Tổng hợp câu hỏi nâng cao trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6

Bài tập nâng cao trong các đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6 do đội ngũ thầy cô giáo của VnDoc biên soạn bao gồm các câu hỏi khó dành điểm 10 trong đề thi học kì Toán lớp 6 kèm với đáp án chi tiết. Hi vọng tài liệu này giúp các em học sinh lớp 6 tự ôn luyện và vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải bài tập toán. Chúc các em học tốt.

Mời các em học sinh tham khảo thêm:

A. Các câu hỏi nâng cao xuất hiện trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6

Bài 1: Tính tổng A = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{2019.2021}}

Bài 2: Chứng tỏ B = \frac{{14n + 3}}{{21n + 5}}\left( {n \in N} \right) là phân số tối giản

Bài 3: Cho A = \frac{{{2^{2018}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}}}} + \frac{{{3^{2019}}}}{{{3^{2019}} + {5^{2020}}}} + \frac{{{5^{2020}}}}{{{5^{2020}} + {2^{2018}}}}B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{5.6}} + ... + \frac{1}{{2019.2020}}. So sánh A và B

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức A = \left( {\frac{1}{{4.9}} + \frac{1}{{9.14}} + ... + \frac{1}{{44.49}}} \right).\frac{{1 - 3 - 5 - 7 - ... - 49}}{{89}}

Bài 5: Cho A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2020}^2}}}. Chứng tỏ A < 1

Bài 6: Tính tỉ số \frac{A}{B} biết A = \frac{4}{{7.31}} + \frac{6}{{7.41}} + \frac{9}{{10.41}} + \frac{7}{{10.57}}B = \frac{7}{{19.31}} + \frac{5}{{19.43}} + \frac{3}{{23.43}} + \frac{{11}}{{23.57}}

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức A = \frac{3}{2} - \frac{5}{6} + \frac{7}{{12}} - \frac{9}{{20}} + \frac{{11}}{{30}} - \frac{{13}}{{42}} + \frac{{15}}{{56}} - \frac{{17}}{{72}} + \frac{{19}}{{90}}

Bài 8: Cho biểu thức P = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{{399}}{{400}}. Chứng tỏ rằng A < \frac{1}{{20}}

Bài 9: Tính nhanh A = 1 + \frac{1}{{1 + 2}} + \frac{1}{{1 + 2 + 3}} + ... + \frac{1}{{1 + 2 + ... + 8}}

Bài 10: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức dưới đây đạt giá trị nhỏ nhất: A = \left| {x - 9} \right| + 10

B. Lời giải các câu hỏi nâng cao trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6

Bài 1:

A = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{2019.2021}}

= 2.\frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{2019.2021}}} \right)

= \frac{1}{2}.\left( {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + ... + \frac{2}{{2019.2021}}} \right)

= \frac{1}{2}.\left( {\frac{{3 - 1}}{{1.3}} + \frac{{5 - 3}}{{3.5}} + ... + \frac{{2021 - 2019}}{{2019.2021}}} \right)

= \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}} + \frac{1}{{2019}} - \frac{1}{{2021}}} \right)

= \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{1}{{2021}}} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{2020}}{{2021}} = \frac{{1010}}{{2021}}

Bài 2:

Đề B là phân số tối giản thì ước chung của tử và mẫu bằng 1 hoặc

Gọi d là ước chung của 14n + 3 và 21n + 5 (d tự nhiên)

Khi đó ta có \left( {14n + 3} \right) \vdots d \Rightarrow 3.\left( {14n + 3} \right) \vdots d \Rightarrow 42n + 9 \vdots d

\left( {21n + 5} \right) \vdots d \Rightarrow 2.\left( {21n + 5} \right) \vdots d \Rightarrow 42n + 10 \vdots d

Ta có nếu a > b và a và b đều chia hết cho cùng một số thì hiệu a - b cũng chia hết cho số đó

Vậy ta có \left( {42n + 10} \right) - \left( {42n + 9} \right) \vdots d \Rightarrow 1 \vdots d

Vậy B là phân số tối giản

Bài 3:

Ta có \frac{{{2^{2018}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}}}} > \frac{{{2^{2018}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}}

\frac{{{3^{2018}}}}{{{3^{2019}} + {5^{2020}}}} > \frac{{{3^{2018}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}}

\frac{{{5^{2020}}}}{{{5^{2020}} + {2^{2018}}}} > \frac{{{5^{2020}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}}

Từ đó A > \frac{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}} = 1

B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{5.6}} + ... + \frac{1}{{2019.2020}}

B = \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{4 - 3}}{{3.4}} + ... + \frac{{2020 - 2019}}{{2019.2020}}

B = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}} + \frac{1}{{2019}} - \frac{1}{{2020}}

B = 1 - \frac{1}{{2020}} = \frac{{2019}}{{2020}} < \frac{{2020}}{{2020}} = 1

Vậy A > B

Bài 4:

A = \left( {\frac{1}{{4.9}} + \frac{1}{{9.14}} + ... + \frac{1}{{44.49}}} \right).\frac{{1 - 3 - 5 - 7 - ... - 49}}{{89}}

\frac{1}{{4.9}} + \frac{1}{{9.14}} + ... + \frac{1}{{44.49}} = 5.\frac{1}{5}.\left( {\frac{1}{{4.9}} + \frac{1}{{9.14}} + ... + \frac{1}{{44.49}}} \right)

= \frac{1}{5}.\left( {\frac{5}{{4.9}} + \frac{5}{{9.14}} + ... + \frac{5}{{44.49}}} \right) = \frac{1}{5}.\left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{49}}} \right) = \frac{9}{{196}}

\frac{{1 - 3 - 5 - 7 - ... - 49}}{{89}} = \frac{{1 - \left( {3 + 5 +  + ... + 49} \right)}}{{89}}

Tổng 3 + 5 + … + 49 là tổng của dãy số lẻ liên tiếp từ 3 đến 49. Vậy 3 + 5 + … + 49 = 624

A = \frac{9}{{196}}.\frac{{1 - 624}}{{89}} = \frac{9}{{196}}.\frac{{\left( { - 623} \right)}}{{89}} = \frac{{ - 9}}{{28}}

Bài 5:

\frac{1}{{{2^2}}} < \frac{1}{{1.2}};\frac{1}{{{3^2}}} < \frac{1}{{2.3}};...;\frac{1}{{{{2020}^2}}} < \frac{1}{{2019.2020}}

Vậy A < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{2019.2020}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{{2020}} = \frac{{2019}}{{2020}} < \frac{{2020}}{{2020}} = 1

Bài 6:

A = \frac{4}{{7.31}} + \frac{6}{{7.41}} + \frac{9}{{10.41}} + \frac{7}{{10.57}} \Rightarrow \frac{A}{5} = \frac{4}{{35.31}} + \frac{6}{{35.41}} + \frac{9}{{50.41}} + \frac{7}{{50.57}}

\frac{A}{5} = \frac{1}{{31}} - \frac{1}{{35}} + \frac{1}{{35}} - \frac{1}{{41}} + \frac{1}{{41}} - \frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} - \frac{1}{{57}}

\frac{A}{5} = \frac{1}{{31}} - \frac{1}{{57}} = \frac{{26}}{{31.57}} \Rightarrow A = \frac{{130}}{{31.57}}

\frac{B}{2} = \frac{7}{{38.31}} + \frac{5}{{38.43}} + \frac{3}{{46.43}} + \frac{{11}}{{46.57}} \Rightarrow \frac{B}{2} = \frac{1}{{31}} - \frac{1}{{57}} = \frac{{26}}{{31.57}}

\Rightarrow B = \frac{{52}}{{31.57}}

\frac{A}{B} = \frac{{130}}{{31.51}}:\frac{{52}}{{31.57}} = \frac{5}{2}

Bài 7:

A = \frac{3}{2} - \frac{5}{6} + \frac{7}{{12}} - \frac{9}{{20}} + \frac{{11}}{{30}} - \frac{{13}}{{42}} + \frac{{15}}{{56}} - \frac{{17}}{{72}} + \frac{{19}}{{90}} = \frac{2}{3} + \frac{2}{{15}} + \frac{2}{{35}} + \frac{2}{{63}} + \frac{2}{{90}}

\frac{2}{3} + \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + \frac{2}{{7.9}} + \frac{2}{{9.10}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{10}}

= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{10}} = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}

Bài 8:

P = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{{399}}{{400}}

P = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{{399}}{{400}} và  Q = \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.....\frac{{400}}{{401}}

\frac{1}{2} < \frac{2}{3};\frac{3}{4} < \frac{4}{5};...;\frac{{399}}{{400}} < \frac{{400}}{{401}}

P.Q = \left( {\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{{399}}{{400}}} \right).\left( {\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{{400}}{{401}}} \right) = \frac{1}{{401}}

Có P.P < P.Q

hay P.P < \frac{1}{{401}} < \frac{1}{{400}} \Rightarrow P < \frac{1}{{20}}

Bài 9:

A = 1 + \frac{1}{{1 + 2}} + \frac{1}{{1 + 2 + 3}} + ... + \frac{1}{{1 + 2 + ... + 8}} = 1 + \frac{1}{{2.3:2}} + \frac{1}{{3.4:2}} + ... + \frac{1}{{8.9:2}}

= 1 + 2.\left( {\frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ...\frac{1}{{8.9}}} \right) = 1 + 2.\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{9}} \right) = 1 + 2.\frac{7}{{18}} = \frac{{16}}{9}

Bài 10:

\left| {x - 9} \right| \ge 0\forall x \Rightarrow \left| {x - 9} \right| + 10 \ge 10\forall x

Dấu “=” xảy ra khi x = 9

Vậy minA = 10 khi x = 9

--------------

Ngoài các dạng toán toán nâng cao trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6 trên, các em học sinh lớp 6 còn có thể tham khảo đề thi học kì 1 lớp 6 hay đề thi học kì 2 lớp 6 mà VnDoc.com đã sưu tầm và chọn lọc. Hy vọng với những tài liệu này, các em học sinh sẽ học tốt môn Toán lớp 6 và Ngữ Văn lớp 6 hơn.

Đánh giá bài viết
55 15.894
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Đề thi học kì 2 lớp 6 môn Toán Xem thêm