Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Giải SBT Toán 9 bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Giải Toán 9 SBT bài 4

Bài trước

Tải về

Bài sau

Giải SBT Toán 9 bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương được VnDoc sưu tầm và đăng tải theo sát SBT Toán lớp 9. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn trả lời các câu hỏi trong sách bài tập Toán 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo

Giải bài tập Toán lớp 9 bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Ngoài ra, VnDoc.com đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Giải sách bài tập Toán 9 bài 4

Giải Toán 9: Giải bài 36 trang 10 sách bài tập Toán 9.
Giải Toán 9: Bài 37 trang 11 SBT Toán 9 tập 1
Giải Toán 9: Bài 38 trang 11 SBT Toán 9 tập 1
Giải Toán 9: Bài 39 trang 11 SBT Toán 9 tập 1
Giải Toán 9: Bài 40 trang 11 SBT Toán 9 tập 1
Giải Toán 9: Bài 41 trang 11 SBT Toán 9 tập 1
Giải Toán 9: Giải 42 trang 12 sách bài tập Toán 9
Giải Toán 9: Giải bài 43 trang 12 sách bài tập Toán 9
Giải Toán 9: Bài 44 trang 12 SBT Toán 9 tập 1
Giải Toán 9: Bài 45 trang 12 SBT Toán 9 tập 1
Giải Toán 9: Bài 46 trang 12 SBT Toán 9 tập 1
Giải Toán 9: Bài 4.1 phần bài tập bổ sung trang 12 SBT Toán 9 tập 1

Xem thêm

Giải Toán 9: Giải bài 36 trang 10 sách bài tập Toán 9.

Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:

LG câu a

$\displaystyle\sqrt {{9 \over {169}}};$ $\sqrt{\frac{9}{169}};$

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với $A \ge 0,B > 0$ $A \geq 0, B > 0$ thì $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle\sqrt {{9 \over {169}}} = {{\sqrt 9 } \over {\sqrt {169} }} = {3 \over {13}}$ $\sqrt{\frac{9}{169}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{169}} = \frac{3}{13}$

LG câu b

$\displaystyle\sqrt {{{25} \over {144}}} ;$ $\sqrt{\frac{25}{144}};$

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với $A \ge 0,B > 0$ $A \geq 0, B > 0$ thì $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle\sqrt {{{25} \over {144}}} = {{\sqrt {25} } \over {\sqrt {144} }} = {5 \over {12}}$ $\sqrt{\frac{25}{144}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{144}} = \frac{5}{12}$

LG câu c

$\displaystyle\sqrt {1{9 \over {16}}} ;$ $\sqrt{1 \frac{9}{16}};$

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với $A \ge 0,B > 0$ $A \geq 0, B > 0$ thì $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle\sqrt {1{9 \over {16}}} = \sqrt {{{25} \over {16}}} = {{\sqrt {25} } \over {\sqrt {16} }} = {5 \over 4}$ $\sqrt{1 \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}$

LG câu d

$\displaystyle\sqrt {2{7 \over {81}}} .$ $\sqrt{2 \frac{7}{81}} .$

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với $A \ge 0,B > 0$ $A \geq 0, B > 0$ thì $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle\sqrt {2{7 \over {81}}} = \sqrt {{{169} \over {81}}} = {{\sqrt {169} } \over {\sqrt {81} }} = {{13} \over 9}$ $\sqrt{2 \frac{7}{81}} = \sqrt{\frac{169}{81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{81}} = \frac{13}{9}$

Giải Toán 9: Bài 37 trang 11 SBT Toán 9 tập 1

Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính:

LG câu a

$\displaystyle{{\sqrt {2300} } \over {\sqrt {23} }}$ $\frac{\sqrt{2300}}{\sqrt{23}}$

Phương pháp giải:

Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:

Với $A \ge 0$ $A \geq 0$ và B > 0 ta có: $\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} = \sqrt {\dfrac{A}{B}}$ $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A}{B}}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle{{\sqrt {2300} } \over {\sqrt {23} }} = \sqrt {{{2300} \over {23}}} = \sqrt {100} = 10$ $\frac{\sqrt{2300}}{\sqrt{23}} = \sqrt{\frac{2300}{23}} = \sqrt{100} = 10$

LG câu b

$\displaystyle{{\sqrt {12,5} } \over {\sqrt {0,5} }}$ $\frac{\sqrt{12, 5}}{\sqrt{0, 5}}$

Phương pháp giải:

Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:

Với $A \ge 0$ $A \geq 0$ và B > 0 ta có: $\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} = \sqrt {\dfrac{A}{B}}$ $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A}{B}}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle{{\sqrt {12,5} } \over {\sqrt {0,5} }} = \sqrt {{{12,5} \over {0,5}}} = \sqrt {25} = 5$ $\frac{\sqrt{12, 5}}{\sqrt{0, 5}} = \sqrt{\frac{12, 5}{0, 5}} = \sqrt{25} = 5$

LG câu c

$\displaystyle{{\sqrt {192} } \over {\sqrt {12} }}$ $\frac{\sqrt{192}}{\sqrt{12}}$

Phương pháp giải:

Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:

Với $A \ge 0$ $A \geq 0$ và B > 0 ta có: $\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} = \sqrt {\dfrac{A}{B}}$ $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A}{B}}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle{{\sqrt {192} } \over {\sqrt {12} }} = \sqrt {{{192} \over {12}}} = \sqrt {16} = 4$ $\frac{\sqrt{192}}{\sqrt{12}} = \sqrt{\frac{192}{12}} = \sqrt{16} = 4$

LG câu d

$\displaystyle{{\sqrt 6 } \over {\sqrt {150} }}$ $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}}$

Phương pháp giải:

Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:

Với $A \ge 0$ $A \geq 0$ và B > 0 ta có: $\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} = \sqrt {\dfrac{A}{B}}$ $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A}{B}}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle{{\sqrt 6 } \over {\sqrt {150} }} = \sqrt {{6 \over {150}}} = \sqrt {{1 \over {25}}} = {1 \over 5}$ $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}} = \sqrt{\frac{6}{150}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$

Giải Toán 9: Bài 38 trang 11 SBT Toán 9 tập 1

Cho các biểu thức:

$A = \displaystyle\sqrt {{{2x + 3} \over {x - 3}}}$ $A = \sqrt{\frac{2 x + 3}{x - 3}}$ và $B = \displaystyle{{\sqrt {2x + 3} } \over {\sqrt {x - 3} }}$ $B = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{\sqrt{x - 3}}$

LG câu a

Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa .

Phương pháp giải:

Áp dụng:

$+\ Để\ \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $+ Đ ể \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ có nghĩa thì $A \ge 0$ $A \geq 0$ ;B > 0

$+\ Để\ \sqrt {\dfrac{A}{B}}$ $+ Đ ể \sqrt{\frac{A}{B}}$ có nghĩa ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1:

$\left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B > 0 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} A \geq 0 \\ B > 0 \end{cases}$

Trường hợp 2:

$\left\{ \begin{array}{l} A \le 0\\ B < 0 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} A \leq 0 \\ B < 0 \end{cases}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\displaystyle\sqrt {{{2x + 3} \over {x - 3}}}$ $\sqrt{\frac{2 x + 3}{x - 3}}$ có nghĩa khi và chỉ khi $\displaystyle{{2x + 3} \over {x - 3}} \ge 0$ $\frac{2 x + 3}{x - 3} \geq 0$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2x + 3 \ge 0\\ x - 3 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x \ge - 3\\ x > 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{{ - 3}}{2}\\ x > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3 \end{array}$ $\begin{array}{l} {\begin{matrix} 2 x + 3 \geq 0 \\ x - 3 > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x \geq - 3 \\ x > 3 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \geq \frac{- 3}{2} \\ x > 3 \end{matrix} \Leftrightarrow x > 3 \end{array}$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2x + 3 \le 0\\ x - 3 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x \le - 3\\ x < 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le \dfrac{{ - 3}}{2}\\ x < 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \le \dfrac{{ - 3}}{2} \end{array}$ $\begin{array}{l} {\begin{matrix} 2 x + 3 \leq 0 \\ x - 3 < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x \leq - 3 \\ x < 3 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \leq \frac{- 3}{2} \\ x < 3 \end{matrix} \Leftrightarrow x \leq \frac{- 3}{2} \end{array}$

Vậy với x > 3 hoặc $x \displaystyle \le \displaystyle - {3 \over 2}$ $x \leq - \frac{3}{2}$ thì biểu thức A có nghĩa.

Ta có: $\displaystyle{{\sqrt {2x + 3} } \over {\sqrt {x - 3} }}$ $\frac{\sqrt{2 x + 3}}{\sqrt{x - 3}}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

Vậy x > 3 thì biểu thức B có nghĩa.

LG câu b

Với giá trị nào của x thì A=B?

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả câu a và công thức $\sqrt{\dfrac{A}B}=\dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}$ $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ với $A\ge 0$ $A \geq 0$ , B>0.

Lời giải chi tiết:

Với x > 3 thì A và B đồng thời có nghĩa.

Khi đó: A=B

$\Leftrightarrow \displaystyle\sqrt {{{2x + 3} \over {x - 3}}} = \displaystyle{{\sqrt {2x + 3} } \over {\sqrt {x - 3} }}$ $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{2 x + 3}{x - 3}} = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{\sqrt{x - 3}}$ (luôn đúng)

Vậy với x > 3 thì A = B.

Giải Toán 9: Bài 39 trang 11 SBT Toán 9 tập 1

Đề bài

Biểu diễn $\sqrt {\dfrac{a}{b}}$ $\sqrt{\frac{a}{b}}$ với a < 0 và b < 0 ở dạng thương của hai căn thức.

Áp dụng tính $\sqrt {\dfrac{{ - 49}}{{ - 81}}} .$ $\sqrt{\frac{- 49}{- 81}} .$

Phương pháp giải

Áp dụng:

Với $A \ge 0,B > 0$ $A \geq 0, B > 0$ thì $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Chú ý:

Với A < 0;B < 0 thì $\dfrac{A}{B} > 0$ $\frac{A}{B} > 0$ nhưng $\sqrt {\dfrac{A}{B}}$ $\sqrt{\frac{A}{B}}$ không phân tích được bằng $\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Lời giải chi tiết

Ta có: a < 0 nên –a > 0; b < 0 nên $\displaystyle–b > 0$ $- b > 0$

$\displaystyle\sqrt {{a \over b}} = \sqrt {{{ - a} \over { - b}}} = {{\sqrt { - a} } \over {\sqrt { - b} }}$ $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{- a}{- b}} = \frac{\sqrt{- a}}{\sqrt{- b}}$

Áp dụng: $\displaystyle\sqrt {{{ - 49} \over { - 81}}} = {{\sqrt {49} } \over {\sqrt {81} }} = {7 \over 9}$ $\sqrt{\frac{- 49}{- 81}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}} = \frac{7}{9}$

Giải Toán 9: Bài 40 trang 11 SBT Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức:

LG câu a

$\displaystyle{{\sqrt {63{y^3}} } \over {\sqrt {7y} }} (y>0);$ $\frac{\sqrt{63 y^{3}}}{\sqrt{7 y}} (y > 0);$

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với $A \ge 0,B > 0$ $A \geq 0, B > 0$ thì $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

$\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Với $A \ge 0$ $A \geq 0$ thì $\left| A \right| = A$ $| A | = A$

Với A < 0 thì $\left| A \right| = - A.$ $| A | = - A .$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & {{\sqrt {63{y^3}} } \over {\sqrt {7y} }} = \sqrt {{{63{y^3}} \over {7y}}} = \sqrt {9{y^2}} \cr & = \sqrt 9 .\sqrt {{y^2}} = 3.\left| y \right| = 3y \,(y>0)\cr}$ $\begin{aligned} \frac{\sqrt{63 y^{3}}}{\sqrt{7 y}} = \sqrt{\frac{63 y^{3}}{7 y}} = \sqrt{9 y^{2}} \\ = \sqrt{9} . \sqrt{y^{2}} = 3. | y | = 3 y (y > 0) \end{aligned}$

LG câu b

$\displaystyle{{\sqrt {48{x^3}} } \over {\sqrt {3{x^5}} }} (x > 0);$ $\frac{\sqrt{48 x^{3}}}{\sqrt{3 x^{5}}} (x > 0);$

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với $A \ge 0,B > 0$ $A \geq 0, B > 0$ thì $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

$\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Với $A \ge 0$ $A \geq 0$ thì $\left| A \right| = A$ $| A | = A$

Với A < 0 thì $\left| A \right| = - A.$ $| A | = - A .$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & {{\sqrt {48{x^3}} } \over {\sqrt {3{x^5}} }} = \sqrt {{{48{x^3}} \over {3{x^5}}}} \cr & = \sqrt {{{16} \over {{x^2}}}} = {\sqrt {16} \over \sqrt {x^2}} \cr&= {4 \over {\left| x \right|}} = {4 \over x}\,(x > 0) \cr}$ $\begin{aligned} \frac{\sqrt{48 x^{3}}}{\sqrt{3 x^{5}}} = \sqrt{\frac{48 x^{3}}{3 x^{5}}} \\ = \sqrt{\frac{16}{x^{2}}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^{2}}} \\ = \frac{4}{| x |} = \frac{4}{x} (x > 0) \end{aligned}$

LG câu c

$\displaystyle{{\sqrt {45m{n^2}} } \over {\sqrt {20m} }}$ $\frac{\sqrt{45 m n^{2}}}{\sqrt{20 m}}$ (m > 0 và n > 0);

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với $A \ge 0,B > 0$ $A \geq 0, B > 0$ thì $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

$\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Với $A \ge 0$ $A \geq 0$ thì $\left| A \right| = A$ $| A | = A$

Với A < 0 thì $\left| A \right| = - A.$ $| A | = - A .$

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & {{\sqrt {45m{n^2}} } \over {\sqrt {20m} }} = \sqrt {{{45m{n^2}} \over {20m}}} \cr & = \sqrt {{{9{n^2}} \over 4}} = {{\sqrt {9{n^2}} } \over {\sqrt 4 }}\cr &= {{3\left| n \right|} \over 2} = {{3n} \over 2}\, (m > 0 ; n > 0)\cr}$ $\begin{aligned} \frac{\sqrt{45 m n^{2}}}{\sqrt{20 m}} = \sqrt{\frac{45 m n^{2}}{20 m}} \\ = \sqrt{\frac{9 n^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{9 n^{2}}}{\sqrt{4}} \\ = \frac{3 | n |}{2} = \frac{3 n}{2} (m > 0; n > 0) \end{aligned}$

LG câu d

$\displaystyle{{\sqrt {16{a^4}{b^6}} } \over {\sqrt {128{a^6}{b^6}} }}$ $\frac{\sqrt{16 a^{4} b^{6}}}{\sqrt{128 a^{6} b^{6}}}$ (a < 0 và b ≠ 0).

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với $A \ge 0,B > 0$ $A \geq 0, B > 0$ thì $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

$\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Với $A \ge 0$ $A \geq 0$ thì $\left| A \right| = A$ $| A | = A$

Với A < 0 thì $\left| A \right| = - A.$ $| A | = - A .$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle {{\sqrt {16{a^4}{b^6}} } \over {\sqrt {128{a^6}{b^6}} }} = \sqrt {{{16{a^4}{b^6}} \over {128{a^6}{b^6}}}} = \sqrt {{1 \over {8{a^2}}}} \displaystyle = {{\sqrt 1 } \over {\sqrt {4.{a^2}.2} }} \displaystyle = {1 \over {\sqrt 4.\sqrt {a^2}.\sqrt 2 }} \displaystyle = {1 \over {2\left| a \right|\sqrt 2 }} = {{ - 1} \over {2a\sqrt 2 }}$ $\frac{\sqrt{16 a^{4} b^{6}}}{\sqrt{128 a^{6} b^{6}}} = \sqrt{\frac{16 a^{4} b^{6}}{128 a^{6} b^{6}}} = \sqrt{\frac{1}{8 a^{2}}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4. a^{2} .2}} = \frac{1}{\sqrt{4} . \sqrt{a^{2}} . \sqrt{2}} = \frac{1}{2 | a | \sqrt{2}} = \frac{- 1}{2 a \sqrt{2}}$

( $\displaystyle a < 0$ $a < 0$ và $\displaystyle b ≠0$ $b \neq 0$ )

Giải Toán 9: Bài 41 trang 11 SBT Toán 9 tập 1

Rút gọn các biểu thức:

LG câu a

$\sqrt {\dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} (x ≥ 0);$ $\sqrt{\frac{x - 2 \sqrt{x} + 1}{x + 2 \sqrt{x} + 1}} (x \geq 0);$

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với $A \ge 0$ $A \geq 0$ thì $A = \sqrt {{A^2}}$ $A = \sqrt{A^{2}}$

Và $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Với $A \ge 0$ $A \geq 0$ thì $\left| A \right| = A$ $| A | = A$

với A < 0 thì $\left| A \right| = - A.$ $| A | = - A .$

Hằng đẳng thức cần sử dụng:

${(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

${(A + B)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ $(A + B)^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2}$

Lời giải chi tiết:

Vì x ≥ 0 nên $x = {\left( {\sqrt x } \right)^2}$ $x = {(\sqrt{x})}^{2}$

Ta có:

$\displaystyle\eqalign{ & \sqrt {{{x - 2\sqrt x + 1} \over {x + 2\sqrt x + 1}}} \cr & = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x + 1} \over {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + 2\sqrt x + 1}}} \cr & = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \cr} \displaystyle \displaystyle= {{\sqrt {{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {\sqrt x - 1} \right|}}{{\left| {\sqrt x + 1} \right|}} = \dfrac{{\left| {\sqrt x - 1} \right|}}{{\sqrt x + 1}}$ $\begin{aligned} \sqrt{\frac{x - 2 \sqrt{x} + 1}{x + 2 \sqrt{x} + 1}} \\ = \sqrt{\frac{{(\sqrt{x})}^{2} - 2 \sqrt{x} + 1}{{(\sqrt{x})}^{2} + 2 \sqrt{x} + 1}} \\ = \sqrt{\frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}}} \end{aligned} = \frac{\sqrt{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}}{\sqrt{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}}} = \frac{| \sqrt{x} - 1 |}{| \sqrt{x} + 1 |} = \frac{| \sqrt{x} - 1 |}{\sqrt{x} + 1}$

+) Nếu $\displaystyle\sqrt x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$ $\sqrt{x} - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$ thì $\displaystyle\left| {\sqrt x - 1} \right| = \sqrt x - 1$ $| \sqrt{x} - 1 | = \sqrt{x} - 1$

Ta có: $\displaystyle{{\left| {\sqrt x - 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}} = {{\sqrt x - 1} \over {\sqrt x + 1}}$ $\frac{| \sqrt{x} - 1 |}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$ (với x ≥ 1)

+) Nếu $\displaystyle\sqrt x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1$ $\sqrt{x} - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1$ thì $\displaystyle\left| {\sqrt x - 1} \right| = 1 - \sqrt x$ $| \sqrt{x} - 1 | = 1 - \sqrt{x}$

Ta có:

$\displaystyle{{\left| {\sqrt x - 1} \right|} \over {\sqrt x + 1}} = {{1 - \sqrt x } \over {\sqrt x + 1}}$ $\frac{| \sqrt{x} - 1 |}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$ (với 0 ≤ x < 1)

LG câu b

$\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt y - 1}}\sqrt {\dfrac{{y - 2\sqrt y + 1}}{{{{(x - 1)}^4}}}}$ $\frac{x - 1}{\sqrt{y} - 1} \sqrt{\frac{y - 2 \sqrt{y} + 1}{{(x - 1)}^{4}}}$ (x ≠1, y ≠ 1 và y ≥ 0).

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với $A \ge 0$ $A \geq 0$ thì $A = \sqrt {{A^2}}$ $A = \sqrt{A^{2}}$

Và $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Với $A \ge 0$ $A \geq 0$ thì $\left| A \right| = A$ $| A | = A$

với A < 0 thì $\left| A \right| = - A.$ $| A | = - A .$

Hằng đẳng thức cần sử dụng:

${(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

Lời giải chi tiết:

Vì y ≥ 0 nên $y = {\left( {\sqrt y } \right)^2}$ $y = {(\sqrt{y})}^{2}$

Ta có:

$\displaystyle\eqalign{ & {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}\sqrt {{{{{ {y - 2\sqrt y + 1} }}} \over {{{(x - 1)}^4}}}} \cr & = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}{{\sqrt {{{\left( \sqrt y - 1 \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{(x - 1)}^4}} }} \cr} \displaystyle\eqalign{& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}.{{\left| \sqrt y-1 \right|} \over {{{(x - 1)}^2}}} \cr & = { {\left| \sqrt y-1 \right|} \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}} \cr}$ $\begin{aligned} \frac{x - 1}{\sqrt{y} - 1} \sqrt{\frac{y - 2 \sqrt{y} + 1}{{(x - 1)}^{4}}} \\ = \frac{x - 1}{\sqrt{y} - 1} \frac{\sqrt{{(\sqrt{y} - 1)}^{2}}}{\sqrt{{(x - 1)}^{4}}} \end{aligned} \begin{aligned} = \frac{x - 1}{\sqrt{y} - 1} . \frac{| \sqrt{y} - 1 |}{{(x - 1)}^{2}} \\ = \frac{| \sqrt{y} - 1 |}{(\sqrt{y} - 1) . (x - 1)} \end{aligned}$

+) Nếu y>1

Ta có $\displaystyle\left| \sqrt y-1 \right|=\sqrt y-1$ $| \sqrt{y} - 1 | = \sqrt{y} - 1$ nên:

$\displaystyle { {\left| \sqrt y-1 \right|} \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}} = { { \sqrt y-1 } \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}} =\dfrac {1}{x-1}$ $\frac{| \sqrt{y} - 1 |}{(\sqrt{y} - 1) . (x - 1)} = \frac{\sqrt{y} - 1}{(\sqrt{y} - 1) . (x - 1)} = \frac{1}{x - 1}$

+) Nếu $0 \le y < 1$ $0 \leq y < 1$

Ta có $\left| {\sqrt y - 1} \right| = -( \sqrt y -1)$ $| \sqrt{y} - 1 | = - (\sqrt{y} - 1)$ nên:

$\displaystyle { {\left| \sqrt y-1 \right|} \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}} = { { -(\sqrt y-1) } \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}}= \dfrac{{ - 1}}{{x - 1}}$ $\frac{| \sqrt{y} - 1 |}{(\sqrt{y} - 1) . (x - 1)} = \frac{- (\sqrt{y} - 1)}{(\sqrt{y} - 1) . (x - 1)} = \frac{- 1}{x - 1}$

Giải Toán 9: Giải 42 trang 12 sách bài tập Toán 9

Rút gọn biểu thức với điều kiện đã cho của x rồi tính giá trị của nó:

LG câu a

$\displaystyle\sqrt {{{{{(x - 2)}^4}} \over {{{(3 - x)}^2}}}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} (x < 3);$ $\sqrt{\frac{{(x - 2)}^{4}}{{(3 - x)}^{2}}} + \frac{x^{2} - 1}{x - 3} (x < 3);$ tại $x = 0, 5;$

Phương pháp giải:

Sử dụng $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Với $A \ge 0$ $A \geq 0$ thì $\left| A \right| = A$ $| A | = A$

với A < 0 thì $\left| A \right| = - A.$ $| A | = - A .$

Với $A \ge 0,B > 0$ $A \geq 0, B > 0$ thì $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\displaystyle\eqalign{ & \sqrt {{{{{(x - 2)}^4}} \over {{{(3 - x)}^2}}}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr & = {{\sqrt {{{(x - 2)}^4}} } \over {\sqrt {{{(3 - x)}^2}} }} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr & = {{{{(x - 2)}^2}} \over {\left| {3 - x} \right|}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr}$ $\begin{aligned} \sqrt{\frac{{(x - 2)}^{4}}{{(3 - x)}^{2}}} + \frac{x^{2} - 1}{x - 3} \\ = \frac{\sqrt{{(x - 2)}^{4}}}{\sqrt{{(3 - x)}^{2}}} + \frac{x^{2} - 1}{x - 3} \\ = \frac{{(x - 2)}^{2}}{| 3 - x |} + \frac{x^{2} - 1}{x - 3} \end{aligned}$

$\displaystyle\eqalign{ & = {{{x^2} - 4x + 4} \over {3 - x}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr & = {{ - {x^2} + 4x - 4} \over {x - 3}} + {{{x^2} - 1} \over {x - 3}} \cr& = {{ - {x^2} + 4x - 4+x^2-1} \over {x - 3}} \cr}$ $\begin{aligned} = \frac{x^{2} - 4 x + 4}{3 - x} + \frac{x^{2} - 1}{x - 3} \\ = \frac{- x^{2} + 4 x - 4}{x - 3} + \frac{x^{2} - 1}{x - 3} \\ = \frac{- x^{2} + 4 x - 4 + x^{2} - 1}{x - 3} \end{aligned}$

$\displaystyle = {{4x - 5} \over {x - 3}} (x<3)$ $= \frac{4 x - 5}{x - 3} (x < 3)$

Với x = 0,5 ta có:

$\displaystyle\eqalign{ & {{4.0,5 - 5} \over {0,5 - 3}} = {{ - 3} \over { - 2,5}} \cr & = {3 \over {2,5}} = {6 \over 5} = 1,2 \cr}$ $\begin{aligned} \frac{4.0, 5 - 5}{0, 5 - 3} = \frac{- 3}{- 2, 5} \\ = \frac{3}{2, 5} = \frac{6}{5} = 1, 2 \end{aligned}$

LG câu b

$\displaystyle4x - \sqrt 8 + {{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} } \over {\sqrt {x + 2} }} (x > -2);$ $4 x - \sqrt{8} + \frac{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}{\sqrt{x + 2}} (x > - 2);$ tại $x =\displaystyle - \sqrt 2$ $x = - \sqrt{2}$

Phương pháp giải:

Sử dụng $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ $\sqrt{A^{2}} = | A |$

Với $A \ge 0$ $A \geq 0$ thì $\left| A \right| = A$ $| A | = A$

với A < 0 thì $\left| A \right| = - A.$ $| A | = - A .$

Với $A \ge 0,B > 0$ $A \geq 0, B > 0$ thì $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Lời giải chi tiết:

Với x > -2, ta có:

$\displaystyle\eqalign{ & 4x - \sqrt 8 + {{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} } \over {\sqrt {x + 2} }} \cr & = 4x - \sqrt 8 + \sqrt {{{{x^3} + 2{x^2}} \over {x + 2}}} \cr}$ $\begin{aligned} 4 x - \sqrt{8} + \frac{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}}}{\sqrt{x + 2}} \\ = 4 x - \sqrt{8} + \sqrt{\frac{x^{3} + 2 x^{2}}{x + 2}} \end{aligned}$

$\displaystyle\eqalign{ & = 4x - \sqrt 8 + \sqrt {{{{x^2}(x + 2)} \over {x + 2}}} \cr & = 4x - \sqrt 8 + \sqrt {{x^2}} \cr & = 4x - \sqrt 8 + \left| x \right| \cr}$ $\begin{aligned} = 4 x - \sqrt{8} + \sqrt{\frac{x^{2} (x + 2)}{x + 2}} \\ = 4 x - \sqrt{8} + \sqrt{x^{2}} \\ = 4 x - \sqrt{8} + | x | \end{aligned}$

+) Nếu $x \ge 0$ $x \geq 0$ thì $\displaystyle\left| x \right| = x$ $| x | = x$

Ta có:

$\displaystyle\eqalign{ & 4x - \sqrt 8 + \left| x \right| \cr & = 4x - \sqrt 8 + x = 5x - \sqrt 8 \cr}$ $\begin{aligned} 4 x - \sqrt{8} + | x | \\ = 4 x - \sqrt{8} + x = 5 x - \sqrt{8} \end{aligned}$

+) Nếu -2 < x < 0 thì $\displaystyle\left| x \right| = - x$ $| x | = - x$

Ta có:

$\displaystyle4x - \sqrt 8 + \left| x \right| = 4x - \sqrt 8 - x = 3x - \sqrt 8$ $4 x - \sqrt{8} + | x | = 4 x - \sqrt{8} - x = 3 x - \sqrt{8}$

Với $x = - \sqrt 2 <0$ $x = - \sqrt{2} < 0$ ta có: $\displaystyle3\left( { - \sqrt 2 } \right) - \sqrt 8 = - 3\sqrt 2 - 2\sqrt 2 = - 5\sqrt 2$ $3 (- \sqrt{2}) - \sqrt{8} = - 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = - 5 \sqrt{2}$

Giải Toán 9: Giải bài 43 trang 12 sách bài tập Toán 9

Tìm x thỏa mãn điều kiện

LG câu a

$\displaystyle\sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} = 2$ $\sqrt{\frac{2 x - 3}{x - 1}} = 2$

Phương pháp giải:

Áp dụng với ${\rm{A}} \ge {\rm{0; B}} \ge {\rm{0}}$ $A \geq 0; B \geq 0$ thì $\sqrt A = B \Leftrightarrow A = {B^2}$ $\sqrt{A} = B \Leftrightarrow A = B^{2}$

Để $\sqrt {\dfrac{A}{B}}$ $\sqrt{\frac{A}{B}}$ có nghĩa ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1:

$\left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B > 0 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} A \geq 0 \\ B > 0 \end{cases}$

Trường hợp 2:

$\left\{ \begin{array}{l} A \le 0\\ B < 0 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} A \leq 0 \\ B < 0 \end{cases}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\displaystyle\sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}}$ $\sqrt{\frac{2 x - 3}{x - 1}}$ xác định khi và chỉ khi $\displaystyle{{2x - 3} \over {x - 1}} \ge 0$ $\frac{2 x - 3}{x - 1} \geq 0$

Trường hợp 1:

$\displaystyle\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 3 \ge 0 \hfill \cr x - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \ge 3 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1,5 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr}$ $\begin{aligned} {\begin{matrix} 2 x - 3 \geq 0 \\ x - 1 > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x \geq 3 \\ x > 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \geq 1, 5 \\ x > 1 \end{matrix} \Leftrightarrow x \geq 1, 5 \end{aligned}$

Trường hợp 2:

$\displaystyle\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 3 \le 0 \hfill \cr x - 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \le 3 \hfill \cr x < 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le 1,5 \hfill \cr x < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < 1 \cr}$ $\begin{aligned} {\begin{matrix} 2 x - 3 \leq 0 \\ x - 1 < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 x \leq 3 \\ x < 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \leq 1, 5 \\ x < 1 \end{matrix} \Leftrightarrow x < 1 \end{aligned}$

Với x ≥ 1,5 hoặc x < 1 ta có:

$\displaystyle\eqalign{ & \sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} = 2 \Leftrightarrow {{2x - 3} \over {x - 1}} = 4 \cr & \Rightarrow 2x - 3 = 4(x - 1) \cr}$ $\begin{aligned} \sqrt{\frac{2 x - 3}{x - 1}} = 2 \Leftrightarrow \frac{2 x - 3}{x - 1} = 4 \\ \Rightarrow 2 x - 3 = 4 (x - 1) \end{aligned}$

$\displaystyle\eqalign{ & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 \cr & \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr}$ $\begin{aligned} \Leftrightarrow 2 x - 3 = 4 x - 4 \\ \Leftrightarrow 2 x = 1 \Leftrightarrow x = 0, 5 \end{aligned}$

Giá trị x = 0,5 thỏa mãn điều kiện x < 1.

LG câu b

$\displaystyle{{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2$ $\frac{\sqrt{2 x - 3}}{\sqrt{x - 1}} = 2$

Phương pháp giải:

Áp dụng với ${\rm{A}} \ge {\rm{0; B}} \ge {\rm{0}}$ $A \geq 0; B \geq 0$ thì $\sqrt A = B \Leftrightarrow A = {B^2}$ $\sqrt{A} = B \Leftrightarrow A = B^{2}$

Để $\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ có nghĩa thì $A \ge 0;B > 0.$ $A \geq 0; B > 0.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\displaystyle{{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }}$ $\frac{\sqrt{2 x - 3}}{\sqrt{x - 1}}$ xác định khi và chỉ khi:

Với x ≥ 1,5 ta có:

$\displaystyle\eqalign{ & {{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2 \Leftrightarrow {{2x - 3} \over {x - 1}} = 4 \cr & \Rightarrow 2x - 3 = 4(x - 1) \cr} \displaystyle\eqalign{ & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 \cr & \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr}$ $\begin{aligned} \frac{\sqrt{2 x - 3}}{\sqrt{x - 1}} = 2 \Leftrightarrow \frac{2 x - 3}{x - 1} = 4 \\ \Rightarrow 2 x - 3 = 4 (x - 1) \end{aligned} \begin{aligned} \Leftrightarrow 2 x - 3 = 4 x - 4 \\ \Leftrightarrow 2 x = 1 \Leftrightarrow x = 0, 5 \end{aligned}$

Giá trị x = 0,5 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để $\displaystyle{{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2$ $\frac{\sqrt{2 x - 3}}{\sqrt{x - 1}} = 2$

LG câu c

$\displaystyle\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3$ $\sqrt{\frac{4 x + 3}{x + 1}} = 3$

Phương pháp giải:

Áp dụng với ${\rm{A}} \ge {\rm{0; B}} \ge {\rm{0}}$ $A \geq 0; B \geq 0$ thì $\sqrt A = B \Leftrightarrow A = {B^2}$ $\sqrt{A} = B \Leftrightarrow A = B^{2}$

Để $\sqrt {\dfrac{A}{B}}$ $\sqrt{\frac{A}{B}}$ có nghĩa ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1:

$\left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B > 0 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} A \geq 0 \\ B > 0 \end{cases}$

Trường hợp 2:

$\left\{ \begin{array}{l} A \le 0\\ B < 0 \end{array} \right.$ ${\begin{cases} A \leq 0 \\ B < 0 \end{cases}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\displaystyle\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}}$ $\sqrt{\frac{4 x + 3}{x + 1}}$ xác định khi và chỉ khi $\displaystyle{{4x + 3} \over {x + 1}} \ge 0$ $\frac{4 x + 3}{x + 1} \geq 0$

Trường hợp 1:

$\displaystyle\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 4x + 3 \ge 0 \hfill \cr x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x \ge - 3 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 0,75 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - 0,75 \cr}$ $\begin{aligned} {\begin{matrix} 4 x + 3 \geq 0 \\ x + 1 > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 4 x \geq - 3 \\ x > - 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \geq - 0, 75 \\ x > - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow x \geq - 0, 75 \end{aligned}$

Trường hợp 2:

$\displaystyle\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 4x + 3 \le 0 \hfill \cr x + 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x \le - 3 \hfill \cr x < - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 0,75 \hfill \cr x < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 1 \cr}$ $\begin{aligned} {\begin{matrix} 4 x + 3 \leq 0 \\ x + 1 < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 4 x \leq - 3 \\ x < - 1 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \geq - 0, 75 \\ x < - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow x < - 1 \end{aligned}$

Với x ≥ -0,75 hoặc x < -1 ta có:

$\displaystyle\eqalign{ & \sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr & \Rightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr}$ $\begin{aligned} \sqrt{\frac{4 x + 3}{x + 1}} = 3 \Leftrightarrow \frac{4 x + 3}{x + 1} = 9 \\ \Rightarrow 4 x + 3 = 9 (x + 1) \end{aligned}$

$\displaystyle\eqalign{ & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr & \Leftrightarrow 5x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1,2 \cr}$ $\begin{aligned} \Leftrightarrow 4 x + 3 = 9 x + 9 \\ \Leftrightarrow 5 x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1, 2 \end{aligned}$

Giá trị x = -1,2 thỏa mãn điều kiện x < -1.

LG câu d

$\displaystyle{{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.$ $\frac{\sqrt{4 x + 3}}{\sqrt{x + 1}} = 3.$

Phương pháp giải:

Áp dụng với $A\geq 0; B\geq 0$ $A \geq 0; B \geq 0$ thì $\sqrt A = B \Leftrightarrow A = {B^2}$ $\sqrt{A} = B \Leftrightarrow A = B^{2}$

Để $\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ có nghĩa thì ${\rm{A}} \ge {\rm{0; B}} \ge {\rm{0}}$ $A \geq 0; B \geq 0$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\displaystyle{{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }}$ $\frac{\sqrt{4 x + 3}}{\sqrt{x + 1}}$ xác định khi và chỉ khi:

Với x ≥ -0,75 ta có:

$\displaystyle\eqalign{ & {{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr & \Rightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr}$ $\begin{aligned} \frac{\sqrt{4 x + 3}}{\sqrt{x + 1}} = 3 \Leftrightarrow \frac{4 x + 3}{x + 1} = 9 \\ \Rightarrow 4 x + 3 = 9 (x + 1) \end{aligned}$

$\displaystyle\eqalign{ & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr & \Leftrightarrow 5x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1,2\,\text{(không thỏa mãn)} \cr}$ $\begin{aligned} \Leftrightarrow 4 x + 3 = 9 x + 9 \\ \Leftrightarrow 5 x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1, 2 (không thỏa mãn) \end{aligned}$

Vậy không có giá trị nào của x để $\displaystyle{{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.$ $\frac{\sqrt{4 x + 3}}{\sqrt{x + 1}} = 3.$

Giải Toán 9: Bài 44 trang 12 SBT Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hai số a, b không âm. Chứng minh:

$\displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab}$ $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$

(Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm).

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức:

${(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$ $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Với ${\rm{A}} \ge {\rm{0}}$ $A \geq 0$ thì $A = \sqrt {{A^2}}$ $A = \sqrt{A^{2}}$

Lời giải chi tiết

Vì a ≥ 0 nên $\displaystyle\sqrt a$ $\sqrt{a}$ xác định, b ≥ 0 nên $\sqrt{b}$ $\sqrt{b}$ xác định

Ta có:

$\displaystyle\eqalign{ & {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \cr}$ $\begin{aligned} {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0 \end{aligned}$

$\displaystyle \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab}$ $\Leftrightarrow a + b \geq 2 \sqrt{a b} \Leftrightarrow \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.

Giải Toán 9: Bài 45 trang 12 SBT Toán 9 tập 1

Đề bài

Với $a\ge0,b\ge0$ $a \geq 0, b \geq 0$ , chứng minh

Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng minh

$\displaystyle\sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2}.$ $\sqrt{\frac{a + b}{2}} \geq \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2} .$

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức:

${(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$ $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Với ${\rm{A}} \ge {\rm{0}}$ $A \geq 0$ thì $A = \sqrt {{A^2}}$ $A = \sqrt{A^{2}}$

Lời giải chi tiết

Vì a ≥ 0 nên $\sqrt a$ $\sqrt{a}$ xác định, $b \geq 0$ nên $\sqrt b$ $\sqrt{b}$ xác định.

Ta có:

${\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0$ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$

$\Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab}$ $\Leftrightarrow a + b \geq 2 \sqrt{a b}$

$\Leftrightarrow a + b + a + b \ge a + b + 2\sqrt {ab}$ $\Leftrightarrow a + b + a + b \geq a + b + 2 \sqrt{a b}$

$\Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a } \right)^2} + 2\sqrt {ab} + {\left( {\sqrt b } \right)^2}$ $\Leftrightarrow 2 (a + b) \geq {(\sqrt{a})}^{2} + 2 \sqrt{a b} + {(\sqrt{b})}^{2}$

$\Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2}$ $\Leftrightarrow 2 (a + b) \geq {(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2}$
$\displaystyle \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4}$ $\Leftrightarrow \frac{a + b}{2} \geq \frac{{(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2}}{4}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge \sqrt {{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4}}$ $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a + b}{2}} \geq \sqrt{\frac{{(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2}}{4}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a + b}{2}} \geq \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2}$

Giải Toán 9: Bài 46 trang 12 SBT Toán 9 tập 1

Đề bài

Với a dương, chứng minh:

Phương pháp giải

Cách 1: Sử dụng hằng đẳng thức:

${(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$ $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm a, b:

$\dfrac{{a + b}}{2} \ge 2\sqrt {ab} .$ $\frac{a + b}{2} \geq 2 \sqrt{a b} .$

Lời giải chi tiết

Cách 1: Với a dương, ta có:

$\eqalign{ & {\left( {\sqrt a - {1 \over {\sqrt a }}} \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow a - 2\sqrt a .{1 \over {\sqrt a }} + {1 \over a} \ge 0 \cr} \Leftrightarrow a - 2 + \dfrac{1}{a} \ge 0 \Leftrightarrow a + \dfrac{1}{a} \ge 2$ $\begin{aligned} {(\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}})}^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow a - 2 \sqrt{a} . \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{a} \geq 0 \end{aligned} \Leftrightarrow a - 2 + \frac{1}{a} \geq 0 \Leftrightarrow a + \frac{1}{a} \geq 2$

Cách 2:

Ta có: $a > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{a} > 0$ $a > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số dương a và $\dfrac{1}{a}:$ $\frac{1}{a} :$

$\begin{array}{l} a + \dfrac{1}{a} \ge 2\sqrt {a.\dfrac{1}{a}} \\ \Leftrightarrow a + \dfrac{1}{a} \ge 2 \end{array}$ $\begin{array}{l} a + \frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{a . \frac{1}{a}} \\ \Leftrightarrow a + \frac{1}{a} \geq 2 \end{array}$

Dấu "=" xảy ra khi $a = \dfrac{1}{a}.$ $a = \frac{1}{a} .$

Giải Toán 9: Bài 4.1 phần bài tập bổ sung trang 12 SBT Toán 9 tập 1

Đề bài

Giá trị của $\sqrt {\dfrac{{49}}{{0,09}}}$ $\sqrt{\frac{49}{0, 09}}$ bằng

$(A)\ \frac{7}{3};$ $(A) \frac{7}{3};$

$(B)\ \frac{70}{3};$ $(B) \frac{70}{3};$

$(C)\ \dfrac{7}{{30}};$ $(C) \frac{7}{30};$

$(D)\ \dfrac{{700}}{3}.$ $(D) \frac{700}{3} .$

Hãy chọn đáp án đúng.

Phương pháp giải

Với $A \ge 0,B > 0$ $A \geq 0, B > 0$ thì $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Với ${\rm{A}} \ge {\rm{0}}$ $A \geq 0$ thì $A = \sqrt {{A^2}} .$ $A = \sqrt{A^{2}} .$

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l} \sqrt {\dfrac{{49}}{{0,09}}} = \sqrt {\dfrac{{{7^2}}}{{0,{3^2}}}} \\ = \dfrac{{\sqrt {{7^2}} }}{{\sqrt {0,{3^2}} }} = \dfrac{7}{{0,3}}\\ = \dfrac{{70}}{3} \end{array}.$ $\begin{array}{l} \sqrt{\frac{49}{0, 09}} = \sqrt{\frac{7^{2}}{0, 3^{2}}} \\ = \frac{\sqrt{7^{2}}}{\sqrt{0, 3^{2}}} = \frac{7}{0, 3} \\ = \frac{70}{3} \end{array} .$

Chọn (B).

Trên đây VnDoc đã chia sẻ Giải SBT Toán 9 bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Hy vọng với tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn học sinh tham khảo, chuẩn bị cho bài giảng sắp tới tốt hơn

.........................................

Ngoài Giải SBT Toán 9 bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo thêm Giải bài tập Toán lớp 9, Giải vở bài tập Toán 9, soạn bài 9 hoặc đề thi học học kì 1 lớp 9, đề thi học học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi học kì 2 lớp 9 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tốt

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

654

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Đinh Thị Nhàn

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!