Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP HCM năm 2012 - 2013

Câu 1:

Giải phương trình:

Câu 2:

Cho đa thức f(x) = ax³ + bx² + cx + d. với a là số nguyên dương, biết: f(5) – f(4) = 2012.

Chứng minh: f(7) – f(2) là hợp số.

Câu 3:

Cho ba số dương a; b và c thỏa a + b + c = 1. Tìm GTNN của:

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) có AC vuông góc BD tại H. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho: AM = 1/3 AB. Trên cạnh HC lấy trung điểm N. Chứng minh MH vuông góc với DN.

Câu 5:

Cho đường tròn tâm O và đường tròn tâm I cắt nhau tại hai điểm A và B(O và I khác phía đối với A và B). IB cắt (O) tại E: OB cắt (I) tại F. Qua B vẽ MN // EF( M thuộc (O) và N thuộc (I).

a) Chứng minh: Tứ giác OAIE nội tiếp.

b) Chứng minh: AE + AF = MN

Câu 6:

Trên mặt phẳng cho 2013 điểm tùy ý sao cho khi 3 điểm bất kỳ thì tồn tại 2 điểm mà khoảng cách giữa 2 điểm đó luôn bé hơn 1.

Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn có bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1007 điểm (kể cả biên)