Lý thuyết Toán 7 Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu là \({x^n}\) là tích của n thừa số x:

\({x^n} = \underbrace {x.x.x.....x}_n\left( {x \in ,n \in \mathbb{N} ,n > 1} \right)\)

(trong đó x được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ)

+ Ta quy ước: \({x^1} = x\) và \({x^0} = 1\left( {x \ne 0} \right)\)

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.

+ Công thức: \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\left( {x \in \mathbb{Q};m,n \in \mathbb{N} } \right)\)

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia.

+ Công thức: \({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\left( {x \in \mathbb{Q};x \ne 0;m,n \in \mathbb{N};m \ge n} \right)\)

Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.

+ Công thức: \({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\left( {x \in \mathbb{Q};m,n \in \mathbb{N}} \right)\)

Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa:

x^m . y^m = (x . y)^m (x, y ≠ 0)

Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa.

x^m : y^m = (x : y)^m (x, y ≠ 0)

a) Dạng 1: Tính lũy thừa của một số hữu tỉ

Phương pháp: Vận dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

b) Dạng 2: Viết số dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ

Phương pháp:

- Bước 1. Phân tích các cơ số ra thừa số nguyên tố

- Bước 2. Áp dụng định nghĩa và các phép tính lũy thừa để viết số dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ

c) Dạng 3: Thực hiện phép tính

• Bài toán 1. Thực hiện phép tính bằng cách đưa về cùng cơ số

Phương pháp:

- Bước 1. Đưa các lũy thừa về dạng lũy thừa của các cơ số giống nhau (thường chọn ước chung nhỏ nhất khác 1 của các cơ số).

- Bước 2. Áp dụng các quy tắc lũy thừa của một tích hoặc một thương để tính toán kết quả

• Bài toán 2: Thực hiện phép tính bằng cách đưa về cùng số mũ

Phương pháp:

- Bước 1. Phân tích tìm ra số mũ chung của các thừa số

- Bước 2. Biến đổi các thừa số để đưa về số mũ giống nhau rồi áp dụng công thức lũy thừa của một tích hoặc một thương

d) Dạng 4: So sánh các lũy thừa

Phương pháp: Để so sánh hai lũy thừa ta có thể biến đổi đưa hai lũy thừa về cùng cơ số hoặc đưa hai lũy thừa về cùng số mũ. Rồi sử dụng nhận xét sau:

* Với a > 1 và m > n thì a^m > aⁿ

* Với 0 < a < 1 và m > n thì a^m < aⁿ

* Với a > b > 0 và m ∈ N* thì a^m > b^m

e) Dạng 5: Tìm số mũ, cơ số của lũy thừa

• Bài toán 1: Tìm số mũ của lũy thừa

Phương pháp:

- Để tìm số hữu tỉ xtrong cơ số của một lũy thừa, ta thường biến đổi hai vế của đẳng thức về lũy thừa cùng số mũ, rồi sử dụng nhận xét:

A^{2n + 1} = B^{2n + 1} ⇔ A = B (n ∈ N*)

A²ⁿ = B²ⁿ ⇔ A = B hoặc A = - B (n ∈ N*)

- Để tìm số xở số mũ của lũy thừa, ta thường biến đổi hai vế của đẳng thức về lũy thừa cùng cơ số, rồi sử dụng nhận xét:

Aⁿ = A^m ⇔ m = n (m, n ∈ Z; A ≠ 0, A ≠ 1)

• Bài toán 2: Tìm cơ số của lũy thừa

Phương pháp:

- Bước 1. Đưa các lũy thừa ở cả hai vế về cùng số mũ.

- Bước 2. Cho phần cơ số bằng nhau rồi giải ra kết quả.