Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Quế Võ 1, Bắc Ninh năm 2020-2021
Đề thi HSG lớp 11 môn Toán
1
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 1
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2020-2021
Môn thi: TOÁN - Lớp 11 THPT
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm). Cho
2 2
: 2
m
P y x mx m m
. Biết rằng
m
P
luôn cắt đường phân giác góc phần tư thứ nhất
tại hai điểm
A
,
B
. Gọi
1
A
,
1
B
lần lượt là hình chiếu của
A
,
B
lên
Ox
,
2
A
,
2
B
lần lượt là hình chiếu của
A
,
B
lên
Oy
. Tìm
m
để tam giác
1 2
OB B
có diện tích gấp 4 lần diện tích tam giác
1 2
OA A
.
Câu 2 (4 điểm).
1. Giải phương trình
2sin 2 cos 2 7sin 4 3
1
2 cos 3
x x x
x
.
2.Giải hệ phương trình
3 2 2
2
2 2 2
4 4 1 5 4 1 1
2 3 3 6 7 1 1 3 2 2
y y y x y y x
x x x y x y x
.
Câu 3 (4 điểm).
1. Chứng minh rằng
2 2 2 2 2
1 2 3 2021 2022 1011
2022 2022 2022 2022 2022 2022
... 1
C C C C C C
.
2.Cho đa giác đều
1 2 2020
...
A A A
nội tiếp đường tròn tâm
O
, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh bất kỳ của đa giác đó. Tính
xác suất để nhận được một tứ giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác.
Hỏi gia đình anh A để tiết kiệm tiền thì nên chọn cơ sở nào để thuê, biết rằng hai cơ sở trên có chất lượng khoan là
như nhau.
Câu 5 (6 điểm).
1.Trong mặt phẳng hệ tọa độ
Oxy
cho hình thang cân
ABCD
có hai đường chéo
BD
và
AC
vuông góc với
nhau tại
H
và 2
AD BC
. Gọi
M
là điểm nằm trên cạnh
AB
sao cho
3
AB AM
,
N
là trung điểm
HC
. Biết
1; 3
B
, đường thẳng
HM
đi qua điểm
2; 3
T
, đường thẳng
DN
có phương trình
2 2 0
x y
. Tìm
tọa độ các điểm
A
,
C
và
D
.
2. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang cân,
// , 2
AB CD AB CD
. Các cạnh bên có độ dài
bằng 1. Gọi
O
là giao điểm của AC và BD. I là trung điểm của SO. Mặt phẳng
thay đổi đi qua
I
và cắt
, , ,
SA SB SC SD
lần lượt tại
, , ,
M N P Q
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2
T
SM SN SP SQ
.
3. Cho hình lăng trụ tứ giác
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
, mặt phẳng
thay đổi và song song với hai đáy của lăng trụ
lần lượt cắt các đoạn thẳng
1 1 1 1
, , ,
AB BC CD DA
tại
, , ,
M N P Q
. Hãy xác định vị trí của mặt phẳng
để tứ
giác
MNPQ
có diện tích nhỏ nhất.
Câu 6 (2 điểm).
1. Cho
, ,
a b c
là các số thực dương thoả mãn
1
abc
. Chứng minh bất đẳng thức
3 3 3
2 2 2 2 2 2
9
2
ab bc ca
a b c
a b b c c a
.
2. Giải phương trình
1 2020 1 2020 1 2021 1 2021 1 2021 1 2021
x x x x x x
.
---------- Hết ------------
Câu 4 (2 điểm). Nhà anh A muốn khoan một cái giếng sâu 20 mét dùng để lấy nước cho sinh hoạt gia đình.
Có hai cơ sở khoan giếng tính chi phí như sau:
Cơ sở I: Mét thứ nhất 200 nghìn đồng và kể từ mét thứ hai trở đi, giá của mỗi mét tăng thêm 60 nghìn đồng so
với giá của mỗi mét trước đó.
Cơ sở II: Mét thứ nhất 10 nghìn đồng và kể từ mét thứ hai trở đi, giá của mỗi mét gấp
2
lần so với giá của
mỗi mét trước đó.
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
2
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
(Gồm có 06 trang)
Câu
N
Ộ
I DUNG
Đi
ể
m
I
2,0
điểm
Cho
2 2
: 2
m
P y x mx m m
. Biết rằng
m
P
luôn cắt đường phân giác góc phần tư
thứ nhất tại hai điểm
A
,
B
. Gọi
1
A
,
1
B
lần lượt là hình chiếu của
A
,
B
lên
Ox
,
2
A
,
2
B
lần lượt là hình chiếu của
A
,
B
lên
Oy
. Tìm
m
để tam giác
1 2
OB B
có diện tích gấp 4 lần
diện tích tam giác
1 2
OA A
.
2,0
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2 2
2
1
x m
x mx m m x
x m
.
0,5
*TH1:
1
; ;0
A m m A m
;
2
0;
A m
.
1
1; 1 1;0
B m m B m
;
2
0; 1
B m
.
Khi đó
1 2 1 2
2
2
1
1 1
4 1 4. .
1
2 2
3
OB B OA A
m
S S m m
m
.
0,75
*TH2:
1
; ;0
B m m B m
;
2
0;
B m
.
1
1; 1 1;0
A m m A m
;
2
0; 1
A m
.
Khi đó
1 2 1 2
2
2
2
1 1
4 4. 1
2
2 2
3
OB B OA A
m
S S m m
m
.
Vậy có 4 giá trị của
m
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
0,75
II
4,0
điểm
1. Giải phương trình
2sin 2 cos 2 7sin 4 3
1.
2 cos 3
x x x
x
2,0
Điều kiện:
5
2
6
x k
(*).
Phương trình tương đương
2sin 2 cos 2 7sin 4 3 2cos 3
x x x x
0,5
2sin 2 cos 2 7sin 2cos 4 0
x x x x
2
2sin 2 2cos 1 2sin 7sin 4 0
x x x x
2 cos 2sin 1 2sin 1 sin 3 0
x x x x
0,5
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
3
2sin 1 0
2sin 1 sin 2cos 3 0 .
sin 2cos 3 0
x
x x x
x x
Giải (1) :
2
1
6
sin
5
2
2
6
x k
x
x k
Giải (2):
sin 2 cos 3
x x
vô nghiệm vì
2 2 2
1 2 3
.
0,5
Đối chiếu điều kiện (*) phương trình có họ nghiệm
2 .
6
x k k
0,5
2. Giải hệ phương trình
3 2 2
2
2 2 2
4 4 1 5 4 1 1
.
2 3 3 6 7 1 1 3 2 2
y y y x y y x
x x x y x y x
2,0
Điều kiện:
2
(*)
3
x
0,25
Phương trình (1)
2 2
2 1 2 1
y y x y y x
2
1 2 1 0
y x y x
1
y x
vì
2
2
2 1 0.
3
x y x
0,5
Thế
1
y x
vào phương trình (2) ta có:
2
2
2 3 3 6 7 1 1 3 2
x x x x x x x
2 3 2
2 3 3 6 7 1 3 2
x x x x x x x x
2 3
2 3 3 1 3 2 7 6
x x x x x x x
2 2
2
2
3 2 3 2
2 3 2 3
3 2
3 3 1
x x x x
x x x x
x x
x x
0,5
2
2
2
3 2 3 0
3 2
3 3 1
x
x x x
x x
x x
2
2
3 2 0 3
.
2
3 0 4
3 2
3 3 1
x x
x
x
x x
x x
0,25
Giải (3) ta được
1; 2
x x
Giải (4): phương trình
2
2
3 0
3 2
3 3 1
x
x
x x
x x
2
2
2 1 0
3 2
3 3 1
x
x
x x
x x
2
2
2 3 3 3 2
0
3 2
3 3 1
x x x
x
x x
x x
vô nghiệm vì vế trái luôn dương với
2
3
x
.
Đối chiếu điều kiện (*) suy ra tập nghiệm hệ là
1; 2 , 2; 3
S .
0,5
III
4,0
điểm
1. Chứng minh rằng
2 2 2 2 2
1 2 3 2021 2022 1011
2022 2022 2022 2022 2022 2022
... 1
C C C C C C
.
2,0
Ta có
0,25
Thư viện đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí
Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Quế Võ 1, Bắc Ninh năm 2021
Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Quế Võ 1, Bắc Ninh năm 2020-2021 vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập và ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.
- Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Trần Nguyên Hãn, Hải Phòng vòng 1 năm 2020-2021
- Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Cẩm Xuyên, Hà Tĩnh cấp trường năm 2020-2021
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Quế Võ 1, Bắc Ninh năm 2020-2021 để bạn đọc cùng tham khảo. Đề thi được tổng hợp gồm có 6 câu hỏi tự luận, thí sinh làm bài trong thời gian 150 phút. Đề có đáp án và lời giải chi tiết kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết.
Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THPT miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 11. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.
Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán lớp 11 trường THPT Quế Võ 1, Bắc Ninh năm 2020-2021. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 11. Mời các bạn cùng tham khảo thêm các môn Ngữ văn lớp 11, Tiếng Anh lớp 11, đề thi học kì 1 lớp 11, đề thi học kì 2 lớp 11...
