Hai con lắc lò xo gồm các lò xo có cùng độ cứng k = 50,0 N/m, các vật nhỏ m1 và m2 có khối lượng lần lượt là 50,0 g và 200 g, được gắn vào giá M như hình dưới sao cho chúng chỉ có thể đao động điều hòa theo phương thẳng đứng.

Giá M có khối lượng 250 g và được đặt trên bệ đỡ cố định nằm ngang. Biết giới hạn đàn hồi của hai lò xo là lớn. Ban đầu, hai vật m1 và m2 được giữ ở vị trí bên dưới vị trí cân bằng của mỗi vật một khoảng A. Thả nhẹ m2 để nó dao động điều hòa. Sau khi thả m2 một khoảng thời gian Δt thì thả nhẹ vật m1 để nó dao động điều hòa. Biết A0 là giá trị lớn nhất có thể có của A để với khoảng thời gian Δt thích hơp thì giá M không bao giờ rời khỏi bệ đỡ. Lấy g = 9,80 m/s2. Giá trị của A0 gần nhất với giá trị nào sau đây?
Chọn chiều dương thẳng đứng hướng lên.
Có m2 = 4m1 → ω1 = 2ω2.
Chọn t = 0 lúc vật m1 lên vị trí biên trên ⇒ x1 = Acos(ω1t) ⇒ x2 = Acos(ω2t + Δφ).
Δφ = ω2Δt là độ lệch pha ban đầu của x2 so với x1.
Lực đàn hồi của lò xo bên trên tác dụng lên vật M là:
Fđh1 = kx1 – m1g = kAcos(ω1t) – m1g
Lực đàn hồi của lò xo bên dưới tác dụng lên vật M là:
Fđh2 = kx2 – m2g = kAcos(ω2t + Δφ) – m2g
Để vật M không bao giờ rời sàn: Fđh1 + Fđh2 ≤ Mg
→ kA[cos(ω1t) + cos(ω2t + Δφ) ≤ (m1 + m2 + M)g
⇔ kA[cos(2ω2t) + cos(ω2t + Δφ] ≤ (m1 + m2 + M)g
Để Amax thì Δφ là giá trị cực đại sao cho giá trị cực đại của [cos(2ω2t) + cos(ω2t + Δφ] đạt nhỏ nhất.
Đặt x = ω2t và a = Δφ, ta muốn tìm a sao cho giá trị cực đại của hàm số f(x) = cos(2x) + cos(x + a) nhỏ nhất.
Đạo hàm f(x) để tìm các điểm cực trị xC, ta có:
f'(xC) = –2sin(2xC) – sin(xC + a) = 0 ⇔ 2sin(2xC) = –sin(xC + a)
Ta sẽ xem tọa độ điểm cực trị xC thỏa mãn phương trình trên là một hàm số theo a.
Giá trị của hàm số f(x) tại các điểm cực trị này là f(xC) = cos(2xC) + cos(xC + a). Biểu thức này chỉ chứa a (ở trên đã nói xC được biểu diễn theo a). Do đó ta có thể ký hiệu g(a) = f(xC) được.
Đạo hàm g(a) theo a để tìm các điểm cực trị trong thay đổi f(xC) và ký hiệu x'C là xC đạo hàm theo a, ta được:
g'(a) = –2sin(2xC)x'C – sin(xC + a)(x'C + 1) = 0
Ta lại có: 2sin(2xC) = –sin(xC + a) nên phương trình trên tương đương (xC + a) = 0.
Xét sin(xC + a) = 0, giải được xC + a = kπ với k nguyên.
Và do 2sin(2xC) = sin(xC + a) = 0 nên xC = với k' nguyên.
Như vậy a = (k – )π với k và k' nguyên, hay a =
với n nguyên.
Xét hai trường hợp:
• n chẵn: f(x) = cos(2x) + (–1)cos(x) ≤ 2 tại x = 0 khi chia hết cho 4 hoặc x = π khi chia 4 dư 2.
• n lẻ: f(x) = cos(2x) + cos(x + ) = 1 – 2sin2(x) – (–1)nsin(x).
Ta có f(x) = 1 – 2(sin(x) + )2 +
≤
, dấu bằng xảy ra khi x = arcsin(
).
g



