VnDoc.com

Đề minh họa tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2024

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Mô tả thêm:

Mời các bạn học cùng thử sức với đề minh họa tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán năm 2024.

Số câu hỏi: 50 câu
Số điểm tối đa: 50 điểm
Tài khoản: Đăng nhập

Trước khi làm bài bạn hãy

1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý

Câu 1: Nhận biết
Tính số điểm cực trị của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f^{'}(x) = (x + 1)(x - 1),\forall x \in \mathbb{R}$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
- A.
  1
- B.
  4
- C.
  3
- D.
  2
Ta có $f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Câu 2: Thông hiểu
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = - x^{4} + 6x^{2} - 4$ bằng
- A.
  $- \sqrt{3}$ .
- B.
  -4.
- C.
  5.
- D.
  $\sqrt{3}$ .
Ta có:

$f'(x) = - 4x^{3} + 12x \Rightarrow f'(x) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt{3} \\ x = - \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$ lại có: $\left\{ \begin{matrix} f(0) = - 4 \\ f\left( \sqrt{3} ight) = 5 \\ f\left( - \sqrt{3} ight) = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Kết luận giá trị lớn nhất của hàm số là $f(x)_{\max} = 5$ .
Câu 3: Thông hiểu
Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho hình lập phương $ABCD \cdot A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ (tham khảo hình bên).

Góc giữa hai đường thẳng $CD$ và $AB^{'}$ bằng:
- A.
  $90^{\circ}$ .
- B.
  $60^{\circ}$ .
- C.
  $30^{\circ}$ .
- D.
  $45^{\circ}$ .
Ta có: CD // AB

Nên góc giữa hai đường thẳng $CD$ và $AB^{'}$ bằng góc giữa AB và AB’

ABB’A’là hình vuông suy ra (AB; AB’) = 45⁰

Suy ra (CD; AB’) = 45⁰
Câu 4: Vận dụng
Tìm giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\lbrack 1;20brack$ sao cho ứng với mỗi $m$ , hàm số $y = \frac{- x^{2} + 3x - m - 1}{3x - m}$ đồng biến trên khoảng $(2;3)$ ?
- A.
  17.
- B.
  14.
- C.
  15.
- D.
  13.
Ta có:

$y = \frac{- x^{2} + 3x - m - 1}{3x - m} \Rightarrow y' = \frac{- 3x^{2} + 2mx + 3}{(3x - m)^{2}}$

Hàm số đồng biến nên $y' = \frac{- 3x^{2} + 2mx + 3}{(3x - m)^{2}} \geq 0$

$\Leftrightarrow - 3x^{2} + 2mx + 3 \geq 0 \Leftrightarrow 2mx \geq 3x^{2} - 3$

$\Leftrightarrow m \geq \frac{3x^{2} - 3}{2x};\forall x \in (2;3)$

$\Leftrightarrow m \geq \max_{(2;3)}\frac{3x^{2} - 3}{2x} \Leftrightarrow m \geq 4$

Lại có: $3x - m = 0 \Leftrightarrow x = \frac{m}{3} \Rightarrow \frac{m}{3} otin (2;3)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\dfrac{m}{3} \leq 2 \\\dfrac{m}{3} \geq 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m \leq 6 \\m \geq 9 \\\end{matrix} ight.$

Vì $m \in \lbrack 1;20brack$ và $m\mathbb{\in Z}$

Vậy có 15 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5: Nhận biết
Viết phương trình mặt cầu

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; - 2;1)$ và bán kính $R = 5$ . Phương trình của $(S)$ là:
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 25$ .
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 25$ .
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 5$ .
- D.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 5$ .
Phương trình mặt cầu là:

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 25$
Câu 6: Nhận biết
Tính số cách sắp xếp chỗ ngồi

Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao cho mỗi chiếc ghế có đúng một học sinh ngồi?
- A.
  600
- B.
  120
- C.
  3125
- D.
  25
Sắp xếp 5 học sinh vào 5 ghế là hoán vị của 5 học sinh. Do đó số cách xếp 5 bạn học sinh vào 5 chiếc ghế là: P₅ = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 (cách).

Vậy có tất cả 120 cách xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 chiếc ghế.
Câu 7: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $f(x) = 5 - 6x^{2}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $\int f(x)dx = 5 - 2x^{3} + C$ .
- B.
  $\int f(x)dx = 5x - 2x^{3} + C$ .
- C.
  $\int f(x)dx = 5x - 6x^{3} + C$ .
- D.
  $\int f(x)dx = 5 - 3x^{3} + C$ .
Ta có: $\int_{}^{}{f(x)}dx = 5x - 2x^{3} + C$
Câu 8: Nhận biết
Giải phương trình

Tập nghiệm của phương trình $\log_{3}\left( x^{2} - 7 ight) = 2$ là
- A.
  $\{ - 4;4\}$ .
- B.
  $\{ 4\}$ .
- C.
  $\{ 2\}$ .
- D.
  $\{ 16\}$ .
Ta có:

$\log_{3}\left( x^{2} - 7 ight) = 2\Leftrightarrow x^{2} - 7 = 9$

$\Leftrightarrow x^{2} = 16 \Leftrightarrow x = \pm 4$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ - 4;4 ight\}$
Câu 9: Vận dụng
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1; - 2;2)$ và mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ . Biết $B,C,D$ là ba điểm phân biệt trên $(S)$ sao cho các tiếp diện của $(S)$ tại mỗi điểm đó đều đi qua $A$ . Hỏi mặt phẳng $(BCD)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $M(1;1;1)$ .
- B.
  $P( - 3;1;1)$ .
- C.
  $N( - 1;1;1)$ .
- D.
  $Q(1;1; - 1)$ .
Ta có: AC, AD, AB là các tiếp tuyến của (S)

$AB = \sqrt{OA^{2} - OB^{2}} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8}$

$\Rightarrow AB = AC = AD = \sqrt{8}$

B, C, D cùng thuộc mặt cầu tâm A bán kính $R = \sqrt{8}$

Ta có phương trình:

$(S'):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 8$

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 1 = 0$

Suy ra phương trình mặt phẳng $(BCD)$ là:

$(BCD):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y - 4z + 1 - \left( x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 ight) = 0$

$\Leftrightarrow - 2x + 4y - 4z + 2 = 0$

$\Leftrightarrow x - 2y + 2z - 1 = 0$

Vậy mặt phẳng $(BCD)$ đi qua điểm $M(1;1;1)$ .
Câu 10: Nhận biết
Xác định tiệm cận ngang của hàm số

Cho hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}(a,b,c,d \in \mathbb{R})$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
- A.
  $y = 0$ .
- B.
  $y = 2$ .
- C.
  $y = - 1$ .
- D.
  $y = 1$ .
Tiệm cận ngang của hàm số là $y = 1$
Câu 11: Vận dụng cao
Tìm khoảng chứa giá trị lớn nhất của biểu thức

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z - w| = 2|z| = 2$ và số phức $\bar{z}.w$ có phần thực bằng 1. Giá trị lớn nhất của $P = |z + w - 1 + 2i|$ thuộc khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(4;5)$ .
- B.
  $(3;4)$ .
- C.
  $(5;6)$ .
- D.
  $(6;7)$ .
Ta có:

$\left| z_{1} - z_{2} ight| \leq \left| z_{1} ight| + \left| z_{2} ight|$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}z_{2} = 0 \\\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = k \geq 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow P \leq |z + w| + | - 1 + 2i| = |z + w| + \sqrt{5}$

Ta có:

$\left| az_{1} + bz_{2} ight|^{2} = a^{2}\left| z_{1} ight|^{2} + b^{2}\left| z_{2} ight|^{2} + ab\left( z_{1}.\overline{z_{2}} + \overline{z_{1}}z_{2} ight)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} |z - w|^{2} = |z|^{2} + |w|^{2} - \left( z.\overline{w} + \overline{z}.w ight) \\ |z + w|^{2} = |z|^{2} + |w|^{2} + \left( z.\overline{w} + \overline{z}.w ight) \\ \end{matrix} ight.$

$z.\overline{w}$ có phần thực bằng 1

$\overline{z_{1}.z_{2}} = \overline{z_{1}}.\overline{z_{2}}$ theo hệ quả suy ra $\overline{w.\overline{z}} = z.\overline{w}$

Vì $z.\overline{w};\overline{z}.w$ là hai số phức liên hợp nên

$\left\{ \begin{matrix} z.\overline{w} = 1 + mi \\ \overline{z}.w = 1 - mi \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow z.\overline{w} + \overline{z}.w = 2$

$\Rightarrow |z + w|^{2} - |z - w|^{2} = 2\left( z.\overline{w} + \overline{z}.w ight) = 4$ mà $\left\{ \begin{matrix} |z - w| = 2 \\ |z + w| = 2\sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow P \leq 2\sqrt{2} + \sqrt{5} \approx 5,06$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} |z - w| = 2 \\ |z| = 1 \\ z + w = k( - 1 + 2i);(k \geq 0) \\ \end{matrix} ight.$

Mà $|z + w| = 2\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{5}k = 2\sqrt{2} \Rightarrow k = 2\sqrt{\frac{2}{5}}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}|z - w| = 2 \\|z| = 1 \\z + w = 2\sqrt{\dfrac{2}{5}}.( - 1 + 2i);(k \geq 0) \\\end{matrix} ight.$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P thuộc khoảng $(5;6)$
Câu 12: Nhận biết
Xác định hàm số tương ứng

Hàm số $F(x) = e^{2x}$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
- A.
  $f_{4}(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$ .
- B.
  $f_{1}(x) = e^{2x}$ .
- C.
  $f_{2}(x) = e^{x^{2}}$ .
- D.
  $f_{3}(x) = 2e^{2x}$ .
Ta có: $\left( e^{2x} ight)' = 2e^{2x}$
Câu 13: Nhận biết
Tìm tọa độ vecto

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;1; - 2)$ và $B(3; - 1;2)$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là
- A.
  $(2; - 2;4)$ .
- B.
  $(2;0;0)$ .
- C.
  $(1; - 1;2)$ .
- D.
  $( - 2;2; - 4)$ .
Ta có:

$\overrightarrow{AB} = (3 - 1; - 1 - 1;2 + 2) = (2; - 2;4)$
Câu 14: Thông hiểu
Biến đổi biểu thức logarit

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\log_{2}\left( 32a^{4} ight)$ bằng
- A.
  $5 - 4\log_{2}a$ .
- B.
  $5 + 4a$ .
- C.
  $5 - 4a$ .
- D.
  $5 + 4\log_{2}a$ .
Ta có:

$\log_{2}\left( 32a^{4} ight) =\log_{2}\left( 2^{5}a^{4} ight) = \log_{2}2^{5} +\log_{2}a^{4}$

$= 5\log_{2}2 + 4\log_{2}a = 5 +4\log_{2}a$
Câu 15: Nhận biết
Xác định giá trị cực tiểu của hàm số

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
- A.
  3
- B.
  -2
- C.
  2
- D.
  -1
Giá trị cực tiểu của hàm số là: -2
Câu 16: Vận dụng cao
Tính thể tích của vật trang trí

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục $AB$ .

Miền $(R)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB,AD$ của hình vuông $ABCD$ và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng $1cm$ với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,AD$ . Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
- A.
  $20,3cm^3$ .
- B.
  $10,5cm^3$ .
- C.
  $12,6cm^3$ .
- D.
  $8,4cm^3$ .
Minh họa bằng hình vẽ:

Xét đường tròn tâm J bán kính R = 1 là:

$(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$

$\Rightarrow (y - 1)^{2} = 1 - (x + 1)^{2} = - x^{2} - 2x$

$\Rightarrow y - 1 = \sqrt{- x^{2} - 2x} \Rightarrow y = 1 + \sqrt{- x^{2} - 2x}$

$\Rightarrow f(x) = 1 + \sqrt{- x^{2} - 2x}$

$V_{1} = \pi\int_{0}^{1}{f^{2}(x)dx} = \pi\int_{0}^{1}{\left( 1 + \sqrt{- x^{2} - 2x} ight)^{2}dx}$

Xét đường tròn tâm I bán kính R = 1 là:

$(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$

$\Rightarrow (y - 1)^{2} = 1 - (x - 1)^{2} = - x^{2} + 2x$

$\Rightarrow 1 - y = \sqrt{- x^{2} + 2x} \Rightarrow y = 1 - \sqrt{- x^{2} + 2x}$

$\Rightarrow g(x) = 1 - \sqrt{- x^{2} + 2x}$

$V_{2} = \pi\int_{0}^{1}{g^{2}(x)dx} = \pi\int_{0}^{1}{\left( 1 - \sqrt{- x^{2} + 2x} ight)^{2}dx}$

Khi đó thể tích cần tìm là:

$V = V_{1} + V_{2} \approx 10,5\left( cm^{3} ight)$
Câu 17: Vận dụng cao
Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng AM

Trong không gian $Oxyz$ , cho hình nón $(\mathcal{N})$ có đỉnh $A(2;3;0)$ , độ dài đường sinh bằng 5 và đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng $(P):2x + y + 2z - 1 = 0$ . Gọi $(C)$ là giao tuyến của mặt xung quanh của $(\mathcal{N})$ với mặt phẳng $(Q):x - 4y + z + 4 = 0$ và $M$ là một điểm di động trên $(C)$ . Hỏi giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $AM$ thuộc khoảng nào dưới đây?
- A.
  $\left( \frac{3}{2};2 ight)$ .
- B.
  $(0;1)$ .
- C.
  $\left( 1;\frac{3}{2} ight)$ .
- D.
  $(2;3)$ .
Ta có hình vẽ minh họa như sau:

Nhận xét: $\overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} = 0 \Rightarrow (P)\bot(Q)$

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P), kí hiệu AH = h khi đó:

$\left\{ \begin{matrix}h = d\left( A;(P) ight) = \dfrac{|4 + 3 - 1|}{3} = 2 \\AI = 5 \\\end{matrix} ight.$

$AH//(Q) \Rightarrow d\left( H;(Q) ight) = d\left( A;(Q) ight) = HP = \sqrt{2}$

$\Rightarrow \frac{AM_{0}}{AI} = \frac{HP}{HI} \Rightarrow AM_{0} = \frac{HP.AI}{HI} = \frac{5.\sqrt{2}}{\sqrt{21}} \in \left( \frac{3}{2};2 ight)$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f^{'}(x) = (x - 1)(x - 3),\forall x \in \mathbb{R}$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(0;3)$ .
- B.
  $(3; + \infty)$ .
- C.
  $( - \infty;2)$ .
- D.
  $(1;3)$ .
Ta có:

$f'(x) = (x - 1)(x - 3) \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;3)$ .
Câu 19: Thông hiểu
Tìm phần thực của số phức

Cho số phức $z = 3 - i$ , phần thực của số phức $(1 - i)\bar{z}$ bằng
- A.
  4
- B.
  2
- C.
  -4
- D.
  -2
Ta có:

$z = 3 - i \Rightarrow \overline{z} = 3 + i$

$\Rightarrow (1 - i)\overline{z} = (1 - i)(3 + i) = - 2i + 4$

Phần thực của số phức $(1 - i)\overline{z}$ là 4.
Câu 20: Nhận biết
Tính thể tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng $5a^{2}$ và chiều cao bằng $6a$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
- A.
  $15a^{3}$ .
- B.
  $5a^{3}$ .
- C.
  $10a^{3}$ .
- D.
  $30a^{3}$ .
Thể tích khối lăng trụ là: $V = S.d = 5a^{2}.6a = 30a^{3}$
Câu 21: Nhận biết
Tính thể tích khối chóp

Cho khối chóp có diện tích đáy bằng $7a^{2}$ và chiều cao bằng $9a$ . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
- A.
  $9a^{3}$ .
- B.
  $21a^{3}$ .
- C.
  $84a^{3}$ .
- D.
  $63a^{3}$ .
Thể tích khối chóp là: $V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.7a^{2}.9a = 21a^{3}$ .
Câu 22: Nhận biết
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 2;2)$ .
- B.
  $( - \infty;2)$ .
- C.
  $( - 2;0)$ .
- D.
  $(0;2)$ .
Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - 2;0)$ .
Câu 23: Vận dụng
Tính tích phân

Xét $f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c(a,b,c \in \mathbb{R},a > 0)$ sao cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ có ba điểm cực trị là $A,B$ và $C\left( 1; - \frac{3}{5} ight)$ . Gọi $y = g(x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm $A,B$ và $C$ . Khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = f(x),y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = 0,x = 1$ có diện tích bằng $\frac{2}{5}$ , tích phân $\int_{0}^{1}\mspace{2mu} f(x)dx$ bằng
- A.
  1
- B.
  -1
- C.
  $- \frac{17}{15}$
- D.
  $\frac{17}{15}$
Ta có: $f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c;\left( a,b,c\mathbb{\in Z},a > 0 ight)$

Giả sử A là điểm nằm giữa B và C.

Ta có: $f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c;\left( a,b,c\mathbb{\in Z},a > 0 ight)$ có đồ thị hàm số có dạng

B đối xứng với C qua trục tung suy ra $B\left( - 1; - \frac{3}{5} ight)$

Khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = f(x),y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = 0,x = 1$ có diện tích bằng $\frac{2}{5}$

Suy ra $\frac{2}{5} = \int_{0}^{1}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$

Mặt khác $y = g(x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm $A,B$ và $C$

$\Rightarrow f(x) - g(x) = a(x + 1).x^{2}.(x - 1)$

$\frac{2}{5} = \int_{0}^{1}{\left| a(x + 1).x^{2}.(x - 1) ight|dx} \Rightarrow a = 3$

$\Rightarrow f(x) = 3x^{4} + bx^{2} + c$

$\Rightarrow f'(x) = 12x^{3} + 2bx$

Thay tọa độ điểm C ta được: $\left\{\begin{matrix}3 + b + c = - \dfrac{3}{5} \\12 + 2b = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}c = \dfrac{12}{5} \\b = - 6 \\\end{matrix} ight.$

Vậy hàm số cần tìm là $f(x) = 3x^{4} - 6x^{2} + \frac{12}{5}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = 1$
Câu 24: Vận dụng
Tính modun của số phức

Xét các số phức $z,w(w eq 2)$ thỏa mãn $|z| = 1$ và $\frac{w + 2}{w - 2}$ là số thuần ảo. Khi $|z - w| = \sqrt{3}$ , giá trị của $|2z + w|$ bằng:
- A.
  $\frac{9\sqrt{7}}{2}$ .
- B.
  $\frac{3\sqrt{7}}{2}$ .
- C.
  $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ .
- D.
  $2\sqrt{3}$ .
Ta có: $\frac{w + 2}{w - 2}$ là số thuần ảo nên giả sử $\frac{w + 2}{w - 2} = bi$

$\Leftrightarrow w + 2 = wbi - 2bi \Leftrightarrow w - wbi = - 2 - 2bi$

$\Leftrightarrow w(1 - bi) = - 2 - 2bi = - 2(1 + bi)$

$\Leftrightarrow w = \frac{- 2(1 + bi)}{1 - bi}$

$\Rightarrow |w| = \frac{\left| - 2(1 + bi) ight|}{|1 - bi|} = \frac{2\sqrt{1 + b^{2}}}{\sqrt{1 + b^{2}}} = 2$

Khi đó ta có: $|z| = 1;|w| = 2;|z - w| = \sqrt{3}$

$|z - w|^{2} = |z|^{2} + |w|^{2} - 2\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}$

$\Leftrightarrow 3 = 1^{2} + 4 - 2\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB} = 1$

$\left( |2z - w| ight)^{2} = 4|z|^{2} + |w|^{2} + 4\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OB}$

$\Rightarrow \left( |2z - w| ight)^{2} = 4.1 + 4 + 4.1 = 12 \Rightarrow |2z - w| = 2\sqrt{3}$
Câu 25: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ ?
- A.
  $y = \ln x$ .
- B.
  $y = \log_{3}x$ .
- C.
  $y = \log x$ .
- D.
  $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ .
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ là: $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ . (vì cơ số nhỏ hơn 1)
Câu 26: Vận dụng
Tính thể tích của chi tiết máy

Để chế tạo một chi tiết máy, từ một khối thép hình trụ có bán kính $10cm$ và chiều cao $30cm$ , người ta khoét bỏ một rãnh xung quanh rộng $1cm$ và sâu $1cm$ (tham khảo hình vẽ bên).

Tính thể tích của chi tiết máy đó, làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn.
- A.
  $9110,619cm^3$ .
- B.
  $9170,309cm^3$ .
- C.
  $9365,088cm^3$ .
- D.
  $8997,521cm^3$ .
Thể tích hình trụ ban đầu là:

$V = \pi.10^{2}.30 = 3000\pi\left( cm^{3} ight)$

Thể tích phần bị cắt bỏ:

$V_{c} = \pi.10^{2}.1 - \pi.9^{2}.1\left( cm^{3} ight)$

Khi đó thể tích máy là:

$V_{m} = V - V_{c} = 3000\pi - \pi.\left( 10^{2} - 9^{2} ight) \approx 9365,088\left( cm^{3} ight)$
Câu 27: Nhận biết
Giải bất phương trình

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x} < 5$ là
- A.
  $\left( - \infty;\log_{2}5 ightbrack$ .
- B.
  $\left( - \infty;\log_{2}5 ight)$ .
- C.
  $\left( - \infty;\log_{5}2 ightbrack$ .
- D.
  $\left( - \infty;\log_{5}2 ight)$ .
Ta có: $2^{x} < 5 \Leftrightarrow x < log_{2}5$

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: $\left( - \infty;\log_{2}5 ight)$ .
Câu 28: Thông hiểu
Viết phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A( - 1;0;1),B(1;0;2)$ và $C(3;2;3)$ . Đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$ có phương trình là
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 - t \\ y = 2 \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 4t \\ y = 2t \\ z = 1 + 5t \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + 2t \\ y = 2 + 2t \\ z = 5 + t \\ \end{matrix} ight.$
Ta có: $\overrightarrow{BC} = (2;2;1)$

Vì đường thẳng d đi qua A và song song với BC khi đó $\overrightarrow{BC} = (2;2;1)$ là VCTP

Suy ra phương trình đường thẳng là: $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = 2t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 29: Nhận biết
Xác định số phức tương ứng

Điểm $M$ trong hình bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
- A.
  $2 + i$ .
- B.
  $- 1 + 2i$ .
- C.
  $2 - i$ .
- D.
  $- 1 - 2i$ .
Ta có: $M(2; - 1)$ biểu diễn số phức $z = 2 - i$
Câu 30: Nhận biết
Tính số giao điểm

Cho hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}(a,b,c,d \in \mathbb{R})$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục tung là
- A.
  2
- B.
  0
- C.
  1
- D.
  3
Số giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là 1 điểm.
Câu 31: Thông hiểu
Tính xác suất

Từ một hộp chứa 12 viên bi gồm 3 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 5 viên bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi. Xác suất để trong bốn viên bi được lấy có ít nhất một viên bi đỏ bằng
- A.
  $\frac{13}{55}$ .
- B.
  $\frac{41}{55}$ .
- C.
  $\frac{14}{55}$ .
- D.
  $\frac{42}{55}$ .
Số cách lấy 4 viên bi là $C_{12}^{4}$

Số cách lấy 4 viên bi mà không có viên bi đỏ nào là: $C_{9}^{4}$

Vậy xác suất để lấy 4 viên bi có ít nhất 1 viên đỏ là: $P = \frac{C_{9}^{4} - C_{12}^{4}}{C_{12}^{4}} = \frac{41}{55}$
Câu 32: Thông hiểu
Tính tích phân

Nếu $\int_{- 1}^{2}\mspace{2mu} f(x)dx = 4$ thì $\int_{- 1}^{2}\mspace{2mu}(3 - f(x))dx$ bằng
- A.
  7
- B.
  13
- C.
  5
- D.
  -1
Ta có:

$\int_{- 1}^{2}{\left( 3 - f(x) ight)dx} = \int_{- 1}^{2}{3dx} - \int_{- 1}^{2}{f(x)dx}$

$= (3x)\overset{2}{\underset{- 1}{|}} - 4 = 6 + 3 - 4 = 5$
Câu 33: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức

Xét các số thực không âm $x$ , $y$ thỏa mãn $y\log_{3}(3x + y + 9) = \left( x^{2} + 3x + y ight)\log_{3}(x + 3)$ . Khi biểu thức $y - 5x$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức $x - 2y$ bằng
- A.
  -1
- B.
  2
- C.
  -7
- D.
  -31
Ta có:

$ylog_{3}(3x + y + 9) = \left( x^{2} + 3x + y ight)log_{3}(x + 3)$

$\Leftrightarrow y\left\lbrack log_{3}(3x + y + 9) - log_{3}(x + 3) ightbrack = \left( x^{2} + 3x ight)log_{3}(x + 3)$

$\Leftrightarrow ylog_{3}\frac{y + 3(x + 3)}{x + 3} = x(x + 3)log_{3}(x + 3)$

$\Leftrightarrow ylog_{3}\left( \frac{y}{x + 3} + 3 ight) = x(x + 3)log_{3}(x + 3)$

$\Leftrightarrow \frac{y}{x + 3}log_{3}\left( \frac{y}{x + 3} + 3 ight) = xlog_{3}(x + 3)$ (có dạng $f(u) = u.log_{3}(u + 3)$

$\Leftrightarrow \frac{y}{x + 3} = x \Leftrightarrow y = x(x + 3)$

Xét $y - 5x = x^{2} + 3x - 5x = x^{2} - 2x = (x - 1)^{2} - 1 \geq - 1$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = x^{2} + 3x \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy giá trị của biểu thức cần tìm là $x - 2y = - 7$
Câu 34: Nhận biết
Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$ , vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n} = (1;1;0)$ .
- B.
  $\overrightarrow{J} = (0;1;0)$ .
- C.
  $\overrightarrow{\imath} = (1;0;0)$ .
- D.
  $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$ .
Ta có: $mp(Oxy) \Rightarrow z = 0$

Vậy một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $mp(Oxy)$ là: $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$ ..
Câu 35: Vận dụng cao
Tìm các giá trị nguyên của tham số m

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f^{'}(x) = x^{2} - 3x - 4,\forall x \in \mathbb{R}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ , hàm số $g(x) = f\left( - x^{3} + 3x^{2} + m ight)$ có đúng hai điểm cực trị thuộc khoảng $(1;4)$ ?
- A.
  9
- B.
  7
- C.
  8
- D.
  10
Ta có: $f'(x) = x^{2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 4 \\ \end{matrix} ight.$

$g(x) = f\left( - x^{3} + 3x^{2} + m ight)$

$\Rightarrow g'(x) = \left( - 3x^{3} + 6x ight)f\left( - x^{3} + 3x^{2} + m ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 3x^{2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 otin (1;4) \\ x = 2 \in (1;4) \\ \end{matrix} ight.\ \\ f\left( - x^{3} + 3x^{2} + m ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$f\left( - x^{3} + 3x^{2} + m ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - x^{3} + 3x^{2} + m = - 1 \\ - x^{3} + 3x^{2} + m = 4 \\ \end{matrix} ight.\ (*)$

Để $g(x)$ có hai điểm cực trị tại $x(1;4)$ thì

$\left\lbrack \begin{matrix} - x^{3} + 3x^{2} = - m - 1 \\ - x^{3} + 3x^{2} = - m + 4 \\ \end{matrix} ight.$ có một nghiệm $x \in (1;4)$ (**)

Xét $h(x) = - x^{3} + 3x^{2} \Rightarrow h'(x) = - 3x^{2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng xét dấu

Để thỏa mãn (**)

Th1: $\left\{ \begin{matrix} - m + 4 \geq 4 \\ - 16 < - m - 1 \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq 0 \\ - 3 \leq m < 15 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 \leq m \leq 0$

Th2: $\left\{ \begin{matrix} - 16 < - m + 4 \leq 2 \\ - m - 1 \leq - 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 \leq m < 20 \\ m \geq 15 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow 15 \leq m < 20$

Vậy có 9 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 36: Nhận biết
Tìm x để hàm số có nghĩa

Tập xác định của hàm số $y = (x + 1)^{\sqrt{2}}$ là
- A.
  $\mathbb{R}$ .
- B.
  $(0; + \infty)$ .
- C.
  $( - 1; + \infty)$ .
- D.
  $\mathbb{R} \smallsetminus \{ - 1\}$ .
Điều kiện xác định của hàm số $y = (x + 1)^{\sqrt{2}}$

$x + 1 > 0 \Rightarrow x > - 1$

Vậy tập xác định là $(0; + \infty)$
Câu 37: Nhận biết
Tính tích phân

Nếu $\int_{- 1}^{2}\mspace{2mu} f(x)dx = 3$ thì $\int_{2}^{- 1}\mspace{2mu} f(x)dx$ bằng
- A.
  3
- B.
  -3
- C.
  1.
- D.
  -1
Ta có: $\int_{- 1}^{2}{f(x)d(x)} = 3 \Rightarrow \int_{2}^{- 1}{f(x)d(x)} = - 3$
Câu 38: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a,SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA = \frac{\sqrt{3}a}{3}$ . Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng
- A.
  $\frac{a}{2}$ .
- B.
  $a$ .
- C.
  $\frac{\sqrt{3}a}{3}$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{14}a}{7}$ .
Hình vẽ minh họa

Kẻ AE vuông góc với SD.

Ta có: $SA\bot(ABCD) \Rightarrow SA\bot CD$

$\left\{ \begin{matrix} CD\bot AD \\ CD\bot SA \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow CD\bot(SAD) \Rightarrow CD\bot AE$

$\left\{ \begin{matrix} AE\bot CD \\ AE\bot SD \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow AE\bot(SCD)$

$\Rightarrow d\left( A;(SAD) ight) = AE$

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác SAD vuông tại A, đường cao AE là:

$\frac{1}{AE^{2}} = \frac{1}{SA^{2}} + \frac{1}{AD^{2}} \Rightarrow AE = \frac{a}{2}$
Câu 39: Nhận biết
Chọn đáp án đúng

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 3}$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u_{2}} = (1;0; - 2)$ .
- B.
  $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 3)$ .
- C.
  $\overrightarrow{u_{3}} = (2;1;3)$ .
- D.
  $\overrightarrow{u_{4}} = (1;0;2)$ .
VTCP cần tìm là: $\overrightarrow{u} = (2;1; - 3)$
Câu 40: Nhận biết
Xác định hàm số tương ứng

Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?
- A.
  $y = - 2x^{4} + 4x^{2} + 1$ .
- B.
  $y = x^{3} - 4x^{2} - 2$ .
- C.
  $y = x^{4} - 2x^{2} + 3$ .
- D.
  $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$ .
Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số cần tìm là hàm bậc 4 trùng phương và có hệ số a > 0

Vậy hàm số thỏa mãn là: $y = x^{4} - 2x^{2} + 3$ .
Câu 41: Nhận biết
Chọn công thức tính độ dài đường sinh

Cho hình nón có bán kính đáy $r$ , chiều cao $h$ và độ dài đường sinh $l$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $l = \sqrt{h + r}$ .
- B.
  $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ .
- C.
  $l = hr$ .
- D.
  $l = h^{2} + r^{2}$ .
Khẳng định đúng là: $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}$ .
Câu 42: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức tích phân

Nếu $\int_{1}^{2}\mspace{2mu} f(x)dx = 3$ và $\int_{1}^{2}\mspace{2mu} g(x)dx = 5$ thì $\int_{1}^{2}\mspace{2mu}(f(x) - g(x))dx$ bằng
- A.
  2
- B.
  -2
- C.
  8
- D.
  $\frac{3}{5}$
Ta có:

$\int_{1}^{2}\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack d(x) = \int_{1}^{2}{f(x)d(x)} - \int_{1}^{2}{g(x)d(x)} = 3 - 5 = - 2$
Câu 43: Nhận biết
Tính công sai d

Cho cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ với $u_{1} = 3$ và $u_{2} = 7$ . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
- A.
  $\frac{7}{3}$
- B.
  $\frac{3}{7}$
- C.
  -4
- D.
  4
Ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = d;\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$

Nên công sai d cần tìm là: $d = u_{2} - u_{1} = 7 - 3 = 4$
Câu 44: Vận dụng
Tính thế tích khối lăng trụ

Cho khối lăng trụ $ABC \cdot A^{'}B^{'}C^{'}$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ , $A^{'}A = A^{'}B = A^{'}C = a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( BCC^{'}B^{'} ight)$ và $(ABC)$ bằng $30^{\circ}$ , thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
- A.
  $\frac{\sqrt{3}a^{3}}{24}$ .
- B.
  $\frac{\sqrt{3}a^{3}}{8}$ .
- C.
  $\frac{3a^{3}}{8}$ .
- D.
  $\frac{a^{3}}{8}$ .
Hình vẽ minh họa

Ta có hình chóp có $SA = SB = SC$ nên hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng $(ABC)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

Xét hình chóp

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}A'M = HM.\cos30^{0} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow B'C' =a\sqrt{3} \\A'H = HM.\sin30^{0} = \dfrac{a}{2} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow S_{A'B'C'} = \frac{1}{2}A'M'.B'C' = \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}a.\sqrt{3}a = \frac{3}{4}a^{2}$

$\Rightarrow V = S_{A'B'C'}.A'H = \frac{3a^{2}}{4}.\frac{a}{2} = \frac{3a^{3}}{8}$
Câu 45: Nhận biết
Biến đổi biểu thức

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\log_{2}a^{\frac{1}{3}}$ bằng
- A.
  $\frac{3}{2}\log_{2}a$ .
- B.
  $3\log_{2}a$ .
- C.
  $\frac{1}{3}\log_{2}a$ .
- D.
  $\frac{2}{3}\log_{2}a$ .
Ta có: $\log_{2}a^{\frac{1}{3}} =\frac{1}{3}\log_{2}a$
Câu 46: Nhận biết
Xác định phần ảo của số phức

Số phức $z = 4 - 5i$ có phần ảo bằng;
- A.
  -5
- B.
  -4
- C.
  $- 5i$
- D.
  4
Phần ảo của số phức là -5
Câu 47: Nhận biết
Công thức tính chiều cao hình trụ

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $r$ và diện tích xung quanh bằng $S$ . Chiều cao của hình trụ đã cho bằng
- A.
  $\frac{S}{2\pi r}$ .
- B.
  $\frac{S}{\pi r}$ .
- C.
  $\frac{2S}{\pi r}$ .
- D.
  $\frac{S}{2r}$ .
Diện tích xung quanh hình trụ bằng: $S_{xq} = 2\pi r.h$

Suy ra chiều cao hình trụ là: $h = \frac{S_{xq}}{2\pi r}$ .
Câu 48: Nhận biết
Xác định số phức

Cho hai số phức $z_{1} = 1 - 3i$ và $z_{2} = - 4 + i$ . Số phức $z_{1} + z_{2}$ bằng
- A.
  $- 3 - 3i$ .
- B.
  $3 - 4i$ .
- C.
  $3 - 2i$ .
- D.
  $- 3 - 2i$ .
Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} z_{1} = 1 - 3i \\ z_{2} = - 4 + i \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow z_{1} + z_{2} = (1 - 4) + ( - 3 + 1)i = - 3 - 2i$
Câu 49: Thông hiểu
Viết phương trình mặt cầu

Trong không gian $Oxyz$ , mặt cầu có tâm $I(4;0;0)$ và đi qua điểm $M(0; - 3;0)$ có phương trình là
- A.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + z^{2} = 5$ .
- B.
  $(x + 4)^{2} + y^{2} + z^{2} = 5$ .
- C.
  $(x + 4)^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$ .
- D.
  $(x - 4)^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$ .
Độ dài IM là: $IM = \sqrt{4^{2} + 3^{2} + 0^{2}} = 5$

Vì M thuộc mặt cầu nên IM là bán kính.

Khi đó phương trình mặt cầu là:

$(x - 4)^{2} + y^{2} + z^{2} = 25$
Câu 50: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức

Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn $\log_{a}^{2}\left( a^{2}b ight).\log_{a}\frac{b}{a} + 4 = 0$ . Giá trị của $\log_{b}a$ bằng
- A.
  -3
- B.
  3
- C.
  $\frac{1}{3}$
- D.
  $- \frac{1}{3}$
Ta có:

$\log_{a}^{2}\left( a^{2}bight). \log_{a}\frac{b}{a} + 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left( 2 + \log_{a}bight)^{2}.\left( \log_{a}b - 1 ight) + 4 = 0$

Đặt $t = \log_{a}b$

$\Leftrightarrow (2 + t)^{2}.(t - 1) + 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left( t^{2} + 4t + 4 ight)(t - 1) + 4 = 0$

$\Leftrightarrow t^{3} + 3t^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 0 \\ t = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\log_{a}b = 0 \\\log_{a}b = - 3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\log_{b}a = 0 \\\log_{b}a = \dfrac{- 1}{3} \\\end{matrix} ight.$

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề minh họa tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2024

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi các năm

Lớp 12

Khóa học Lớp 12

Đề thi THPT Quốc gia

Đề thi THPT Quốc gia

Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 3

Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 6

Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 5

Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 7

Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2025 số 4

Đề minh họa tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2025