Giải SBT Toán 9 bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

LG câu a

\(\displaystyle\sqrt {{9 \over {169}}};\)

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với \(A \ge 0,B > 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle\sqrt {{9 \over {169}}} = {{\sqrt 9 } \over {\sqrt {169} }} = {3 \over {13}}\)

LG câu b

\(\displaystyle\sqrt {{{25} \over {144}}} ;\)

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với \(A \ge 0,B > 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle\sqrt {{{25} \over {144}}} = {{\sqrt {25} } \over {\sqrt {144} }} = {5 \over {12}}\)

LG câu c

\(\displaystyle\sqrt {1{9 \over {16}}} ;\)

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với \(A \ge 0,B > 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle\sqrt {1{9 \over {16}}} = \sqrt {{{25} \over {16}}} = {{\sqrt {25} } \over {\sqrt {16} }} = {5 \over 4}\)

LG câu d

\(\displaystyle\sqrt {2{7 \over {81}}} .\)

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với \(A \ge 0,B > 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle\sqrt {2{7 \over {81}}} = \sqrt {{{169} \over {81}}} = {{\sqrt {169} } \over {\sqrt {81} }} = {{13} \over 9}\)

LG câu b

\(\displaystyle{{\sqrt {12,5} } \over {\sqrt {0,5} }}\)

Phương pháp giải:

Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:

Với \(A \ge 0\) và B > 0 ta có: \(\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} = \sqrt {\dfrac{A}{B}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle{{\sqrt {12,5} } \over {\sqrt {0,5} }} = \sqrt {{{12,5} \over {0,5}}} = \sqrt {25} = 5\)

LG câu c

\(\displaystyle{{\sqrt {192} } \over {\sqrt {12} }}\)

Phương pháp giải:

Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:

Với \(A \ge 0\) và B > 0 ta có: \(\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} = \sqrt {\dfrac{A}{B}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle{{\sqrt {192} } \over {\sqrt {12} }} = \sqrt {{{192} \over {12}}} = \sqrt {16} = 4\)

LG câu d

\(\displaystyle{{\sqrt 6 } \over {\sqrt {150} }}\)

Phương pháp giải:

Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương:

Với \(A \ge 0\) và B > 0 ta có: \(\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }} = \sqrt {\dfrac{A}{B}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle{{\sqrt 6 } \over {\sqrt {150} }} = \sqrt {{6 \over {150}}} = \sqrt {{1 \over {25}}} = {1 \over 5}\)

LG câu a

Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa .

Phương pháp giải:

Áp dụng:

\(+\ Để\ \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) có nghĩa thì \(A \ge 0\);B > 0

\(+\ Để\ \sqrt {\dfrac{A}{B}}\) có nghĩa ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1:

\(\left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B > 0 \end{array} \right.\)

Trường hợp 2:

\(\left\{ \begin{array}{l} A \le 0\\ B < 0 \end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle\sqrt {{{2x + 3} \over {x - 3}}}\)có nghĩa khi và chỉ khi \(\displaystyle{{2x + 3} \over {x - 3}} \ge 0\)

Trường hợp 1:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2x + 3 \ge 0\\ x - 3 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x \ge - 3\\ x > 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{{ - 3}}{2}\\ x > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3 \end{array}\)

Trường hợp 2:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2x + 3 \le 0\\ x - 3 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x \le - 3\\ x < 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le \dfrac{{ - 3}}{2}\\ x < 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \le \dfrac{{ - 3}}{2} \end{array}\)

Vậy với x > 3 hoặc \(x \displaystyle \le \displaystyle - {3 \over 2}\) thì biểu thức A có nghĩa.

Ta có: \(\displaystyle{{\sqrt {2x + 3} } \over {\sqrt {x - 3} }}\) có nghĩa khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2x + 3 \ge 0\\ x - 3 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x \ge - 3\\ x > 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge \dfrac{{ - 3}}{2}\\ x > 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3 \end{array}\)

Vậy x > 3 thì biểu thức B có nghĩa.

LG câu b

Với giá trị nào của x thì A=B?

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả câu a và công thức \(\sqrt{\dfrac{A}B}=\dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}\) với \(A\ge 0\), B>0.

Lời giải chi tiết:

Với x > 3 thì A và B đồng thời có nghĩa.

Khi đó: A=B

\(\Leftrightarrow \displaystyle\sqrt {{{2x + 3} \over {x - 3}}} = \displaystyle{{\sqrt {2x + 3} } \over {\sqrt {x - 3} }}\) (luôn đúng)

Vậy với x > 3 thì A = B.

LG câu b

\(\displaystyle{{\sqrt {48{x^3}} } \over {\sqrt {3{x^5}} }} (x > 0);\)

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với \(A \ge 0,B > 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\)

\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)

Với \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)

Với A < 0 thì \(\left| A \right| = - A.\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & {{\sqrt {48{x^3}} } \over {\sqrt {3{x^5}} }} = \sqrt {{{48{x^3}} \over {3{x^5}}}} \cr & = \sqrt {{{16} \over {{x^2}}}} = {\sqrt {16} \over \sqrt {x^2}} \cr&= {4 \over {\left| x \right|}} = {4 \over x}\,(x > 0) \cr}\)

LG câu c

\(\displaystyle{{\sqrt {45m{n^2}} } \over {\sqrt {20m} }}\) (m > 0 và n > 0);

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với \(A \ge 0,B > 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\)

\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)

Với \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)

Với A < 0 thì \(\left| A \right| = - A.\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & {{\sqrt {45m{n^2}} } \over {\sqrt {20m} }} = \sqrt {{{45m{n^2}} \over {20m}}} \cr & = \sqrt {{{9{n^2}} \over 4}} = {{\sqrt {9{n^2}} } \over {\sqrt 4 }}\cr &= {{3\left| n \right|} \over 2} = {{3n} \over 2}\, (m > 0 ; n > 0)\cr}\)

LG câu d

\(\displaystyle{{\sqrt {16{a^4}{b^6}} } \over {\sqrt {128{a^6}{b^6}} }}\) (a < 0 và b ≠ 0).

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với \(A \ge 0,B > 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\)

\(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)

Với \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)

Với A < 0 thì \(\left| A \right| = - A.\)

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle {{\sqrt {16{a^4}{b^6}} } \over {\sqrt {128{a^6}{b^6}} }} = \sqrt {{{16{a^4}{b^6}} \over {128{a^6}{b^6}}}} = \sqrt {{1 \over {8{a^2}}}} \displaystyle = {{\sqrt 1 } \over {\sqrt {4.{a^2}.2} }} \displaystyle = {1 \over {\sqrt 4.\sqrt {a^2}.\sqrt 2 }} \displaystyle = {1 \over {2\left| a \right|\sqrt 2 }} = {{ - 1} \over {2a\sqrt 2 }}\)

(\(\displaystyle a < 0\) và \(\displaystyle b ≠0\))

LG câu b

\(\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt y - 1}}\sqrt {\dfrac{{y - 2\sqrt y + 1}}{{{{(x - 1)}^4}}}}\) (x ≠1, y ≠ 1 và y ≥ 0).

Phương pháp giải:

Áp dụng:

Với \(A \ge 0\) thì \(A = \sqrt {{A^2}}\)

Và \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)

Với \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)

với A < 0 thì \(\left| A \right| = - A.\)

Hằng đẳng thức cần sử dụng:

\({(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)

Lời giải chi tiết:

Vì y ≥ 0 nên \(y = {\left( {\sqrt y } \right)^2}\)

Ta có:

\(\displaystyle\eqalign{ & {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}\sqrt {{{{{ {y - 2\sqrt y + 1} }}} \over {{{(x - 1)}^4}}}} \cr & = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}{{\sqrt {{{\left( \sqrt y - 1 \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{(x - 1)}^4}} }} \cr} \displaystyle\eqalign{& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}.{{\left| \sqrt y-1 \right|} \over {{{(x - 1)}^2}}} \cr & = { {\left| \sqrt y-1 \right|} \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}} \cr}\)

+) Nếu y>1

Ta có \(\displaystyle\left| \sqrt y-1 \right|=\sqrt y-1\) nên:

\(\displaystyle { {\left| \sqrt y-1 \right|} \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}} = { { \sqrt y-1 } \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}} =\dfrac {1}{x-1}\)

+) Nếu \(0 \le y < 1\)

Ta có \(\left| {\sqrt y - 1} \right| = -( \sqrt y -1)\) nên:

\(\displaystyle { {\left| \sqrt y-1 \right|} \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}} = { { -(\sqrt y-1) } \over {({\sqrt {y} - 1}).(x - 1)}}= \dfrac{{ - 1}}{{x - 1}}\)

LG câu b

\(\displaystyle4x - \sqrt 8 + {{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} } \over {\sqrt {x + 2} }} (x > -2);\) tại \(x =\displaystyle - \sqrt 2\)

Phương pháp giải:

Sử dụng \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)

Với \(A \ge 0\) thì \(\left| A \right| = A\)

với A < 0 thì \(\left| A \right| = - A.\)

Với \(A \ge 0,B > 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\)

Lời giải chi tiết:

Với x > -2, ta có:

\(\displaystyle\eqalign{ & 4x - \sqrt 8 + {{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} } \over {\sqrt {x + 2} }} \cr & = 4x - \sqrt 8 + \sqrt {{{{x^3} + 2{x^2}} \over {x + 2}}} \cr}\)

\(\displaystyle\eqalign{ & = 4x - \sqrt 8 + \sqrt {{{{x^2}(x + 2)} \over {x + 2}}} \cr & = 4x - \sqrt 8 + \sqrt {{x^2}} \cr & = 4x - \sqrt 8 + \left| x \right| \cr}\)

+) Nếu \(x \ge 0\)thì \(\displaystyle\left| x \right| = x\)

Ta có:

\(\displaystyle\eqalign{ & 4x - \sqrt 8 + \left| x \right| \cr & = 4x - \sqrt 8 + x = 5x - \sqrt 8 \cr}\)

+) Nếu -2 < x < 0 thì \(\displaystyle\left| x \right| = - x\)

Ta có:

\(\displaystyle4x - \sqrt 8 + \left| x \right| = 4x - \sqrt 8 - x = 3x - \sqrt 8\)

Với \(x = - \sqrt 2 <0\) ta có: \(\displaystyle3\left( { - \sqrt 2 } \right) - \sqrt 8 = - 3\sqrt 2 - 2\sqrt 2 = - 5\sqrt 2\)

LG câu b

\(\displaystyle{{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2\)

Phương pháp giải:

Áp dụng với \({\rm{A}} \ge {\rm{0; B}} \ge {\rm{0}}\) thì \(\sqrt A = B \Leftrightarrow A = {B^2}\)

Để \(\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) có nghĩa thì \(A \ge 0;B > 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle{{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }}\) xác định khi và chỉ khi:

\(\displaystyle\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 3 \ge 0 \hfill \cr x - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \ge 3 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1,5 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr}\)

Với x ≥ 1,5 ta có:

\(\displaystyle\eqalign{ & {{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2 \Leftrightarrow {{2x - 3} \over {x - 1}} = 4 \cr & \Rightarrow 2x - 3 = 4(x - 1) \cr} \displaystyle\eqalign{ & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 \cr & \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr}\)

Giá trị x = 0,5 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để \(\displaystyle{{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2\)

LG câu c

\(\displaystyle\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3\)

Phương pháp giải:

Áp dụng với \({\rm{A}} \ge {\rm{0; B}} \ge {\rm{0}}\) thì \(\sqrt A = B \Leftrightarrow A = {B^2}\)

Để \(\sqrt {\dfrac{A}{B}}\)có nghĩa ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1:

\(\left\{ \begin{array}{l} A \ge 0\\ B > 0 \end{array} \right.\)

Trường hợp 2:

\(\left\{ \begin{array}{l} A \le 0\\ B < 0 \end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}}\)xác định khi và chỉ khi \(\displaystyle{{4x + 3} \over {x + 1}} \ge 0\)

Trường hợp 1:

\(\displaystyle\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 4x + 3 \ge 0 \hfill \cr x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x \ge - 3 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 0,75 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - 0,75 \cr}\)

Trường hợp 2:

\(\displaystyle\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 4x + 3 \le 0 \hfill \cr x + 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x \le - 3 \hfill \cr x < - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 0,75 \hfill \cr x < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 1 \cr}\)

Với x ≥ -0,75 hoặc x < -1 ta có:

\(\displaystyle\eqalign{ & \sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr & \Rightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr}\)

\(\displaystyle\eqalign{ & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr & \Leftrightarrow 5x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1,2 \cr}\)

Giá trị x = -1,2 thỏa mãn điều kiện x < -1.

LG câu d

\(\displaystyle{{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.\)

Phương pháp giải:

Áp dụng với \(A\geq 0; B\geq 0\) thì \(\sqrt A = B \Leftrightarrow A = {B^2}\)

Để \(\dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) có nghĩa thì \({\rm{A}} \ge {\rm{0; B}} \ge {\rm{0}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle{{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }}\) xác định khi và chỉ khi:

\(\displaystyle\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 4x + 3 \ge 0 \hfill \cr x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x \ge - 3 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 0,75 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - 0,75 \cr}\)

Với x ≥ -0,75 ta có:

\(\displaystyle\eqalign{ & {{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr & \Rightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr}\)

\(\displaystyle\eqalign{ & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr & \Leftrightarrow 5x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1,2\,\text{(không thỏa mãn)} \cr}\)

Vậy không có giá trị nào của x để \(\displaystyle{{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.\)