Đề thi học sinh giỏi lớp 11 THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm 2012 môn Toán - Có đáp án

Câu 1 (1,5 điểm).

Giải phương trình:

Câu 2 (3,0 điểm).

1. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A, tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1.

2. Chứng minh đẳng thức sau:

Câu 3 (2,5 điểm).

1. Chứng minh rằng phương trình 8x³ - 6x - 1 = 0 có ba nghiệm thực phân biệt. Hãy tìm 3 nghiệm đó.

2. Cho dãy số (u_n) được xác định bởi: u1 = sin1, , với mọi n thuộc ¥, n ≥ 2. Chứng minh rằng dãy số (u_n) xác định như trên là một dãy số bị chặn.

Câu 4 (3,0 điểm).

1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a√2, các cạnh bên bằng nhau và bằng 3a (a > 0). Hãy xác định điểm O sao cho O cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD và tính độ dài SO theo a.

2. Cho hình chóp S.ABC có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (SBC). Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng đường thẳng SB vuông góc với đường thẳng SC, biết rằng .

3. Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện AB = CD, BC = AD, AC = BD và một điểm X thay đổi trong không gian. Tìm vị trí của điểm X sao cho tổng XA + XB + XC + XD đạt giá trị nhỏ nhất.