Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

20 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 8

Chuyên đề Toán 8

20 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 8

20 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 8 gồm các chuyên đề Toán 8: Phân tích đa thức thành nhân tử, Khai triển lũy thừa bậc n của một nhị thức, Các bài toán chia hết giữa các số, Các đa thức, Chữ số tận cùng, Định lí Ta-letsl, Tam giác đồng dạng... Tài liệu bao quát hầu hết các kiến thức để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8. Mời các bạn tham khảo.

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 8. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

7 bộ đề thi học sinh giỏi tỉnh toán lớp 8
Đề cương ôn tập môn Toán lớp 8
50 đề ôn tập Toán lớp 8 cơ bản

CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A. MỤC TIÊU:

Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử
Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử

B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP

I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:

Định lí bổ sung:

Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất
Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì f(1)/(a - 1) và f(-1)/ (a + 1) đều là số nguyên.

Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

1. Ví dụ 1: $3x^2-8x+4$

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2

$3x^2-8x+4=3x^2-6x-2x+4=3x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3x-2)$

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:

$3x^2-8x+4=(4x^2-8x+4)-x^2=(2x-2)^2-x^2$

$=(2x-2+x)(2x-2-x)=(x-2)(3x-2)$

II. THÊM, BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:

1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung

III. ĐẶT BIẾN PHỤ:

Ví dụ 1: $x(x+4)(x+6)(x+10)+128=[x(x+10)][(x+4)(x+6)]+128$

$=(x^2+10x)(x^2+10x+24)+128$

Đặt $x^2+10x+12=y$, đa thức có dạng

$(y-12)(y+12)+128=y^2-144+128=y^2-16=(y+4)(y-4)$$=(x^2+10x+8)(x^2+10x+16)=(x+2)(x+8)(x^2+10x+8)$

Ví dụ 2: $A=x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1$ $A=x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1$

Giả sử x ≠ 0 ta viết

$x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1=x^{2}\left(x^{2}+6 x+7-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)$ $x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1=x^{2}\left(x^{2}+6 x+7-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)$ $=x^{2}\left[\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+6\left(x-\frac{1}{x}\right)+7\right]$ $=x^{2}\left[\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+6\left(x-\frac{1}{x}\right)+7\right]$

$\text { Đặt } x-\frac{1}{x}=y \text { thì } x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=y^{2}+2, \text { do dó }$ $\text { Đặt } x-\frac{1}{x}=y \text { thì } x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=y^{2}+2, \text { do dó }$

$\mathrm{A}=\mathrm{x}^{2}\left(\mathrm{y}^{2}+2+6 \mathrm{y}+7\right)=\mathrm{x}^{2}(\mathrm{y}+3)^{2}=(\mathrm{xy}+3 \mathrm{x})^{2}$ $\mathrm{A}=\mathrm{x}^{2}\left(\mathrm{y}^{2}+2+6 \mathrm{y}+7\right)=\mathrm{x}^{2}(\mathrm{y}+3)^{2}=(\mathrm{xy}+3 \mathrm{x})^{2}$ $=\left[\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{2}+3 \mathrm{x}\right]^{2}=\left(\mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{x}-1\right)^{2}$ $=\left[\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{2}+3 \mathrm{x}\right]^{2}=\left(\mathrm{x}^{2}+3 \mathrm{x}-1\right)^{2}$

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:

$A=x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1=x^{4}+\left(6 x^{3}-2 x^{2}\right)+\left(9 x^{2}-6 x+1\right)$ $A=x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1=x^{4}+\left(6 x^{3}-2 x^{2}\right)+\left(9 x^{2}-6 x+1\right)$

$=x^{4}+2 x^{2}(3 x-1)+(3 x-1)^{2}=\left(x^{2}+3 x-1\right)^{2}$ $=x^{4}+2 x^{2}(3 x-1)+(3 x-1)^{2}=\left(x^{2}+3 x-1\right)^{2}$

Ví dụ 3: $A=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)(x+y+z)^{2}+(x y+y z+z x)^{2}$ $A=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)(x+y+z)^{2}+(x y+y z+z x)^{2}$

$=\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+2(x y+y z+z x)\right]\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+(x y+y z+z x)^{2}$ $=\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+2(x y+y z+z x)\right]\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+(x y+y z+z x)^{2}$

Đặt $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a, x y+y z+z x=b \operatorname{ta} c ó$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a, x y+y z+z x=b \operatorname{ta} c ó$

$A=a(a+2 b)+b^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+x y+y z+z x\right)^{2}$ $A=a(a+2 b)+b^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+x y+y z+z x\right)^{2}$

Ví dụ 4: $\mathrm{B}=2\left(x^{4}+y^{4}+z^{4}\right)-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}-2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)(x+y+z)^{2}+(x+y+z)^{4}$ $\mathrm{B}=2\left(x^{4}+y^{4}+z^{4}\right)-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}-2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)(x+y+z)^{2}+(x+y+z)^{4}$

Đặt $x^{4}+y^{4}+z^{4}=a, x^{2}+y^{2}+z^{2}=b, x+y+z=c \operatorname{ta} c ó$ $x^{4}+y^{4}+z^{4}=a, x^{2}+y^{2}+z^{2}=b, x+y+z=c \operatorname{ta} c ó$

$\mathrm{B}=2 \mathrm{a}-\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{bc}^{2}+\mathrm{c}^{4}=2 \mathrm{a}-2 \mathrm{b}^{2}+\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{bc}^{2}+\mathrm{c}^{4}=2\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}^{2}\right)+\left(\mathrm{b}-\mathrm{c}^{2}\right)^{2}$ $\mathrm{B}=2 \mathrm{a}-\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{bc}^{2}+\mathrm{c}^{4}=2 \mathrm{a}-2 \mathrm{b}^{2}+\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{bc}^{2}+\mathrm{c}^{4}=2\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}^{2}\right)+\left(\mathrm{b}-\mathrm{c}^{2}\right)^{2}$

Ta lại có: $a-b^{2}=-2\left(x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}\right) \text { và } b-c^{2}=-2(x y+y z+z x)$ $a-b^{2}=-2\left(x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}\right) \text { và } b-c^{2}=-2(x y+y z+z x)$ Do đó;

$\mathrm{B}=-4\left(x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}\right)+4(\mathrm{xy}+\mathrm{yz}+\mathrm{zx})^{2}$ $\mathrm{B}=-4\left(x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}\right)+4(\mathrm{xy}+\mathrm{yz}+\mathrm{zx})^{2}$

$=-4 x^{2} y^{2}-4 y^{2} z^{2}-4 z^{2} x^{2}+4 x^{2} y^{2}+4 y^{2} z^{2}+4 z^{2} x^{2}+8 x^{2} y z+8 x y^{2} z+8 x y z^{2}$ $=-4 x^{2} y^{2}-4 y^{2} z^{2}-4 z^{2} x^{2}+4 x^{2} y^{2}+4 y^{2} z^{2}+4 z^{2} x^{2}+8 x^{2} y z+8 x y^{2} z+8 x y z^{2}$$=8 x y z(x+y+z)$

Ví dụ 5: $(a+b+c)^{3}-4\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)-12 a b c$ $(a+b+c)^{3}-4\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)-12 a b c$

Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m² – n²

^{$a^{3}+b^{3}=(a+b)\left[(a-b)^{2}+a b\right]=m\left(n^{2}+\frac{m^{2}-n^{2}}{4}\right)$}. Ta có:

$C=(m+c)^{3}-4 \cdot \frac{m^{3}+3 m n^{2}}{4}-4 c^{3}-3 c\left(m^{2}-n^{2}\right)$ $C=(m+c)^{3}-4 \cdot \frac{m^{3}+3 m n^{2}}{4}-4 c^{3}-3 c\left(m^{2}-n^{2}\right)$ $=3\left(-c^{3}+m c^{2}-m n^{2}+c n^{2}\right)$ $=3\left(-c^{3}+m c^{2}-m n^{2}+c n^{2}\right)$

$=3\left[\mathrm{c}^{2}(\mathrm{m}-\mathrm{c})-\mathrm{n}^{2}(\mathrm{m}-\mathrm{c})\right]=3(\mathrm{m}-\mathrm{c})(\mathrm{c}-\mathrm{n})(\mathrm{c}+\mathrm{n})$ $=3\left[\mathrm{c}^{2}(\mathrm{m}-\mathrm{c})-\mathrm{n}^{2}(\mathrm{m}-\mathrm{c})\right]=3(\mathrm{m}-\mathrm{c})(\mathrm{c}-\mathrm{n})(\mathrm{c}+\mathrm{n})$ $=3(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c})(\mathrm{c}+\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{c}-\mathrm{a}+\mathrm{b})$ $=3(\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c})(\mathrm{c}+\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{c}-\mathrm{a}+\mathrm{b})$

III. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:

Ví dụ 1: $x^{4}-6 x^{3}+12 x^{2}-14 x+3$ $x^{4}-6 x^{3}+12 x^{2}-14 x+3$

Nhận xét: các số ±1, ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ

Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng

$\left(x^{2}+a x+b\right)\left(x^{2}+c x+d\right)=x^{4}+(a+c) x^{3}+(a c+b+d) x^{2}+(a d+b c) x+b d$ $\left(x^{2}+a x+b\right)\left(x^{2}+c x+d\right)=x^{4}+(a+c) x^{3}+(a c+b+d) x^{2}+(a d+b c) x+b d$

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: $\left\{\begin{array}{l} a+c=-6 \\ a c+b+d=12 \\ a d+b c=-14 \\ b d=3 \end{array}\right.$ $\left\{\begin{array}{l} a+c=-6 \\ a c+b+d=12 \\ a d+b c=-14 \\ b d=3 \end{array}\right.$

Trên đây VnDoc đã chia sẻ 20 chuyên đề bồi dưỡng Toán 8. Hy vọng với tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn học sinh tham khảo, chuẩn bị cho bài giảng sắp tới tốt hơn