VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi Toán THPT Quốc gia 2023

Trắc nghiệm Toán THPT Quốc gia có đáp án

Mời các bạn học cùng thử sức với đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2023.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 50 câu
Điểm số bài kiểm tra: 50 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Với $b,c$ là hai số thực dương tùy ý thỏa mãn $\log_{5}b \geq \log_{5}c$ , khẳng định nào dưới đây là đúng?
- A.
  $b \geq c$ .
- B.
  $b > c$ .
- C.
  $b \leq c$ .
- D.
  $b < c$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\log_{5}b \geq \log_{5}c \Leftrightarrow b \geq c$ .
Câu 2: Vận dụng
Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mọi $m$ , hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} - 3mx + \frac{5}{3}$ có đúng một cực trị thuộc khoảng $( - 2;5)$ ?
- A.
  6.
- B.
  16.
- C.
  7.
- D.
  17.
Hướng dẫn:
Ta có:

$y^{'} = - 3x^{2} + 6x - 3m$

Hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} - 3mx + \frac{5}{3}$ có đúng một cực trị thuộc khoảng $( - 2;5)$ khi và chỉ khi $y^{'} = 0$ có một nghiệm thuộc khoảng $( - 2;5)$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2x + m = 0$ có một nghiệm thuộc khoảng $( - 2;5)$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2x = - m$

$g(x) = x^{2} - 2x \Rightarrow g^{'}(x) = 2x - 2$

$g^{'}(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Để hàm số có 1 cực trị

$\Rightarrow 8 \leq - m < 15 \Leftrightarrow - 15 < m \leq - 8$

Mà m cần tìm là giá trị nguyên

$\Rightarrow m \in \{ - 14; - 13; - 12; - 11; - 10; - 9; - 8\}$

Vậy có 7 giá trị m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 3: Nhận biết
Giải bất phương trình
Tập nghiệm của bất phương trình $2^{2x} < 8$ là
- A.
  $\left( \frac{3}{2}; + \infty ight)$ .
- B.
  $\left( - \infty;\frac{3}{2} ight)$ .
- C.
  $( - \infty;2)$ .
- D.
  $\left( 0;\frac{3}{2} ight)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $2^{2x} < 8 \Leftrightarrow 2^{2x} < 2^{3} \Leftrightarrow 2x < 3 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( - \infty;\frac{3}{2} ight)$ .
Câu 4: Nhận biết
Tính giá trị của hàm số
Cho hàm số $y = \left( 2x^{2} - 1 ight)^{\frac{1}{2}}$ . Giá trị của hàm số đã cho tại điểm $x = 2$ bằng:
- A.
  $\sqrt{7}$ .
- B.
  3.
- C.
  7.
- D.
  $\sqrt{3}$ .
Hướng dẫn:
Giá trị của hàm số $y = f(x) = \left( 2x^{2} - 1 ight)^{\frac{1}{2}}$ tại điểm $x = 2$ là:

$f(2) = \left( {2.2}^{2} - 1 ight)^{\frac{1}{2}} = 7^{\frac{1}{2}} = \sqrt{7}$
Câu 5: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho hàm số $f(x) =\cos x - x$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $\int f(x)dx = - \sin x + x^{2} +C$ .
- B.
  $\int f(x)dx = - \sin x -\frac{x^{2}}{2} + C$ .
- C.
  $\int f(x)dx = \sin x - x^{2} +C$ .
- D.
  $\int f(x)dx = \sin x - \frac{x^{2}}{2}+ C$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\int f(x)dx = \int(\cos x - x)dx = \sin x - \frac{1}{2}x^{2} + C$ với $C \in \mathbb{R}$ .
Câu 6: Vận dụng
Tính thể tích khối chóp
Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $SA = SB = SC = AC = a$ , $SB$ tạo với mặt phẳng $(SAC)$ một góc bằng $30^{0}$ . Thể tích khối chóp đã cho bằng:
- A.
  $\frac{a^{3}}{4}$
- B.
  $\frac{a^{3}}{8}$
- C.
  $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$
- D.
  $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vẽ $BH\bot(SAC)$ tại $H$ suy ra $(SB;(SAC)) = (SB;BH) = \widehat{BSH} = 30^{\circ}$

Từ đó ta có $V_{S.ABCD} = 2V_{S.ABC} = 2V_{B.SAC}$

Xét $\bigtriangleup SHB$ vuông tại $H$ ta có:

$\sin\widehat{BSH} = \frac{BH}{SB}\Rightarrow \sin30^{\circ} = \frac{BH}{a} \Leftrightarrow BH =\frac{a}{2}$

Ta có $V_{B.SAC} = \frac{1}{3}BH.S_{\bigtriangleup SAC} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$

Vậy $V_{S.ABCD} = 2V_{B.SAC} = 2.\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24} = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$
Câu 7: Vận dụng
Tìm khoảng chứa giá trị f(2) của hàm số
Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương trên khoảng $(0; + \infty)$ , có đạo hàm trên khoảng đó và thỏa mãn: $f(x)lnf(x) = x\left( f(x) - f^{'}(x) ight),\forall x \in (0; + \infty)$ . Biết $f(1) = f(3)$ , giá trị $f(2)$ thuộc khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(12;14)$ .
- B.
  $(4;6)$ .
- C.
  $(1;3)$ .
- D.
  $(6;8)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$f(x)\ln{f(x)} = x\left( f(x) - f^{'}(x) ight)$

$\Leftrightarrow \ln f(x) = x\left( 1 -\frac{f^{'}(x)}{f(x)} ight)$

$\Leftrightarrow \ln f(x) = x\left( 1 -( \ln f(x))^{'} ight)$

$\Leftrightarrow (x)^{'}\ln f(x) +x(\ln f(x))^{'} = x$

$\Leftrightarrow (x\ln f(x))^{'} =x.$

Từ đó:

$x\ln f(x) = \int xdx = \frac{1}{2}x^{2} +C$ .

Cho $x = 1$ ta được: $\ln f(1) = \frac{1}{2} + C$

Cho $x = 3$ ta được: $3\ln f(3) = \frac{9}{2} + C$

Theo bài ra thì $f(1) = f(3)$ , từ đó suy ra $C = \frac{3}{2}$ nên $f(x) = e^{\frac{1}{2}x + \frac{3}{2x}}$ .

Cho $x = 2$ ta được $f(2) = e^{\frac{7}{4}} \approx 5,75$ .

Vậy giá trị $f(2)$ thuộc khoảng $(4;6)$ .
Câu 8: Nhận biết
Tính đạo hàm của hàm số
Đạo hàm của hàm số $y = \log_{2}(x - 1)$ là
- A.
  $y^{'} = \frac{1}{(x -1)\ln2}$ .
- B.
  $y^{'} = \frac{1}{x - 1}$ .
- C.
  $y^{'} = \frac{x -1}{\ln2}$ .
- D.
  $y^{'} =\frac{1}{\ln2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y = \log_{2}(x - 1) \Rightarrow y^{'} = \dfrac{(x - 1)^{'}}{(x - 1)\ln2} = \dfrac{1}{(x -1)\ln2}$ .
Câu 9: Nhận biết
Tìm tiệm cận của hàm phân thức
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{x - 2}$ có phương trình là:
- A.
  $x = 2$ .
- B.
  $x = - 2$ .
- C.
  $x = \frac{1}{2}$ .
- D.
  $x = 3$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\lim_{x ightarrow 2^{+}}\frac{3x - 1}{x - 2} = + \infty;\lim_{x ightarrow 2^{-}}\frac{3x - 1}{x - 2} = - \infty$

Suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3x - 1}{x - 2}$ có phương trình là $x = 2$ .
Câu 10: Vận dụng cao
Xác định các giá trị nguyên của bán kính R
Trong không gian $Oxyz$ , xét mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4;8;12)$ và bán kính $R$ thay đổi. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $R$ sao cho ứng với mỗi giá trị đó, tồn tại hai tiếp tuyến của $(S)$ trong mặt phẳng $(Oyz)$ mà hai tiếp tuyến đó cùng đi qua $(O)$ và góc giữa chúng không nhỏ hơn $60^{0}$
- A.
  6.
- B.
  2.
- C.
  5.
- D.
  10.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Giả sử hai tiếp tuyến OA; OB. Theo giả thiết suy ra $\left( \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ight) \geq 60^{0}$ suy ra

$30^{0} \leq \widehat{AOH} \leq 60^{0}$

Gọi H là hình chiếu của I trên $(Oyz)$ suy ra $H(0;8;12)$ suy ra $OH = 4\sqrt{13}$

Xét tam giác $AOH$ có $HA = OH.sin\widehat{AOH} \geq 4\sqrt{3}.sin30^{0} = 2\sqrt{13}$

Ta có:

$2\sqrt{13} \leq HA < 2\sqrt{39} \Rightarrow 52 \leq HA^{2} \leq 156$

$\Rightarrow 52 + 16 \leq HA^{2} + IH^{2} \leq 156 + 16$

$\Rightarrow 68 \leq IA^{2} \leq 172 \Rightarrow 68 \leq R^{2} \leq 172 \Rightarrow 8,24 \leq R \leq 13,11$

Do $R\mathbb{\in Z \Rightarrow}R \in \left\{ 9;10;...;13 ight\}$

Vậy có tất cả 5 giá trị của R thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 11: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f^{'}(x) = x(x - 4),\forall x \in \mathbb{R}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $f(0) > f(2)$ .
- B.
  $f(4) > f(2)$ .
- C.
  $f(5) > f(6)$ .
- D.
  $f(4) > f(0)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$f^{'}(x) = x(x - 4)\Rightarrow f^{'}(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = 4 \\\end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;4)$ nên $f(0) > f(2)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $a eq 1$ và $\log_{a}b =$ 2, giá trị của $\log_{a^{2}}\left( ab^{2} ight)$ bằng:
- A.
  $\frac{5}{2}$ .
- B.
  $\frac{3}{2}$ .
- C.
  $\frac{1}{2}$ .
- D.
  2.
Hướng dẫn:
Ta có:

$\log_{a^{2}}\left( ab^{2} ight) = \log_{a^{2}}a + \log_{a^{2}}b^{2}$

$= \log_{a^{2}}a + \log_{a}b = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tính tích phân
Đường gấp khúc $ABC$ trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $\lbrack - 2;3brack$ .

Tích phân $\int_{- 2}^{3}\mspace{2mu} f(x)dx$ bằng:
- A.
  4.
- B.
  3.
- C.
  $\frac{7}{2}$ .
- D.
  $\frac{9}{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\int_{- 2}^{3}\mspace{2mu}\mspace{2mu} f(x)dx = S_{ABGH} + S_{BGD} - S_{CDE}$

$\int_{- 2}^{3}\mspace{2mu}\mspace{2mu} f(x)dx = 3.1 + \frac{1}{2}.1.1 - \frac{1}{2}.1.1 = 3$
Câu 14: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ với $u_{n} = \frac{1}{n + 1},\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ . Giá trị của $u_{3}$ bằng:
- A.
  $\frac{1}{3}$ .
- B.
  $\frac{1}{4}$ .
- C.
  $\frac{1}{2}$ .
- D.
  4.
Hướng dẫn:
Ta có $u_{3} = \frac{1}{3 + 1} = \frac{1}{4}$ .
Câu 15: Vận dụng cao
Tính thể tích khối nón
Xét khối nón $(\mathcal{N})$ có đỉnh và đường tròn đáy cùng nằm trên một mặt cầu bán kính bằng 2. Khi $(\mathcal{N})$ có độ dài đường sinh bằng $2\sqrt{3}$ , thể tích của nó bằng:
- A.
  $\pi$ .
- B.
  $6\sqrt{3}\pi$ .
- C.
  $3\pi$ .
- D.
  $2\sqrt{3}\pi$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi H là tâm đường tròn đáy của $(\mathcal{N})$ đỉnh S

TH1: I thuộc đoạn SH. Đặt $IH = x;(0 < x < 2)$ suy ra $AH = \sqrt{IA^{2} - IH^{2}} = \sqrt{4 - x^{2}}$

Ta có: $SA^{2} = SH^{2} + HA^{2}$

$\Rightarrow 12^{2} = (2 + x)^{2} + 4 - x^{2}$

$\Rightarrow x = 1(tm) \Rightarrow SH = 3;AH = \sqrt{3}$

$\Rightarrow V = \frac{1}{2}\pi R^{2}h = \frac{1}{3}.\pi.3.3 = 3\pi$

TH2: H thuộc đoạn SI. Đặt $IH = x;(0 < x < 2)$ suy ra $AH = \sqrt{IA^{2} - IH^{2}} = \sqrt{4 - x^{2}}$

Ta có: $SA^{2} = SH^{2} + HA^{2}$

$\Rightarrow \left( 2\sqrt{3} ight)^{2} = (2 - x)^{2} + 4 - x^{2}$

$\Rightarrow x = - 1(ktm)$

Vậy thể tích cần tìm bằng $3\pi$ .
Câu 16: Nhận biết
Giải bất phương trình logarit
Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3}(2x) \geq \log_{3}2$ là:
- A.
  $(0;1brack$ .
- B.
  $(1; + \infty)$ .
- C.
  $(0; + \infty)$ .
- D.
  $\lbrack 1; + \infty)$ .
Hướng dẫn:
Điều kiện: $x > 0$ .

Ta có: $\log_{3}(2x) \geq \log_{3}2 \Leftrightarrow 2x \geq 2 \Leftrightarrow x \geq 1$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3}(2x) \geq \log_{3}2$ là: $\lbrack 1; + \infty)$ .
Câu 17: Nhận biết
Xác định số nghiệm của phương trình
Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Số nghiệm thực của phương trình $f(x) = 2$ là:
- A.
  0
- B.
  2
- C.
  1
- D.
  3
Hướng dẫn:
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị.

Do số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = 2$ là 3 nên số nghiệm thực của phương trình $f(x) = 2$ là 3.
Câu 18: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp
Cho khối chóp $S.ABCD$ có chiều cao bằng 4 và đáy $ABCD$ có diện tích bằng 3. Thể tích khối chóp đã cho bằng:
- A.
  $7.$
- B.
  $5.$
- C.
  $12.$
- D.
  $4.(META)$
Hướng dẫn:
Ta có:
$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3}.h.S_{ABCD} =\frac{1}{3}.4.3 = 4$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ có $AB = 1,BC = 2,AA^{'} = 2$ (tham khảo hình bên).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD^{'}$ và $DC^{'}$ bằng:
- A.
  $\sqrt{2}$ .
- B.
  $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .
- C.
  $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .
Hướng dẫn:
Kí hiệu hình vẽ như sau:

Ta có $AD^{'} \subset \left( AD^{'}B^{'} ight),DC^{'} \subset \left( DC^{'}B ight)$ và $\left( AD^{'}B^{'} ight)//\left( DC^{'}B ight)$ nên khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD^{'}$ và $DC^{'}$ bằng khoảng cách giữa $\left( AD^{'}B^{'} ight)$ và $\left( DC^{'}B ight)$ .

$d\left( \left( AD^{'}B^{'} ight);\left( DC^{'}B ight) ight) = d\left( A;\left( DC^{'}B ight) ight) = d\left( C;\left( DC^{'}B ight) ight) = h$

Xét tứ diện $C.BC^{'}D$ có các cạnh $CD,CB,CC^{'}$ đôi một vuông góc nên ta có:

$\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{CB^{2}} + \frac{1}{CD^{2}} + \frac{1}{CC^{12}} = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} = \frac{3}{2} \Rightarrow h = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD^{'}$ và $DC^{'}$ bằng $\frac{\sqrt{6}}{3}.$
Câu 20: Nhận biết
Tính diện tích xung quanh hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao $h = 3$ và bán kính đáy $r = 4$ . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:
- A.
  $56\pi$ .
- B.
  $48\pi$ .
- C.
  $16\pi$ .
- D.
  $24\pi$ .
Hướng dẫn:
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng:

$S = 2\pi hr = 2.\pi.4 = 24\pi$ .
Câu 21: Nhận biết
Xác định khoảng đồng biến của hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - \infty;0)$ .
- B.
  $(0; + \infty)$ .
- C.
  $(2; + \infty)$ .
- D.
  $( - 1;2)$ .
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ .
Câu 22: Nhận biết
Tính tích phân
Nếu $\int_{0}^{1}\mspace{2mu} f(x)dx = 2$ và $\int_{1}^{3}\mspace{2mu} f(x)dx = 5$ thì $\int_{0}^{3}\mspace{2mu} f(x)dx$ bằng:
- A.
  $7$ .
- B.
  $10$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $- 3$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\int_{0}^{3}\mspace{2mu} f(x)dx = \int_{0}^{1}\mspace{2mu} f(x)dx + \int_{1}^{3}\mspace{2mu} f(x)dx = 2 + 5 = 7$ .
Câu 23: Vận dụng cao
Tìm các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $f(x) = x^{4} - 32x^{2} + 4$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ , tổng giá trị các nghiệm phân biệt thuộc khoảng $( - 3;2)$ của phương trình $f\left( x^{2} + 2x + 3 ight) = m$ bằng $- 4$ ?
- A.
  145.
- B.
  $142$ .
- C.
  $143$ .
- D.
  144.
Hướng dẫn:
Phương trình $x^{2} + 2x + 3 = a;(a \in \mathbb{R})$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ thì ta có: $x_{1} + x_{2} = - 2$

Phương trình $f\left( x^{2} + 2x + 3 ight) = m\ \ \ (*)$ có tổng nghiệm bằng $- 4$

$\Leftrightarrow$ Phương trình $(*)$ có nghiệm xảy ra ở trường hợp: 4 nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}\ \ \ (**)$

(Vì khi đó: $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}\ = ( - 2) + ( - 2) = - 4$ )

Đặt $x^{2} + 2x + 3 = t$

Ta có bảng biến thiên:

Điều kiện để (**) tương đương với Tìm giá trị tham số m để phương trình $f(t) = m$ có hai nghiệm $2 < t < 6\ \ \ (1)$

Xét $f(t) = t^{4} - 32t^{2} + 4 \Rightarrow f'(t) = 4t^{3} - 64t$

$f'(t) = 0 \Leftrightarrow 4t^{3} - 64t = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = 4 \\ t = - 4 \\ \end{matrix} ight.$

Theo yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow - 252 < m < - 108$ . Mà m là giá trị nguyên suy ra có 143 giá trị m thỏa mãn.

Vậy có tất cả 143 giá trị tham số m cần tìm.
Câu 24: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $\int x^{\frac{1}{3}}dx =\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C$ .
- B.
  $\int x^{\frac{1}{3}}\ dx = x^{\frac{2}{3}} + C.$
- C.
  $\int x^{\frac{1}{3}}dx = x^{\frac{4}{3}} + C$
- D.
  $\int x^{\frac{1}{3}}dx = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\int x^{\frac{1}{3}}dx =\frac{1}{\frac{1}{3} + 1}x^{\frac{1}{3} + 1} + C =\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C$ với $C \in \mathbb{R}$ .
Câu 25: Vận dụng
Tính tích phân
Cho hàm số bậc hai $y = f(x)$ có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm như trong hình vẽ bên.

Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $d$ có diện tích $S = \frac{125}{9}$ . Tích phân $\int_{1}^{6}\mspace{2mu}(2x - 5)f^{'}(x)dx$ bằng:
- A.
  $\frac{830}{9}$ .
- B.
  $\frac{178}{9}$ .
- C.
  $\frac{340}{9}$ .
- D.
  $\frac{925}{18}$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$S_{hinhthang} = \frac{(8 + 3).5}{2} = \frac{55}{2}$

$\Rightarrow \int_{1}^{6}\mspace{2mu} f(x)dx = \frac{55}{2} - \frac{125}{9} = \frac{245}{18}$ .

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = 2x - 5 \Rightarrow du = 2dx \\ dv = f^{'}(x)dx \Rightarrow v = f(x) \\ \end{matrix} ight.$ nên ta có:

$\int_{1}^{6}{(2x - 5)f'(x)dx} = (2x - 5)f(x)|_{1}^{6} - 2\int_{1}^{6}{f(x)dx}$

$= 7f(6) + 3f(1) - 2.\frac{245}{18}$

$= 7.8 + 3.3 - 2.\frac{245}{18} = \frac{340}{9}$
Câu 26: Nhận biết
Xác định chiều cao khối nón
Cho khối nón có thể tích bằng 12 và diện tích đáy bằng 9. Chiều cao của khối nón đã cho bằng:
- A.
  $\frac{4\pi}{3}$ .
- B.
  4.
- C.
  $\frac{4}{3}$ .
- D.
  $4\pi$ .
Hướng dẫn:
Chiều cao của khối nón đã cho bằng: $h = \frac{3V}{S} = \frac{3.12}{9} = 4$ .
Câu 27: Vận dụng
Xác định khoảng giá trị theo yêu cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 4$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1;0; - 2)$ , nhận $\overrightarrow{u} = (1;a;1 - a)$ (với $a \in \mathbb{R})$ làm vectơ chỉ phương. Biết rằng $d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $(S)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau. Hỏi $a^{2}$ thuộc khoảng nào dưới đây?
- A.
  $\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2} ight)$ .
- B.
  $\left( 7;\frac{15}{2} ight)$ .
- C.
  $\left( \frac{3}{2};2 ight)$ .
- D.
  $\left( 0;\frac{1}{4} ight)$ .
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; - 2; - 1)$ , bán kính $R = 2$

Gọi $B,C$ là giao điểm giữa $d$ và $(S)$ , và $O$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên giao tuyến hai mặt tiếp diện.

Theo đề $d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt mà các tiếp diện của $(S)$ tại hai điểm đó vuông góc với nhau, nghĩa là tứ giác $OBIC$ là hình vuông, từ đó suy ra $BC = 2\sqrt{2}$

Gọi $H$ là trung điểm $BC$ suy ra $BH = \frac{BC}{2} = \sqrt{2}$

Kẻ $IH\bot BC$ , ta có $IH = \sqrt{IB^{2} - BH^{2}} = \sqrt{2}$

Từ đó ta có $d(I;d) = \sqrt{2}$

Ta có $\overrightarrow{AI} = (0; - 2;1),\overrightarrow{u} = (1;a;1 - a)$ suy ra $\lbrack\overrightarrow{AI};\overrightarrow{u}brack = (a - 2;1;2)$

Từ đó $d(I;d) = \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{\lbrack\overrightarrow{AI};\overrightarrow{u}brack \mid}{|\overrightarrow{u}|} = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{(a - 2)^{2} + 1^{2} + 2^{2}}}{\sqrt{1 + a^{2} + (1 - a)^{2}}} = \sqrt{2} \Leftrightarrow a^{2} = \frac{5}{3} \in \left( \frac{3}{2};2 ight)$ .
Câu 28: Thông hiểu
Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy bằng $a$ chiều cao bằng $\frac{\sqrt{3}a}{6}$ . Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng đáy bằng:
- A.
  $30^{\circ}$ .
- B.
  $60^{\circ}$ .
- C.
  $45^{\circ}$ .
- D.
  $90^{\circ}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi $O$ là tâm mặt đáy, $H$ là trung điểm cạnh $CD$

Suy ra $(SOH)\bot CD \Rightarrow SHO = ((SCD),(ABCD))$

$SO = \frac{\sqrt{3}a}{6};OH = \frac{a}{2}$

$\Rightarrow \tan(SHO) = \dfrac{SO}{OH} =\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}a}{6}}{\dfrac{a}{2}} =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Suy ra $\widehat{SHO} = 30^{\circ}$

Vậy góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$ là $30^{\circ}$ .
Câu 29: Nhận biết
Tìm điểm biểu diễn của số phức
Điểm $M$ trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
- A.
  $2 - i$ .
- B.
  $2 + i$ .
- C.
  $1 + 2i$
- D.
  $1 - 2i$ .
Hướng dẫn:
Điểm $M(2;1)$ biểu diễn số $2 + i$ .
Câu 30: Nhận biết
Tìm giá trị cực đại của hàm số
Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d;(a,b,c,d \in \mathbb{R})$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng:
- A.
  0.
- B.
  1.
- C.
  -1.
- D.
  3.
Hướng dẫn:
Giá trị cực đại của hàm số là 3.
Câu 31: Vận dụng cao
Tìm số cặp số (a; b) thỏa mãn yêu cầu
Trên tập số thực, xét phương trình $z^{2} + az + b = 0,\left( a;b\mathbb{\in R} ight)$ . Có bao nhiêu cặp số $(a;b)$ để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt $z_{1};z_{2}$ thỏa mãn $\left| z_{1} - 2 ight| = 2$ và $\left| z_{2} + 1 - 4i ight| = 4$ ?
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $6$
Hướng dẫn:
Ta có: $\Delta = a^{2} - 4b$

TH1. $\Delta > 0 \Rightarrow z_{1},z_{2} \in \mathbb{R}$

$\left| z_{1} - 2 ight| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} z_{1} - 2 = 2 \\ z_{1} - 2 = - 2 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} z_{1} = 4 \\ z_{1} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

$\left| z_{2} + 1 - 4i ight| = 4 \Rightarrow \left( z_{2} + 1 ight)^{2} + 16 = 16 \Leftrightarrow z_{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow z_{2} = - 1$

Với $\ z_{1} = 4,z_{2} = - 1\ \text{có~}\left\{ \begin{matrix} z_{1} + z_{2} = - a \\ z_{1}z_{2} = b \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3(tm) \\ b = - 4(tm) \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Với $\ z_{1} = 0,z_{2} = - 1\ \text{có~}\left\{ \begin{matrix} z_{1} + z_{2} = - a \\ z_{1}z_{2} = b \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1(tm) \\ b = 0(tm) \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Với $z_{1} = 0,z_{2} = - 1$ có $\left\{ \begin{matrix} z_{1} + z_{2} = - a \\ z_{1}z_{2} = b \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1(tm) \\ b = 0(tm) \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra TH1 có 2 cặp số $(a;b)$ thỏa mãn.

TH2. $\Delta < 0 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} z_{1} = x + yi \\ z_{2} = x - yi \\ \end{matrix} ight.$

$\ \text{Vì~}\left\{ \begin{matrix} |z_{1} - 2| = 2 \\ |z_{2} + 1 - 4i| = 4 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} |x + yi - 2| = 2 \\ |x - yi + 1 - 4i| = 4 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (x - 2)^{2} + y^{2} = 4 \\ (x + 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 16 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} - 4x = 0(1) \\ x^{2} + y^{2} + 2x + 8y + 1 = 0(2) \\ \end{matrix} ight.$

Lấy (2) - (1) vế theo vế ta được:

$6x + 8y + 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{- 6x - 1}{8}$

$\Rightarrow x^{2} + \left( \frac{6x + 1}{8} ight)^{2} - 4x = 0$

$\Leftrightarrow 100x^{2} - 244x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{61 + 4\sqrt{231}}{50} \\x_{2} = \dfrac{61 - 4\sqrt{231}}{50} \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y_{1} = \dfrac{- 416 - 24\sqrt{231}}{400} \\y_{2} = \dfrac{- 416 + 24\sqrt{231}}{400} \\\end{matrix} ight.\ ight.$

Suy ra TH2 có 2 cặp số $(a;b)$ thỏa mãn.

Vậy có 4 cặp số $(a;b)$ cần tìm.
Câu 32: Nhận biết
Tìm tọa độ vecto
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vecto $\overrightarrow{u} = (1;2; - 2)$ và $\overrightarrow{v} = (2; - 2;3)$ . Tọa độ của vecto $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ là
- A.
  $(3;0; - 1)$ .
- B.
  $(1; - 4;5)$ .
- C.
  $(3;0;1).$
- D.
  $( - 1;4; - 5)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \left( 1 + 2;2 + ( - 2); - 2 + 3 ight) = (3;0;1).$
Câu 33: Nhận biết
Viết phương trình mặt cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2; - 1)$ và bán kính $R = 2$ . Phương trình của $(S)$ là:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 4$ .
- B.
  $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 4$ .
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 2$ .
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 2$ .
Hướng dẫn:
Phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2; - 1)$ và bán kính $R = 2$ là:

$(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 2^{2}$

$\Leftrightarrow (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 4$ .
Câu 34: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục giác đều?
- A.
  20.
- B.
  120.
- C.
  729.
- D.
  216.
Hướng dẫn:
Số tam giác là số cách chọn 3 đỉnh của tam giác. Số tam giác mà ba đỉnh của nó được lấy từ các đỉnh của một lục giác đều là $C_{6}^{3} = 20$ tam giác.
Câu 35: Vận dụng cao
Tìm số phần tử của tập hợp S
Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ , tồn tại duy nhất một giá trị $x \in \left\lbrack \frac{3}{2};\frac{9}{2} ightbrack$ thỏa mãn $\log_{3}\left( x^{3} - 6x^{2} + 9x + y ight) = \log_{2}\left( - x^{2} + 6x - 5 ight)$ . Số phần tử của $S$ là:
- A.
  $8$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $7$ .
- D.
  $3$ .
Hướng dẫn:
Xét hàm số:

$f(x) = \log_{3}\left( x^{3} - 6x^{2} + 9x + y ight) - \log_{2}\left( - x^{2} + 6x - 5 ight)$

$\Rightarrow f^{'}(x) = \frac{3x^{2}- 12x + 9}{\left( x^{3} - 6x^{2} + 9x + y ight)\ln3} + \frac{2x -6}{\left( - x^{2} + 6x - 5 ight)\ln2}$

$\Leftrightarrow f^{'}(x) = (x -3)\left\lbrack \frac{3x - 3}{\left( x^{3} - 6x^{2} + 9x + y ight)\ln3}+ \frac{2}{\left( - x^{2} + 6x - 5 ight)\ln2}ightbrack$

Xét trên tập $x \in \left\lbrack \frac{3}{2};\frac{9}{2} ightbrack$ thì ta dễ thấy:

$f^{'}(x) > 0\ \text{với~}x > 3$

$f^{'}(x) < 0\ \text{với~}x < 3$

Nếu $x = 3$ thỏa mãn điều kiện.

Ta có:

$f(3) = \log_{3}y - 2;f\left( \frac{3}{2} ight) = \log_{3}\left( \frac{27}{8} + y ight) - \log_{2}\frac{7}{4}$

$f\left( \frac{9}{2} ight) = \log_{3}\left( \frac{81}{8} + y ight) - \log_{2}\frac{7}{4}$

TH1. $f(3) > 0 \Leftrightarrow y > 9 \Rightarrow$ Phương trình $f(x) = 0$ vô nghiệm.

TH2. $f(3) = 0 \Leftrightarrow y = 9 \Rightarrow$ Phương trình có nghiệm duy nhất $x = 3$ .

TH3. $f(3) < 0$ hoặc $x = 3$ không thuộc tập xác định của phương trình, khi đó phương trình có nghiệm duy nhất

$\Rightarrow - 7,7 < y < - 0,9$

Do $y$ nguyên $\Rightarrow y \in \{ - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1\}$ .

Vậy số phần tử của $S$ là 8.
Câu 36: Thông hiểu
Tìm tọa độ trung điểm của MN
Gọi $z_{1},z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 6z + 14 = 0$ và $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của $z_{1},z_{2}$ trên mặt phẳng toạ độ. Trung điểm của đoạn $MN$ có tọa độ là:
- A.
  $(3;0)$ .
- B.
  $( - 3;7)$ .
- C.
  $(3;7)$
- D.
  $( - 3;0)$ .
Hướng dẫn:
Phương trình $z^{2} - 6z + 14 = 0$

Ta có $\Delta^{'} = 9 - 14 = - 5 = 5i^{2}$

Suy ra $\sqrt{\Delta^{'}} = \sqrt{5i^{2}} = i\sqrt{3}$

Phương trình có 2 nghiệm là $z_{1} = 3 + i\sqrt{3};z_{2} = 3 - i\sqrt{3}$

Tọa độ $M\left( 3;\sqrt{3} ight),N(3; - \sqrt{3})$

Trung điểm của đoạn thẳng $MN$ có tọa độ là $(3;0)$ .
Câu 37: Nhận biết
Xác định hàm số tương ứng với bảng biến thiên
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?
- A.
  $y = - 2x^{2} + 1.$
- B.
  $y = \frac{x + 2}{x}$ .
- C.
  $y = - x^{3} + 3x + 1$ .
- D.
  $y = x^{4} - 3x^{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $y = - x^{3} + 3x + 1$ suy ra $y^{'} = - 3x^{2} + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

Vậy $x = \pm 1$ là các điểm cực trị của hàm số.

Đối chiếu với bảng biến thiên suy ra $y = - x^{3} + 3x + 1$ là hàm số cần tìm.
Câu 38: Nhận biết
Tìm phần thực của số phức
Cho hai số phức $z_{1} = 2 - i$ và $z_{2} = 1 + 3i$ . Phần thực của số phức $z_{1} - z_{2}$ bằng:
- A.
  -4.
- B.
  3.
- C.
  1.
- D.
  -1.
Hướng dẫn:
Ta có:

$z_{1} - z_{2} = 2 - i - (1 + 3i) = 1 - 4i$ .

Phần thực của số phức $z_{1} - z_{2}$ bằng 1.
Câu 39: Thông hiểu
Tìm các giá trị x nguyên thỏa mãn điều kiện
Có bao nhiêu số nguyên $x$ thoả mãn điều kiện: $\left( 7^{x} - 49 ight)\left( \log_{3}^{2}x - 7\log_{3}x + 6 ight) < 0$ ?
- A.
  725.
- B.
  728.
- C.
  729.
- D.
  726.
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left( 7^{x} - 49 ight)\left( \log_{3}^{2}x - 7\log_{3}x + 6 ight) < 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 7^{x} - 49 > 0 \\ \log_{3}^{2}x - 7\log_{3}x + 6 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} 7^{x} - 49 < 0 \\ \log_{3}^{2}x - 7\log_{3}x + 6 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {7^x} > 49 \hfill \\ 1 < {\log _3}x < 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} {7^x} < 49 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} {\log _3}x < 1 \hfill \\ {\log _3}x > 6 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x > 2 \hfill \\ 3 < x < {3^6} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x < 2 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} 0 < x < 3 \hfill \\ x > {3^6} \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < x < 2 \\ 3 < x < 3^{6} \\ \end{matrix} ight.$

Mà $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \{ 1;4;5;\ldots;728\}$

Vây có 726 số thỏa mãn.
Câu 40: Nhận biết
Tính tích phân
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . Biết hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và $F(2) = 6,F(4) = 12$ . Tích phân $\int_{2}^{4}\mspace{2mu} f(x)dx$ bằng:
- A.
  $6$ .
- B.
  $6$ .
- C.
  $18$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\int_{2}^{4}\mspace{2mu} f(x)dx = F(4) - F(2) = 12 - 6 = 6$
Câu 41: Nhận biết
Xác định phần ảo của số phức
Cho số phức $z = 1 - 2i$ . Phần ảo của số phức $\bar{z}$ bằng:
- A.
  $2$ .
- B.
  $- 1$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $- 2$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\bar{z} = 1 + 2i$ nên phần ảo của số phức $\bar{z}$ là 2.
Câu 42: Nhận biết
Xác định số điểm cực tiểu của hàm số
Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
- A.
  3.
- B.
  1.
- C.
  $0.$
- D.
  2.
Hướng dẫn:
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là 2.
Câu 43: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình là:
- A.
  $z = 0$ .
- B.
  $x = 0$ .
- C.
  $y = 0$ .
- D.
  $x + y + z = 0$ .
Hướng dẫn:
Mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình là: $y = 0$ .
Câu 44: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp
Nếu khối lăng trụ $ABC \cdot A^{'}B^{'}C^{'}$ có thể tích $V$ thì khối chóp $A^{'}.ABC$ có thể tích bằng:
- A.
  $3V$ .
- B.
  $\frac{V}{3}$ .
- C.
  $V$ .
- D.
  $\frac{2V}{3}$ .
Hướng dẫn:
Gọi $h$ là chiều cao của khối lăng trụ $ABC.A^{'}B^{'}C^{'}$ .

Khi đó $V = h.S_{ABC}$ .

Ta có $V_{A^{'} \cdot ABC} = \frac{1}{3}h.S_{ABC} = \frac{1}{3}V$ .
Câu 45: Vận dụng
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số
Gọi $S$ là tập hợp các số phức $z = a + bi(a,b \in \mathbb{R})$ thỏa mãn $|z + \bar{z}| + |z - \bar{z}| = 6$ và $ab \leq 0$ . Xét $z_{1}$ và $z_{2}$ thuộc $S$ sao cho $\frac{z_{1} - z_{2}}{- 1 + i}$ là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| z_{1} + 3i ight| + \left| z_{2} ight|$ bằng:
- A.
  $3\sqrt{2}$ .
- B.
  3.
- C.
  $3 + 3\sqrt{2}$ .
- D.
  $3\sqrt{5}$ .
Hướng dẫn:
Cách 1:

Từ giả thiết suy ra $|a| + |b| = 3 \Rightarrow a - b = \pm 3$ (do $ab \leq 0$ )

Do $\frac{z_{1} - z_{2}}{- 1 + i}$ là số thực dương nên $a_{1} - a_{2} = - \left( b_{1} - b_{2} ight) < 0$

Suy ra $a_{1} < a_{2}$ và $a_{1} + b_{1} = a_{2} + b_{2}$ (1)

Nếu $a_{1} - b_{1} = a_{2} - b_{2}$ thì $z_{1} = z_{2}$ (loại)

Vậy $a_{1} - b_{1} = - \left( a_{2} - b_{2} ight)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $a_{1} = b_{2},a_{2} = b_{1} \Rightarrow a_{1} < a_{2} = b_{1}$

Do đó $a_{1} - b_{1} = - 3 \Rightarrow b_{1} = a_{1} + 3 = x + 3$

$\Rightarrow z_{1} = x + (x + 3)i,z_{2} = x + 3 + xi$

Vậy $\left| z_{1} + 3i ight| + \left| z_{2} ight| = \sqrt{x^{2} + (x + 6)^{2}} + \sqrt{(x + 3)^{2} + x^{2}} \geq \sqrt{3^{2} + 6^{2}} = 3\sqrt{5}$

Dấu "=" xảy ra khi $x = - 2$ .

Cách 2:

Hình vẽ minh họa

Từ giả thiết suy ra $|a| + |b| = 3 \Rightarrow a - b = \pm 3$ (do $ab \leq 0$ )

Trên mặt phẳng $Oab$ , vẽ 2 đoạn thẳng

$\lbrack ABbrack:a - b = 3,(0 \leq a \leq3)$ với $A(3;0),B(0; - 3)$

$\left\lbrack A^{'}B^{'}ightbrack:a - b = - 3;( - 3 \leq a \leq 0)$ với $A^{'}( - 3;0),B^{'}(0;3)$

Gọi $M(a;b)$ biểu diễn cho số phức $z_{1},N\left( a^{'};b^{'} ight)$ biểu diễn cho số phức $z_{2}$ .

Thế thì $M,N$ chạy trên $\lbrack ABbrack$ hoặc $\left\lbrack A^{'}B^{'} ightbrack$

Ta có $\frac{z_{1} - z_{2}}{- 1 + i} = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( b - b^{'} ight) - \left( a - a^{'} ight) - \left( a - a^{'} ight)i - \left( b - b^{'} ight)i ightbrack$

Do $\frac{z_{1} - z_{2}}{- 1 + i}$ là số thực dương nên ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \left( b - b^{'} ight) - \left( a - a^{'} ight) > 0 \\ \left( b - b^{'} ight) + \left( a - a^{'} ight) = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix} a < a^{'} \\ b > b^{'} \\ a + b = a^{'} + b^{'} \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Khi đó $M \in \left\lbrack A^{'}B^{'} ightbrack,N \in \lbrack ABbrack$ .

Vậy $M(a;a + 3),N\left( a^{'};a^{'} - 3 ight)$

Ta có:

$a + b = a^{'} + b^{'}$

$\Leftrightarrow a + a - 3 = a^{'} + a^{'} + 3$

$\Leftrightarrow a^{'} = a + 3$ nên $N(a + 3;a)$

Do vậy

$\left| z_{1} + 3i ight| + \left| z_{2} ight| = \sqrt{a^{2} + (a + 6)^{2}} + \sqrt{(a + 3)^{2} + a^{2}}$

$= \sqrt{( - a)^{2} + (a + 6)^{2}} + \sqrt{(a + 3)^{2} + ( - a)^{2}}$

$\geq \sqrt{3^{2} + 6^{2}} = 3\sqrt{5}$

Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a + 6}{- a} = \frac{- a}{a + 3} > 0 \Leftrightarrow a = - 2$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm bằng $3\sqrt{5}$ .
Câu 46: Thông hiểu
Viết phương trình đường thẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2; - 1)$ và mặt phẳng $(P):x + 2y + z = 0$ . Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là:
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 - 2t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
Hướng dẫn:
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P):x + 2y + z = 0$ nên nhận vector pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1;2;1)$ của $(P)$ là vector chỉ phương.

Mặt khác đường thẳng đi qua $A(1;2; - 1)$ nên ta có phương trình: $\left\{\begin{matrix}x = 1 + t \\y = 2 + 2t\ \\z = - 1 + t \\\end{matrix} ight. (t \in \mathbb{R})$
Câu 47: Thông hiểu
Viết phương trình mặt cầu
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(5;2;1)$ và $B(1;0;1)$ . Phương trình của mặt cầu đường kính $AB$ là:
- A.
  $(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 5$ .
- B.
  $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 20$ .
- C.
  $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 5$ .
- D.
  $(x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 20$ .
Hướng dẫn:
Do $AB$ là đường kính của mặt cầu nên trung điểm $I(3;1;1)$ của $AB$ là tâm mặt cầu, bán kính của mặt cầu là:

$R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{(5 - 1)^{2} + (2 - 0)^{2} + (1 - 1)^{2}}}{2} = \sqrt{5}$ .

Ta có phương trình mặt cầu:

$(C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 5$ .
Câu 48: Nhận biết
Viết phương trình đường thẳng d
Trong không gia $Oxyz$ phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2;1; - 1)$ và có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 2;3)$ là:
- A.
  $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 1}{3}$ .
- B.
  $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$ .
- C.
  $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{- 1}$ .
- D.
  $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 1}{3}$ .
Hướng dẫn:
Phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2;1; - 1)$ và có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 2;3)$ là: $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 1}{3}$ .
Câu 49: Thông hiểu
Tính xác suất của biến cố
Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Xác suất để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ bằng:
- A.
  $\frac{71}{143}$ .
- B.
  $\frac{72}{143}$ .
- C.
  $\frac{15}{143}$ .
- D.
  $\frac{128}{143}$ .
Hướng dẫn:
Số cách để chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ $5 + 8 = 13$ học sinh là: $C_{13}^{4}$ .

Khi đó $n(\Omega) = C_{13}^{4}$ .

Gọi $A$ là biến cố để 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ.

Khi đó: $n(A) = C_{5}^{1}.C_{8}^{3} + C_{5}^{2}.C_{8}^{2} + C_{5}^{3}.C_{8}^{1} = 640$

Nên $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{640}{C_{13}^{4}} = \frac{128}{143}$ .
Câu 50: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Biết đường thẳng $y = x - 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{- x + 5}{x - 2}$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ là $x_{1},x_{2}$ . Giá trị $x_{1} + x_{2}$ bằng:
- A.
  $2$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $- 1$ .
- D.
  $3$ .
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm là:

$x - 1 = \frac{- x + 5}{x - 2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ (x - 1)(x - 2) + x - 5 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ x^{2} - 3x + 2 + x - 5 = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ x^{2} - 2x - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $x_{1} + x_{2} = - 1 + 3 = 2$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (56%):

2/3
Thông hiểu (22%):

2/3
Vận dụng (12%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Chia sẻ, đánh giá bài viết

2.818

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi Toán THPT Quốc gia 2023

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi các năm

Lớp 12

Khóa học Lớp 12

Đề thi THPT Quốc gia

Đề thi THPT Quốc gia

Đề minh họa tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2025

Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 6

Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 5

Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 7

Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 4

Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 3