Chuyên đề - Dãy số viết theo quy luật

Dãy số viết theo quy luật Toán lớp 6

Chuyên đề - Dãy số viết theo quy luật là tài liệu bôi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 theo chuyên đề. Tài liệu này đưa ra các phương pháp giải bài toán dãy số viết theo quy luật, có kèm theo các ví dụ cụ thể và các bài tự luyện, giúp các em củng cố và nâng cao kiến thức hiệu quả. Chúc các em học tốt.

55 bài tập Toán lớp 6 – Ôn tập phần Số học

100 Bài tập ôn tập và hệ thống kiến thức môn Toán lớp 6

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6 (BD HSG)
DÃY SỐ VIẾT THEO QUI LUẬT

I. Phương pháp dự đoán và quy nạp:

Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn

S_n = a₁ + a₂ + .... a_n (1)

Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được.

Ví dụ 1: Tính tổng S_n = 1 + 3 + 5 +... + (2n -1)

Thử trực tiếp ta thấy: S₁ = 1

S₂ = 1 + 3 = 2²

S₃ = 1+ 3 + 5 = 9 = 3²

... ... ...

Ta dự đoán S_n = n²

Với n = 1; 2; 3 ta thấy kết quả đúng

Giả sử với n = k (k ≥ 1) ta có S_k = k² (2)

Ta cần phải chứng minh S_k + 1 = (k +1)² (3)

Thật vậy cộng 2 vế của (2) với 2k +1 ta có

1 + 3 + 5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k² + (2k +1)

Vì k² + (2k +1) = (k +1)² nên ta có (3) tức là S_k+1 = ( k +1)²

Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh

Vậy S_n = 1 + 3 + 5 + ... + (2n -1) = n²

Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học.

II. Phương pháp khử liên tiếp:

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn a_i, i = 1, 2, 3..., n, qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác, chính xác hơn, giả sử:

a₁ = b₁ - b₂

a₂ = b₂ - b₃

.... .... .....

a_n = b_n – b_{n+ 1}

Khi đó ta có ngay:

S_n = (b₁ – b₂) + (b₂ – b₃) + ...... + (b_n – b_{n + 1}) = b₁ – b_{n + 1}

Ví dụ 2: Tính tổng:

Ta có:

Do đó:

Dạng tổng quát: