VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Đề thi Toán THPT Quốc gia năm 2024

Trắc nghiệm Toán THPT Quốc gia có đáp án

Mời các bạn học cùng thử sức với đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2024 có hướng dẫn giải chi tiết.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 50 câu
Điểm số bài kiểm tra: 50 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Chọn đáp án chính xác
Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có ba điểm cực trị là $- \frac{3}{2};2;\frac{11}{2}$ và đạt giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ . Bất phương trình $f(x) \leq m$ có nghiệm thuộc đoạn $\lbrack 0;3brack$ khi và chỉ khi
- A.
  $m \geq f(2)$ .
- B.
  $f(2) \geq m \geq f(3)$ .
- C.
  $m \geq f(0)$ .
- D.
  $m \geq f(3)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $f(x)$ có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty \\ \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = - \infty \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a > 0$

$\Rightarrow f(x) = ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e$

$f'(x) = 4a\left( x + \frac{3}{2} ight)(x - 2)\left( x - \frac{11}{2} ight)$

$= a(2x + 3)(x - 2)(2x - 11)$

$= 4ax^{3} - 24ax^{2} - ax + 66a$

$\Rightarrow f(x) = ax^{4} - 8ax^{3} - \frac{a}{2}x^{2} + 66ax + e$

Ta có: $f(0) = e;f(3) = \frac{117a}{2} + e \Rightarrow f(0) < f(3)$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m \geq f(0)$
Câu 2: Vận dụng cao
Chọn đáp án chính xác
Xét phương trình bậc hai $az^{2} + bz + c = 0(a,b,c \in \mathbb{R},a eq 0)$ có hai nghiệm phức $z_{1},z_{2}$ có phần ảo khác 0 và $\left| 2z_{1} - \frac{1}{9} ight| = \left| z_{1} - z_{2} ight|$ . Giả sử $\left| z_{1} ight| = \frac{1}{\sqrt{k}}$ và $w$ là số phức thỏa mãn $cw^{2} + bw + a = 0$ , có bao nhiêu số nguyên dương $k$ sao cho ứng với mỗi $k$ tồn tại đúng 9 số phức $z_{3}$ có phần ảo nguyên, $z_{3} - w$ là số thuần ảo và $\left| z_{3} ight| \leq |w|$ ?
- A.
  22.
- B.
  23.
- C.
  11.
- D.
  12.
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} z_{1} = x + yi \\ z_{2} = x - yi \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall x;y\mathbb{\in R} ight)$

$\Rightarrow \left| 2z_{1} - \frac{1}{9} ight| = \left| z_{1} - z_{2} ight| = \left| z_{1} - \overline{z_{1}} ight|$

$\Leftrightarrow \left( 2x - \frac{1}{9} ight)^{2} + 4y^{2} = 4y^{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{18}$

$\left\{ \begin{matrix}az^{2} + bz + c = 0 \\cw^{2} + bw + c = 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}w = \dfrac{1}{z} \\|w| = \dfrac{1}{|z|} = \sqrt{k} \\\end{matrix} ight.$

Ta có: $z_{1} = \frac{1}{18} + yi \Rightarrow z_{1}.\overline{z_{1}} = \frac{1}{k} = y^{2} + \frac{1}{324}$

$w = \frac{1}{z_{1}} = \frac{\overline{z_{1}}}{\left| z_{1} ight|^{2}} = k\left( \frac{1}{18} - yi ight)$

$z_{3} = m + ni;\left( n\mathbb{\in Z} ight):k \in \mathbb{N}^{*}$

$Re\left( z_{3} - w ight) = 0;\left| z_{3} ight| \leq |w| = \sqrt{k}$

$\left\{ \begin{matrix}m^{2} + n^{2} \leq k \\m = \dfrac{1}{18}k \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow n^{2} \leq k -\frac{k^{2}}{324}$

$f(k) = k - \frac{k^{2}}{324};\forall k \in \mathbb{N}^{*}$ suy ra có 9 số phức $z_{3}$

$\Rightarrow 16 \leq f(k) < 25 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(k) \geq 16 \\ f(k) < 25 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k - \frac{k^{2}}{324} \geq 16 \\ k - \frac{k^{2}}{324} < 25 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow k \in \left\{ 17;...;27;297;...;307 ight\}$

Vậy có 22 số nguyên dương k thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 3: Vận dụng cao
Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Cho hình chóp $S.ABC$ có đ̛áy là tam giác vuông cân tại $A,AB = 2a$ , mặt bên $SAB$ là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
- A.
  $\frac{28\pi}{9}a^{2}$ .
- B.
  $\frac{28\pi}{3}a^{2}$ .
- C.
  $\frac{25\pi}{9}a^{2}$ .
- D.
  $\frac{25\pi}{3}a^{2}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

$\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A,AB = 2a$ nên $BC = 2a\sqrt{2}$ .

Gọi $G$ là tâm tam giác đều $SAB$ và $H,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ .

Ta có: $GH = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Kẻ đường thẳng $Gx//HJ,Jy//SH$ .

Do mặt bên $SAB$ là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy nên $SH\bot AB$ và vì vậy $SH\bot(ABC)$ .

Mà $\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$ nên $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Vậy nên $Jy$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup ABC$ .

Hoàn toàn tương tự, $Gx$ là trục đường tròn ngoại tiếp $\bigtriangleup SAB$ .

Trong mặt phẳng qua $H$ , vuông góc với $AB$ hai đường thẳng $Gx$ và $Jy$ cắt nhau tại $I$ .

Dễ dàng có $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ .

Nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng:

$R = \sqrt{JI^{2} + JB^{2}} = \sqrt{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} ight)^{2} + (a\sqrt{2})^{2}} = \frac{\sqrt{21}}{3}.$

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng $S_{mc} = 4\pi R^{2} = \frac{28\pi}{3}a^{2}$
Câu 4: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn điều kiện bài toán
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ tồn tại đúng hai số phức $z$ thỏa mãn $|z - 1 - 5i| + |z - 1 + 5i| = 10$ và $|z - 2 - i| = m$ ?
- A.
  5.
- B.
  4.
- C.
  2.
- D.
  3.
Hướng dẫn:
Giả sử $z = x + yi;\left( x;y\mathbb{\in R} ight)$ và điểm M biểu diễn số phức $z$ .

$A(1;5),B(1; - 5)$

Ta có: $|z - 1 - 5i| + |z - 1 + 5i| = 10 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} MA + MB = 10 \\ AB = 10 \\ \end{matrix} ight.$ suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đoạn thẳng $AB$

$|z - 2 - i| = m \Rightarrow (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = m^{2}$

Với $m > 0$ thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I(2;1)$ bán kính $R = m$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của $I(2;1)$ trên đoạn $AB$ suy ra $IH = 1$

Hình vẽ minh họa

$IA < IB$ . Theo yêu cầu bài toán $1 < m \leq MA \Leftrightarrow 1 < m \leq \sqrt{17}$

Kết hợp với điều kiện $\left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow m \in \left\{ 2;3;4 ight\}$ .
Câu 5: Vận dụng
Tính thể tích khối lăng trụ
Cho khối lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{'}B^{'}C^{'}$ có đảy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB = a$ . Biết góc giữa hai mặt phẳng $\left( A^{'}BC ight)$ và $(ABC)$ bằng $30^{\circ}$ , thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{6}}{36}a^{3}$ .
- B.
  $\frac{\sqrt{6}}{4}a^{3}$ .
- C.
  $\frac{\sqrt{6}}{12}a^{3}$ .
- D.
  $\frac{3\sqrt{6}}{4}a^{3}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi H là trung điểm của BC

Tam giác ABC vuông cân tại A suy ra $AH\bot BC$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AH \\ BC\bot AA' \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow BC\bot(A'HA)$

$\Rightarrow \left( (A'BC);(ABC) ight) = (A'H;AH) = \widehat{A'HA}$

Xét tam giác A’HA vuông tại A ta có: $AH = \frac{BC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\tan\widehat{A'HA} =\frac{AA'}{AH} \Rightarrow AA' = AH.\tan30^{0} =\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3} =\dfrac{a\sqrt{6}}{6}$

Vậy $V = S_{ABC}.AA' = \frac{1}{2}a^{2}.\frac{a\sqrt{6}}{6} = \frac{a^{3}\sqrt{6}}{12}$
Câu 6: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người thành một hàng ngang?
- A.
  1.
- B.
  720.
- C.
  36.
- D.
  6.
Hướng dẫn:
Ta có: $6! = 720$ cách xếp 6 người thành một hàng ngang.
Câu 7: Nhận biết
Tính tích phân
Nếu $\int_{- 2}^{1}\mspace{2mu} f(x)dx = - 1$ và $\int_{1}^{7}\mspace{2mu} f(x)dx = - 5$ thì $\int_{- 2}^{7}\mspace{2mu} f(x)dx$ bằng:
- A.
  $4$
- B.
  $5$
- C.
  $- 6$
- D.
  $- 4$
Hướng dẫn:
Ta có: $\int_{- 2}^{7}{f(x)dx} = \int_{- 2}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{7}{f(x)dx} = - 6$
Câu 8: Nhận biết
Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
- A.
  4.
- B.
  1.
- C.
  2.
- D.
  3.
Hướng dẫn:
Quan sát bảng biến thiên ta suy ra hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Câu 9: Nhận biết
Tìm phần thực số phức
Trên mặt phẳng tọa đợ, $M(2; - 5)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$ . Phần thực của $z$ bằng
- A.
  5
- B.
  -2
- C.
  -5
- D.
  2
Hướng dẫn:
Ta có: $M(2; - 5)$ là điểm biểu diễn số phức $z$ suy ra $z = 2 - 5i$

Vậy phần thực của số phức đã cho bằng $2$ .
Câu 10: Nhận biết
Tìm phần ảo của số phức
Cho số phức $z$ có $\bar{z} = - 5 + 6i$ . Phần ảo của $z$ bằng:
- A.
  $6$
- B.
  $- 6$
- C.
  $5$
- D.
  $- 5$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overline{z} = - 5 + 6i \Rightarrow z = - 5 - 6i$ suy ra phần ảo của $z$ bằng $- 6$ .
Câu 11: Nhận biết
Tính đạo hàm của hàm số
Trên khoảng $(0; + \infty)$ , đạo hàm của hàm số $y = x^{\frac{1}{7}}$ là
- A.
  $y^{'} = \frac{1}{7}x^{- \frac{5}{7}}$ .
- B.
  $y^{'} = \frac{1}{7}x^{\frac{6}{7}}$ .
- C.
  $y^{'} = \frac{7}{8}x^{\frac{8}{7}}$ .
- D.
  $y^{'} = x^{- \frac{6}{7}}$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $y^{'} = \frac{1}{7}x^{- \frac{5}{7}}$
Câu 12: Nhận biết
Tính bán kính hình trụ
Cho hình trụ có diện tích xung quanh $S_{xq} = 36\pi$ và chiều cao $h = 6$ . Bán kính của hình trụ đã cho bằng?
- A.
  $6$
- B.
  $9$
- C.
  $3$
- D.
  $12$
Hướng dẫn:
Ta có:

$S_{xq} = 2\pi rl = 2\pi rh \Rightarrow r = \frac{S_{xq}}{2\pi h} = \frac{36\pi}{2\pi.6} = 3$
Câu 13: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $\int(2x + 3)dx = x^{2} + C$ .
- B.
  $\int(2x + 3)dx = \frac{1}{2}x^{2} + 3x + C$ .
- C.
  $\int(2x + 3)dx = x^{2} + 3x + C$ .
- D.
  $\int(2x + 3)dx = 2x^{2} + 3x + C$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\int_{}^{}{(2x + 3)dx} = x^{2} + 3x + C$ .
Câu 14: Thông hiểu
Xác định khoảng đồng biến của hàm số
Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ . Hàm số $y = f^{'}(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 1;1)$ .
- B.
  $(1;2)$ .
- C.
  $( - 1;2)$ .
- D.
  $( - \infty; - 1)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng $( - 1;1)$
Câu 15: Nhận biết
Tìm điểm cực tiểu của hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
- A.
  $x = - 1$
- B.
  $x = 2$
- C.
  $x = - 2$
- D.
  $x = 1$
Hướng dẫn:
Quan sát bảng biến thiên ta thấy $x = - 1$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 16: Nhận biết
Tính thể tích khối lăng trụ
Cho khối lăng trụ tam giác có diện tích đáy $B = 6$ và chiều cao $h = 3$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
- A.
  $12$
- B.
  $6$
- C.
  $18$
- D.
  $24$
Hướng dẫn:
Thể tích khối lăng trụ là: $V = B.h = 6.3 = 18$ .
Câu 17: Thông hiểu
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2; - 1)$ và mặt phẳng $(P):2x - z + 1 = 0$ . Đường thẳng đỉ qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phưong trình là
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2i \\ y = 2 \\ z = - 1 - i \\ \end{matrix} ight.$ .
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 2t \\ z = - 1 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 2t \\ y = - 2 \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} ight.$ .
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = - 1 + t \\ \end{matrix} ight.$ .
Hướng dẫn:
Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có vectơ chỉ phương là $(2;0; - 1)$ và đi qua $A(1;2; - 1)$ là $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2i \\ y = 2 \\ z = - 1 - i \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tính tổng các giá trị của tham số m
Một ô tô đang chuyển động với vận tốc $20m/s$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động thẳng, chậm dần đều với vận tốc biến thiên theo thời gian được xác định bởi quy luật $v(t) = - 4t + 20(m/s)$ trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô đi được từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh đến khi xe dừng hẳn bằng:
- A.
  32 m.
- B.
  50 m.
- C.
  48 m.
- D.
  30 m.
Hướng dẫn:
Gọi $t_{0};t_{1}$ lần lượt là thời điểm người lái xe đạp phanh và thời điểm ô tô dừng hẳn.

Khi đó $t_{0} = 0;v\left( t_{1} ight) = 0 \Leftrightarrow - 4t_{1} + 20 = 0 \Leftrightarrow t_{1} = 5$ .

Quãng đường ô tô đi được từ lúc người lái xe bắt đầu đạp phanh đến khi xe dừng hẳn bằng

$S = \int_{t_{0}}^{t_{1}}{v(t)dt} = \int_{0}^{5}{( - 4t + 20)dt} = 50(m)$
Câu 19: Nhận biết
Tìm tâm mặt cầu (S)
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; - 2;3)$ và $B(3;0;1)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính, tâm của $(S)$ có tọa độ là
- A.
  $( - 1; - 1;1)$ .
- B.
  $(1;1; - 1)$ .
- C.
  $(4; - 2;4)$ .
- D.
  $(2; - 1;2)$ .
Hướng dẫn:
Tâm của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là $(2; - 1;2)$ .
Câu 20: Nhận biết
Tìm số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Số nghiệm thực của phương trình $f(x) = \frac{3}{2}$ là:
- A.
  0.
- B.
  3.
- C.
  2.
- D.
  4.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có số nghiệm của phương trình $f(x) = \frac{3}{2}$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = \frac{3}{2}$ .

Vậy phương trình có 4 nghiệm.
Câu 21: Thông hiểu
Tính xác suất của biến cố
Trên hai tia $Ox,Oy$ của góc nhọn $x0$ y lần lượt cho 5 điểm và 6 điểm phân biệt khác 0. Chọn ngẫu nhiên 3 điểm từ 12 điểm (gồm điểm 0 và 11 điểm đã cho), xác suất để 3 điểm chọn được là ba đỉnh của một tam giác bằng
- A.
  $\frac{39}{44}$ .
- B.
  $\frac{3}{4}$ .
- C.
  $\frac{19}{22}$ .
- D.
  $\frac{27}{44}$ .
Hướng dẫn:
Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) = C_{12}^{3}$

Gọi A là biến cố ba điểm được chọn là ba đỉnh của một tam giác

TH1: 3 điểm được chọn có điểm O, khi đó ta chọn 1 điểm trên Ox và 1 điểm trên Oy. Số cách chọn là $6.5 = 30$ .

TH2: 3 điểm được chọn không có điểm O, khi đó ta chọn 2 điểm trên Ox và 1 điểm trên Oy. Số cách chọn là $C_{5}^{2}.C_{6}^{1} = 60$ .

TH3: 3 điểm được chọn không có điểm O, khi đó ta chọn 1 điểm trên Ox và 2 điểm trên Oy. Số cách chọn là $C_{5}^{1}.C_{6}^{2} = 75$

Suy ra số phần tử của biến cố A là: $n(A) = 30 + 60 + 75 = 165$

Vậy xác suất là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{165}{C_{12}^{3}} = \frac{3}{4}$ .
Câu 22: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a eq 1,{\ log}_{a^{2}}b^{2}$ bằng
- A.
  $\log_{a}b^{4}$ .
- B.
  $\log_{a^{4}}b$ .
- C.
  $\left( \log_{a}b ight)^{2}$ .
- D.
  $\log_{a}b$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $log_{a^{2}}b^{2} = \frac{1}{2}.2log_{a}b = log_{a}b$ .
Câu 23: Thông hiểu
Tính tích phân
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(1) = 3,f(2) = 1$ . Giá trị của $\int_{1}^{2}\mspace{2mu} f^{'}(x)dx$ bằng:
- A.
  $- 2$
- B.
  $4$
- C.
  $2$
- D.
  $- 4$
Hướng dẫn:
Ta có: $\int_{1}^{2}{f'(x)dx} = \left\lbrack f(x) ightbrack|_{1}^{2} = f(2) - f(1) = 1 - 3 = - 2$
Câu 24: Thông hiểu
Tìm môđun số phức
Cho số phức $z = 3 + 4i$ . Môđun của số phức $iz$ bằng
- A.
  $49$ .
- B.
  7.
- C.
  25.
- D.
  5.
Hướng dẫn:
Ta có:

$|iz| = \left| i(3 + 4i) ight| = | - 4 + 3i| = \sqrt{( - 4)^{2} + 3^{2}} = 5$ .
Câu 25: Thông hiểu
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A,BC = 2a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \sqrt{3}a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng
- A.
  $45^{\circ}$ .
- B.
  $90^{\circ}$ .
- C.
  $30^{\circ}$ .
- D.
  $60^{\circ}$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC $\Rightarrow AM\bot BC$

Mặt khác $SA\bot(ABC) \Rightarrow SA\bot BC$

Khi đó $BC\bot(SAM) \Rightarrow BC\bot SM$

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $\widehat{SMA}$

Ta có: $AM = \frac{1}{2}BC = a;SA = a\sqrt{3}$

Xét tam giác vuông $SAM$ ta có: $\tan\widehat{SMA} = \frac{SA}{AM} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{SMA} = 60^{0}$

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $60^{0}$ .
Câu 26: Vận dụng
Xác định tất cả số nguyên a thỏa mãn đề bài
Cho hàm số $f(x) = \frac{2}{x^{3}} + ln\frac{x + 3}{x - 3}$ . Có bao nhiêu số nguyên $a \in ( - \infty;2100)$ thỏa mãn $f(a - 2024) + f(6a - 27) \geq 0$ ?
- A.
  2096.
- B.
  360.
- C.
  $1807$ .
- D.
  288.
Hướng dẫn:
Xét $f(x) = \frac{2}{x^{3}} + \ln\frac{x +3}{x - 3}$ có tập xác định $D = ( - \infty; - 3) \cup (3; + \infty)$

Có $f^{'}(x) = - \frac{6}{x^{4}} - \frac{6}{(x - 3)^{2}}.\left( \frac{x - 3}{x + 3} ight) < 0\ \forall x \in D$

Suy ra $f(x)$ nghịch biến trên từng khoảng xác định $( - \infty; - 3)$ và $(3; + \infty)$

Ta lại có $f( - x) = \frac{2}{( - x)^{3}}+ \ln\left( \frac{- x + 3}{- x - 3} ight) = - \left( \frac{2}{x^{3}} +\ln\frac{x + 3}{x - 3} ight) = - f(x)$

Suy ra $f(x)$ là hàm số lẻ. và nghịch biến trên từng khoảng của TXĐ

Từ đó suy ra $f(a - 2024) + f(6a - 27) \geq 0$ điều kiện $a \in ( - \infty;4) \cup (5;2021) \cup (2027; + \infty)$

$\Leftrightarrow f(a - 2024) \geq - f(6a - 27) = f( - 6a + 27)$

Lập BBT có: $\forall x \in (3; + \infty)$ thì $f(x) > 0$

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{matrix} a - 2024 > 3 \\ 6a - 27 > 3 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 2027 \\ a > 5 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$ suy ra $a \in \lbrack 2028;2099brack$ bất phương trình được nghiệm đúng suy ra trường hợp này có 72 giá trị nguyên của $a$ .

Trường hợp 2: $a < 2027$ bất phương trình trở thành

$\Leftrightarrow f(a - 2024) \geq - f(6a - 27) = f( - 6a + 27)\ \text{(2)}$

Khi đó (2) $\Leftrightarrow a - 2024 \leq - 6a + 27 \Leftrightarrow 7a \leq 2051 \Leftrightarrow a \leq 293$

Từ (2) và (3) suy ra $5 < a \leq 293$ mà $a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \{ 6;\ldots;293\}$

Có $293 - 6 + 1 = 288$ giá trị $a$ .

Vậy có tất cả $288 + 72 = 360$ giá trị nguyên của $a$ thoả mãn yêu cầu đề bài.
Câu 27: Nhận biết
Xác định tọa độ vectơ
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2;3; - 1)$ và $\overrightarrow{b} = ( - 3;2; - 4)$ . Vectơ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ có tọa độ là:
- A.
  $(1; - 5;5)$ .
- B.
  $( - 1; - 5;5)$ .
- C.
  $( - 1;5; - 5)$ .
- D.
  $( - 5; - 1; - 3)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = ( - 1;5; - 5)$
Câu 28: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Xét hàm số $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d(a,b,c,d \in \mathbb{R},a > 0)$ có hai điểm cực trị $x_{1},x_{2}$ (với $x_{1} < x_{2}$ ) thỏa mãn $x_{1} + x_{2} = 0$ . Hình phẳng giới hạn bởi đường $y = f^{'}(x)f^{''}(x)$ và trục hoành có diện tích bằng $\frac{9}{4}$ . Biết $\int_{x_{1}}^{x_{2}}\mspace{2mu}\frac{f^{'}(x)}{3^{x}+ 1}dx = - \frac{7}{2}$ , giá trị của $\int_{0}^{x_{2}}\mspace{2mu}(x + 2)f^{''}(x)dx$ thuộc khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 1;0)$ .
- B.
  $( - 7; - 6)$ .
- C.
  $(0;1)$ .
- D.
  $(6;7)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $f^{'}(x) = 3ax^{2} + 2bx + c;f^{''}(x) = 6ax \Rightarrow f^{''}(x)$ là hàm số lẻ.

Vì $x_{1} + x_{2} = 0$ nên $x_{1} + x_{2} = - \frac{2b}{3a} = 0 \Leftrightarrow b = 0$ .

Do đó $f^{'}(x) = 3ax^{2} + c$ là hàm số chẵn và $ac < 0,x_{1} = - x_{2}$ .

Xét phương trình $f^{'}(x).f^{''}(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f^{'}(x) = 0 \\ f^{''}(x) = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm x_{2} \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$ , vì $x_{1} = - x_{2}$ .

$S = \frac{9}{4} \Leftrightarrow \int_{- x_{2}}^{x_{2}}\mspace{2mu}\left| f^{'}(x).f^{''}(x) ight|dx = \frac{9}{4} \Leftrightarrow 2\int_{0}^{x_{2}}\mspace{2mu}\left| f^{'}(x).f^{''}(x) ight|dx = \frac{9}{4}$ , vì $\left| f^{'}(x).f^{''}(x) ight|$ là hàm chẵn.

$\Leftrightarrow \left| 2\int_{0}^{x_{2}}{\left\lbrack f'(x).f''(x) ightbrack dx} ight| = \frac{9}{4}$

${\Leftrightarrow \left| \left\lbrack f'(x) ightbrack^{2}|_{0}^{x_{2}} ight| = \frac{9}{4} }{\Leftrightarrow |\left\lbrack f^{'}\left( x_{2} ight) ightbrack^{2} - \left\lbrack f^{'}(0) ightbrack^{2}|\ = \frac{9}{4} \Leftrightarrow \left\lbrack f^{'}(0) ightbrack^{2} = \frac{9}{4}}$

Xét tích phân $I =\int_{x_{1}}^{x_{1}}\mspace{2mu}\frac{f^{'}(x)}{3^{x} + 1}dx = \int_{- x_{2}}^{x_{2}}\mspace{2mu}\frac{f^{'}(x)}{3^{x} +1}dx = - \frac{7}{2}$

Đặt $t = - x \Rightarrow dx = - dt$ , với $x = - x_{2} \Rightarrow t = x_{2};x = x_{2} \Rightarrow t = - x_{2}$ nên

$I = - \int_{x_{2}}^{-x_{2}}\mspace{2mu}\frac{f^{'}( - t)}{3^{- t} + 1}dt =\int_{- x_{2}}^{x_{2}}\mspace{2mu}\frac{3^{t} \cdot f^{'}(t)}{3^{t}+ 1}dt = \int_{- x_{2}}^{x_{2}}\mspace{2mu}\frac{3^{x} \cdot f^{'}(x)}{3^{x} + 1}dx$ , vì $f^{'}(x)$ là hàm chẵn.

$\Rightarrow 2I = \int_{- x_{2}}^{x_{2}}\mspace{2mu} f^{'}(x)dx = - 7 \Leftrightarrow \int_{- x_{2}}^{x_{2}}\mspace{2mu} f^{'}(x)dx = - 7$

$\Leftrightarrow 2\int_{0}^{x_{2}}\mspace{2mu} f^{'}(x)dx = - 7 \Leftrightarrow \int_{0}^{x_{2}}\mspace{2mu} f^{'}(x)dx = - \frac{7}{2}$ .

Xét tích phân $K = \int_{0}^{x_{2}}\mspace{2mu}(x + 2)f^{''}(x)dx$

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u = x + 2 \\ dv = f''(x) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du = dx \\ v = f'(x) \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $K = (x + 2)f'(x)|_{0}^{x_{2}} - \int_{0}^{x_{2}}{f'(x)dx}$

$= - 2f'(0) - \int_{0}^{x_{2}}{f'(x)dx} = 3 + \frac{7}{2} = \frac{13}{2}$
Câu 29: Nhận biết
Xác định hàm số
Trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ , hàm số $F(x) = \frac{1}{2}sin2x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
- A.
  $f_{2}(x) =\cos2x$ .
- B.
  $f_{1}(x) = -\cos{2x}.$
- C.
  $f_{4}(x) = -\frac{1}{4}\cos2x$ .
- D.
  $f_{3}(x) = -\frac{1}{2}\cos2x$
Hướng dẫn:
Ta có:

$f(x) = F'(x) = \left(\frac{1}{2}sin2x ight)' = \frac{1}{2}.2.\cos2x = \cos2x$
Câu 30: Thông hiểu
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = - 6x^{3} + 27x^{2} - 16x + 1$ trên đoạn $\lbrack 1;5brack$ bằng:
- A.
  $\frac{329}{9}$ .
- B.
  6.
- C.
  -154.
- D.
  $- \frac{14}{9}$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $f'(x) = - 18x^{2} + 54x - 16$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 18x^{2} + 54x - 16 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{8}{3} \in \lbrack 1;5brack \\x = \dfrac{1}{3} otin \lbrack 1;5brack \\\end{matrix} ight.$ . Khi đó $f(1) = 6;f(5) = - 154;f\left( \frac{8}{3} ight) = \frac{329}{9}$

$\Rightarrow \underset{\lbrack 1;5brack}{\max f(x)} = f\left( \frac{8}{3} ight) = \frac{329}{9}$
Câu 31: Nhận biết
Chọn cấp số cộng
Dãy số nào dưới đây là một cấp số cộng?
- A.
  $1,\ 2,\ 3, - 4$ .
- B.
  $1,\ 3,\ 5,\ 7$ .
- C.
  $1,\ 3,\ 5,\ 10$ .
- D.
  $1,\ 0,\ 2,\ 4$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $1,\ 3,\ 5,\ 7$ là một cấp số cộng với $u_{1} = 1;d = 2$ .
Câu 32: Nhận biết
Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d:\ \frac{x + 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z}{- 3}$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phưong của $d$ ?
- A.
  $\overrightarrow{u_{1}} = (1;2;0)$
- B.
  $\overrightarrow{u_{2}} = ( - 1;2;0)$
- C.
  $\overrightarrow{u_{3}} = (1; - 1; - 3)$ .
- D.
  $\overrightarrow{u_{4}} = (1;1;3)$ .
Hướng dẫn:
Vectơ $\overrightarrow{u_{3}} = (1; - 1; - 3)$ là một vectơ chỉ phưong của $d$ .
Câu 33: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng đi qua điểm $M(3;4; - 2)$ và vuông góc với truc $Oz$ có phương trình là
- A.
  $z + 2 = 0$ .
- B.
  $x + y + z - 5 = 0$
- C.
  $x - 3 = 0$ .
- D.
  $y - 4 = 0$ .
Hướng dẫn:
Mặt phẳng vuông góc với trục Oz nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$

Mặt phẳng đi qua điểm $M(3;4; - 2)$ và vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k} = (0;0;1)$ có phương trình là $z + 2 = 0$ .
Câu 34: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ?
- A.
  $y = x^{2024}$ .
- B.
  $y = 2024^{x}$ .
- C.
  $y = x^{- 4}$ .
- D.
  $y = \log_{3}x$ .
Hướng dẫn:
Hàm số mũ có dạng $y = a^{x};(0 < a eq 1)$ .
Câu 35: Nhận biết
Xác định chiều cao hình chóp
Cho khối chóp tứ giác có thể tích $V = 3a^{3}$ và diện tích đáy $B = a^{2}$ . Chiều cao của khối chóp đã cho bằng:
- A.
  $9a$
- B.
  $6a$
- C.
  $a$
- D.
  $3a$
Hướng dẫn:
Ta có: $V = \frac{1}{3}Bh \Rightarrow 3a^{3} = \frac{1}{3}a^{2}.h \Rightarrow h = 9a$
Câu 36: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Số phức $z = i + i^{2} + i^{3}$ bằng:
- A.
  $- 1$
- B.
  $1$
- C.
  $- 1 + 2i$
- D.
  $i$
Hướng dẫn:
Ta có: $z = i + i^{2} + i^{3} = - 1$
Câu 37: Thông hiểu
Tính độ dài vectơ
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai đ̛iểm $A(1;2;3)$ và $B(3;2;5)$ . Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MA}$ , độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$ bằng
- A.
  $2\sqrt{14}$ .
- B.
  $\frac{\sqrt{74}}{2}$ .
- C.
  8.
- D.
  $2\sqrt{2}$ .
Hướng dẫn:
Gọi $M(x;y;z)$ . Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MB} = (3 - x;2 - y;5 - z) \\ \overrightarrow{MA} = (1 - x;2 - y;3 - z) \\ \end{matrix} ight.$

Theo bài ra $\overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MA} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3 - x = 3(1 - x) \\ 2 - y = 3(2 - y) \\ 5 - z = 3(3 - z) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = 2 \\ z = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $M(0;2;2)$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{OM} = (0;2;2) \Rightarrow \left| \overrightarrow{OM} ight| = \sqrt{0^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2}$
Câu 38: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số a
Có bao nhiêu số nguyên $a$ lớn hơn 1 sao cho ứng với mỗi $a$ tồn tại không quá 4 số nguyên $b$ thỏa mãn $5^{b^{2}} < 25^{- b} \cdot a^{b + 2}$ ?
- A.
  100.
- B.
  99.
- C.
  124.
- D.
  125.
Hướng dẫn:
Ta có:

$5^{b^{2}} < 25^{- b}.a^{b + 2} \Leftrightarrow 5^{b^{2}}.25^{b} < a^{b + 2} \Leftrightarrow 5^{b^{2} + 2b} < a^{b + 2}$

$\Leftrightarrow b^{2} + 2b < (b + 2)log_{5}a \Leftrightarrow (b + 2)\left( b - log_{5}a ight) < 0$

$\Leftrightarrow - 2 < b < log_{5}a$ (do $\log_{5}a >0$ )

Để thỏa mãn thì $log_{5}a \leq 3 \Leftrightarrow a \leq 125$

Do a nguyên và lớn hơn 1 nên có 124 giá trị thỏa mãn.
Câu 39: Nhận biết
Xác định tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{4x - 1}{3x + 2}$ có phương trình là
- A.
  $x = - \frac{2}{3}$ .
- B.
  $y = - \frac{2}{3}$ .
- C.
  $x = \frac{4}{3}$ .
- D.
  $y = \frac{4}{3}.$
Hướng dẫn:
Ta có: $\lim_{x ightarrow - \frac{2}{3}^{-}}y = + \infty;\lim_{x ightarrow - \frac{2}{3}^{+}}y = - \infty$

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là: $x = - \frac{2}{3}$ .
Câu 40: Vận dụng
Viết phương trình mặt cầu (S)
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z + 3}{- 5}$ và $d_{2}:\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z + 1}{- 1}$ . Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ , gọi $(S)$ là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, phương trình của $(S)$ là
- A.
  $x^{2} + (y + 1)^{2} + z^{2} = 6$ .
- B.
  $(x + 1)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 6$ .
- C.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 6$ .
- D.
  $x^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 4)^{2} = 6$ .
Hướng dẫn:
Đường thẳng $d_{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (1;3; - 5)$ .

Đường thẳng $d_{2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}} = (1; - 1; - 1)$ .

Giả sử $M(2 + a;4 + 3a; - 3 - 5a) \in d_{1},N( - 2 + b; - 2 - b; - 1 - b) \in d_{2}$ và $MN$ là đoạn vuông góc chung của $d_{1},d_{2}$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 4 + b - a; - 6 - b - 3a;2 - b + 5a)$ .

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} MN\bot d_{1} \\ MN\bot d_{2} \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u_{1}} = 0 \\ \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u_{2}} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1.( - 4 + b - a) + 3.( - 6 - b - 3a) - 5.(2 - b + 5a) = 0 \\ 1.( - 4 + b - a) - 1.( - 6 - b - 3a) - 1.(2 - b + 5a) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow M(1;1;2),N( - 3; - 1;0) ight.$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 4; - 2; - 2) \Rightarrow MN = \sqrt{( - 4)^{2} + ( - 2)^{2} + ( - 2)^{2}} = 2\sqrt{6}$ .

Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với cả hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ và có bán kính nhỏ nhất nên tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ .

Khi đó, mặt cầu $(S)$ có tâm $I( - 1;0;1)$ và bán kính $R = \frac{MN}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$ .

Vậy mặt cầu $(S)$ cần tìm là $(x + 1)^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 6$ .
Câu 41: Nhận biết
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f^{'}(x) = 2x + 4,\forall x \in \mathbb{R}$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
- A.
  $(2; + \infty)$ .
- B.
  $(2;4)$ .
- C.
  $( - \infty; - 2)$ .
- D.
  $( - 2; + \infty)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $f'(x) = 2x + 4 < 0 \Leftrightarrow x < - 2$

Vậy nên hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $( - \infty; - 2)$ .
Câu 42: Thông hiểu
Giải bất phương trình
Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x + 2) > - 1$ là
- A.
  $( - 2;0)$ .
- B.
  $(0; + \infty)$ .
- C.
  $( - \infty;0)$ .
- D.
  $( - 2;1)$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$log_{\frac{1}{2}}(x + 2) > - 1 \Leftrightarrow 0 < x + 2 < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 0$

Vậy $x \in ( - 2;0)$ là tập nghiệm của bất phương trình.
Câu 43: Vận dụng cao
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;6; - 1),B(2; - 4; - 1)$ và mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;2; - 1)$ đi qua $A$ . Điểm $M(a;b;c)$ (với $c > 0)$ thuộc $(S)$ sao cho IAM là tam giác đù, có diện tích bằng $2\sqrt{7}$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $IA$ lớn nhất. Giá trị của $a + b + c$ thuộc khoảng nào dưới đây?
- A.
  $\left( \frac{5}{2};3 ight)$
- B.
  $\left( \frac{3}{2};2 ight)$
- C.
  $\left( 1;\frac{3}{2} ight)$
- D.
  $\left( 2;\frac{5}{2} ight)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\overrightarrow{IA} = (0;4;0) \Rightarrow IA = 4$ .

Mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;2; - 1)$ đi qua $A$ nên bán kính của $(S)$ là $R = LA = 4$ .

Phương trình mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} = 16$ .

Nhận thấy $B(2; - 4; - 1)$ nằm ngoài $(S)$ .

Gọi $H$ là trung điểm $MA$ suy ra $IH\bot MA$ . Đặt $IH = x(0 < x < 4)$ .

Diện tích tam giác $IAM$ bằng $2\sqrt{7}$ , suy ra:

${\frac{1}{2}IH.MA = 2\sqrt{7}\Rightarrow \frac{1}{2}IH.2.HA = 2\sqrt{7} \Rightarrow IH.HA = 2\sqrt{7}}$

$\Rightarrow x\sqrt{16 - x^{2}} = 2\sqrt{7} \Rightarrow x^{4} - 16x^{2}+ 28 = 0$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} = 14 \\ x^{2} = 2 \\ \end{matrix} \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \sqrt{14} \\ x = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Với $x = \sqrt{14} \Rightarrow HA = \sqrt{2} \Rightarrow MA = 2\sqrt{2} < IA$ (loại do tam giác $IAM$ tù).

Với $x = \sqrt{2} \Rightarrow HA = \sqrt{14} \Rightarrow MA = 2\sqrt{14} > IA$ (thỏa mãn).

Gọi $K$ là hình chiếu của $M$ lên $LA$ . Ta có:

$sin\widehat{LAH} = \frac{IH}{LA} = \frac{\sqrt{2}}{4} = sin\widehat{KAM} = \frac{MK}{AM} = \frac{MK}{2\sqrt{14}} \Rightarrow MK = \sqrt{7}.$

Ta có điểm $A,I$ cố định, điểm $M$ thay đổi trên mặt cầu $(S)$ sao cho $MK = \sqrt{7}$ , suy ra $M$ thuộc mặt trụ $(T)$ trục là $AI$ , bán kính $MK = \sqrt{7}$ .

Vậy $M$ thuộc giao tuyến của mặt trụ $(T)$ và mặt cầu $(S)$ là đường tròn $(C)$ tâm $K$ , bán kính $MK = \sqrt{7}$ .

Ta có: $AK = \sqrt{AM^{2} - MK^{2}} = 7 \Rightarrow IK = 3 \Rightarrow \overrightarrow{IK} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AI} \Rightarrow K(1; - 1; - 1)$

Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường tròn $(C)$ , suy ra $(P)$ đi qua $K(1; - 1; - 1)$ và nhận $\overrightarrow{n} = \frac{1}{4}\overrightarrow{IA} = (0;1;0)$ làm VTPT.

Phương trình mặt phẳng $(P):y + 1 = 0$ .

Gọi $B^{'}$ là hình chiếu của $B$ lên $(P)$ , suy ra $B^{'}(2; - 1; - 1),KB^{'} = 1 < \sqrt{7} = MK \Rightarrow B^{'}$ nằm trong $(C)$ .

Ta có: $\overrightarrow{KB^{'}} = (1;0;0),\overrightarrow{B^{'}M} = (a - 2;b + 1;c + 1)$ .

Khi đó: $d(IA;BM) = KE \leq KB^{'} = 1$ .

$\Rightarrow d(IA;BM)_{\max} = 1 \Leftrightarrow KB^{'}\bot B^{'}M$

$\Rightarrow \overrightarrow{KB^{'}}.\overrightarrow{B^{'}M} = 0 \Leftrightarrow a - 2 = 0 \Leftrightarrow a = 2.$

Lại có: $M(a;b;c) \in (P) \Rightarrow b + 1 = 0 \Rightarrow b = - 1 \Rightarrow M(2; - 1;c)$ .

Mà $MK = \sqrt{7} \Leftrightarrow 1^{2} + 0^{2} + (c + 1)^{2} = 7 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = \sqrt{6} - 1 & (tm) \\ c = - \sqrt{6} - 1 & (\ \text{loại\ do~}c > 0) \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy $a + b + c = 2 - 1 + \sqrt{6} - 1 = \sqrt{6} \approx 2,45 \in \left( 2;\frac{5}{2} ight)$ .
Câu 44: Vận dụng cao
Tìm tất cả các giá trị nguyên của a thỏa mãn đề bài
Xét hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có $f( - 1) = - 5$ . Hàm số $y = f^{'}(x)$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; + \infty),f^{'}(4) = 0$ và $f^{'}( - 1) = a$ . Có bao nhiêu số nguyên $a \in ( - 100;0)$ sao cho ứng với mỗi $a$ , hàm số $y = \left| f(x) + \frac{5}{x^{2}} ight|$ có đúng 3 diểm cực trị thuộc khoảng $( - 1; + \infty)$ ?
- A.
  9.
- B.
  10.
- C.
  89.
- D.
  90.
Hướng dẫn:
Do hàm số $y = f'(x)$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ ; $f'(4) = 0;f'( - 1) = a$ nên ta có bảng biến thiên của các hàm số $y = f(x);y = f'(x)$ trên $( - 1; + \infty)$ như sau:

Xét hàm số $h(x) = f(x) + \frac{5}{x^{2}}$ trên $(0; + \infty)$

Ta có: $h'(x) = f'(x) - \frac{10}{x^{3}} = 0 \Rightarrow f'(x) = \frac{10}{x^{3}}\ \ \ (1)$

Xét hàm số $g(x) = \frac{10}{x^{3}}$ . Ta có: $g^{'}(x) = \frac{- 30}{x^{4}} < 0,\forall x \in \mathbb{R} \smallsetminus \{ 0\}$ .

Bảng biến thiên:

Dễ thấy rằng $g(x)$ nghịch biến trên $(0; + \infty)$ và $f^{'}(x)$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ nên phương trình
(1) có nghiệm duy nhất $x = \alpha$ trên $(4; + \infty)$ .

Bảng biến thiên hàm số $h(x)$ trên $(0; + \infty)$

Mặt khác $h(\alpha) = f(\alpha) + \frac{5}{\alpha^{2}} < - 5 + \frac{5}{\alpha^{2}} < 0$ do $\alpha > 4$ .

Khi đó hàm số $h(x) = f(x) + \frac{5}{x^{2}}$ có một điểm cực trị và hai nghiệm phân biệt trên $(0; + \infty)$ .

Nên để hàm số $y = \left| f(x) + \frac{5}{x^{2}} ight|$ có đúng 3 điểm cực trị thuộc khoảng $( - 1; + \infty)$ thì hàm số $h(x) = f(x) + \frac{5}{x^{2}}$ không có nghiệm hoặc điểm cực trị trên $( - 1;0)$ hay $a \geq - 10$ .

Mà $a$ là số nguyên và $a \in ( - 100;0)$ nên $a \in \{ - 10; - 9;\ldots; - 1\}$ .
Câu 45: Nhận biết
Xác định hàm số
Đồ thị của hàm số nào dưới đ̛ây có dạng như đường cong trong hình bên?
- A.
  $y = x^{3} + 3x^{2} - 1$ .
- B.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} + 3$ .
- C.
  $y = \frac{x - 2}{2x + 1}$ .
- D.
  $y = x^{4} - 2x^{2} - 4$ .
Hướng dẫn:
Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc ba dạng $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ với $a > 0$

Vậy hàm số cần tìm là $y = x^{3} + 3x^{2} - 1$ .
Câu 46: Nhận biết
Tìm chiều cao hình nón
Cho hình nón có bán kính đoáy $r = 3$ và độ dài đuờng sinh $l = 5$ . Chiều cao của hình nón đã cho bằng
- A.
  $\sqrt{34}$
- B.
  $2$
- C.
  $5$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Ta có: $h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$
Câu 47: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Với $a,b$ là hai số thực lớn hơn $1,\log_{ab}b$ bằng
- A.
  $\frac{1}{1 + \log_{b}a}$ .
- B.
  $1 + \log_{b}a$ .
- C.
  $1 - \log_{b}a$ .
- D.
  $\frac{1}{\log_{b}a}$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $\log_{ab}b = \frac{1}{\log_{b}ab} =\frac{1}{\log_{b}a + \log_{b}b} = \frac{1}{\log_{b}a + 1}$
Câu 48: Thông hiểu
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Cho hình chóp $S$ . $ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \sqrt{2}a$ . Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng
- A.
  $\frac{\sqrt{6}}{3}a$ .
- B.
  $\frac{\sqrt{10}}{5}a$ .
- C.
  $\frac{2\sqrt{10}}{5}a$ .
- D.
  $\frac{\sqrt{10}}{10}a$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $d\left( C;(SBD) ight) = d\left( A;(SBD) ight) = AH$

Khi đó:

$\dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{AO^{2}} +\dfrac{1}{SA^{2}} = \dfrac{1}{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} ight)^{2}} +\dfrac{1}{\left( a\sqrt{2} ight)^{2}}$

$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{10}}{5}$
Câu 49: Nhận biết
Giải phương trình
Nghiệm của phương trình $2^{2x} = 2^{x + 6}$ là:
- A.
  $x = 6$ .
- B.
  $x = 2$ .
- C.
  $x = - 6$ .
- D.
  $x = - 2$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $2^{2x} = 2^{x + 6} \Leftrightarrow 2x = x + 6 \Leftrightarrow x = 6$
Câu 50: Vận dụng
Xác định khoảng chứa giá trị biểu thức
Cho hàm số $y = f(x)$ có $f(e) = \frac{1}{5}$ và $f^{'}(x) = \frac{1}{3}\ln x,\forall x \in (0; +\infty)$ . Biết $\int_{e}^{e^{3}}\mspace{2mu}\frac{f(x)}{x^{2}}dx = ae^{- 3} + be^{- 1} + c$ , với $a,b,c$ là các số hữu tỉ, giá trị của $a - b + c$ thuộc khoảng nào dưới đây?
- A.
  $\left( \frac{1}{4};\frac{1}{2} ight)$
- B.
  $\left( \frac{3}{4};1 ight)$
- C.
  $\left( 0;\frac{1}{4} ight)$
- D.
  $\left( \frac{1}{2};\frac{3}{4} ight)$
Hướng dẫn:
Ta có $f(x) = \frac{1}{3}\int \ln xdx = \frac{1}{3}(x\ln x - \int dx) = \frac{1}{3}(x\ln x - x +C)$ .

Do $f(e) = \frac{1}{5} \Rightarrow C = \frac{3}{5}$ hay $f(x) = \frac{1}{3}\left( xlnx - x + \frac{3}{5} ight)$ .

Khi đó $f\left( e^{3} ight) = \frac{2e^{3}}{3} + \frac{1}{5}$ .

Ta có $\int_{e}^{e^{3}\mspace{2mu}}\mspace{2mu}\frac{f(x)}{x^{2}}dx = - \int_{e}^{3}\mspace{2mu} f(x)d\left( \frac{1}{x} ight) = -\left. \ \frac{1}{x}f(x) ight|_{e}^{e^{3}} +\int_{e}^{e^{3}}\mspace{2mu}\frac{f^{'}(x)}{x}dx$

$= - \left. \ \frac{1}{x}f(x)ight|_{e}^{e^{3}} +\frac{1}{3}\int_{e}^{3}\mspace{2mu}\frac{\ln x}{x}dx$

$= - \left. \ \frac{1}{x}f(x) ight|_{e}^{e^{3}} + \left. \ \frac{1}{6}\ln^{2}x ight|_{e}^{e^{3}}$

$= - \frac{1}{e^{3}}\left( \frac{2e^{3}}{3} + \frac{1}{5} ight) + \frac{1}{5e} + \frac{4}{3}$

$= - \frac{1}{5}e^{- 3} + \frac{1}{5}e^{- 1} + \frac{2}{3}$ .

Vậy $a = - \frac{1}{5};b = \frac{1}{5};c = \frac{2}{3} \Rightarrow a - b + c = \frac{4}{15}$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (46%):

2/3
Thông hiểu (34%):

2/3
Vận dụng (12%):

2/3
Vận dụng cao (8%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Khang Anh

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi Toán THPT Quốc gia năm 2024

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề thi các năm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Đề thi Toán THPT Quốc gia năm 2024

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đổi điểm làm bài

Đề thi các năm