 2

(1 2 ) (2 ) 2 (2 )

1 1 2 2

2 (2 ) 2 (2 )

( ) 2 2 ( )

2 (2 ) 4 1

9 2 ( )

a a ab b a ab b a ab b

a a

a a a

a ab b a ab b

a a

a b a a a b a b

a ab b

a

a a b a b

    

   

  

 

   

    

 



  



 

 





Bằng cách tương tự, ta có:

2 2 2 2 2

2

2 2 2

(1 2 ) 2 (2 ) 4 1

1 9 2 ( )

b a ab b b ab a

b

b b a b a b

 

   

  

 

  

 



Do đó, ta có:

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

1 4 ( )

1 ( ) 12

1 1 9

2 ( ) .

a b ab a ab b

a b a b ab

a b a b

a b ab a b

   

 

 

      

 

 

 

  

   

    



Câu 3. (1,0 điểm). Cho tập hợp

S

có các phần tử là các số thực,

S

chứa tất cả các số nguyên và

đóng đối với phép cộng và nhân, tức là với hai phần tử bất kỳ

,

x y

thuộc

S

ta có

x y



và

.

x y

đều

thuộc

S

. Biết rằng:

2020 2021



thuộc

S

, chứng minh

2020 2021



thuộc S.

Hướng dẫn

Phân tích:

Hai biểu thức

2020 2021



và

2020 2021



có dạng “liên hợp” nên có thể dẫn chúng ta đến

suy nghĩ xét tích 2 biểu thức này. Ta có:

( 2020 2021)( 2020 2021) 1

   

Ta lại chú ý đến sự ngược dấu của hai biểu thức

a b



và

–

a b

, từ đó ta liên hệ đến:

Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội năm học 2021

Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội năm học 2021 - 2022 (vòng 2) được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Đây là đề thi tham khảo vào lớp 10 môn Toán dành cho các bạn học sinh ôn tập, củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng làm bài Toán. Mời các bạn cùng tham khảo

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội năm học 2021 - 2022 (vòng 2) được VnDoc chia sẻ trên đây với 5 câu hỏi tự luận với thời gian 120 phút, giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu ôn tập chuẩn bị tốt cho kì thi sắp tới. Ngoài đề thi thử trên đây các bạn tham khảo các đề của các tỉnh khác nữa nhé