Tổng hợp câu hỏi nâng cao trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6

Bài tập nâng cao trong các đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6 do đội ngũ thầy cô giáo của VnDoc biên soạn bao gồm các câu hỏi khó dành điểm 10 trong đề thi học kì 2 Toán lớp 6. Tài liệu kèm với đáp án chi tiết giúp các bạn so sánh đối chiếu kết quả sau khi làm xong. Hi vọng tài liệu này giúp các em học sinh lớp 6 tự ôn luyện và vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải bài tập toán. Chúc các em học tốt.

A. Các câu hỏi nâng cao xuất hiện trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6

Bài 1: Tính tổng \(A = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{2019.2021}}\)

Bài 2: Chứng tỏ \(B = \frac{{14n + 3}}{{21n + 5}}\left( {n \in N} \right)\) là phân số tối giản

Bài 3: Cho \(A = \frac{{{2^{2018}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}}}} + \frac{{{3^{2019}}}}{{{3^{2019}} + {5^{2020}}}} + \frac{{{5^{2020}}}}{{{5^{2020}} + {2^{2018}}}}\) và \(B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{5.6}} + ... + \frac{1}{{2019.2020}}\). So sánh A và B

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức \(A = \left( {\frac{1}{{4.9}} + \frac{1}{{9.14}} + ... + \frac{1}{{44.49}}} \right).\frac{{1 - 3 - 5 - 7 - ... - 49}}{{89}}\)

Bài 5: Cho \(A = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2020}^2}}}\). Chứng tỏ A < 1

Bài 6: Tính tỉ số \(\frac{A}{B}\) biết \(A = \frac{4}{{7.31}} + \frac{6}{{7.41}} + \frac{9}{{10.41}} + \frac{7}{{10.57}}\)và \(B = \frac{7}{{19.31}} + \frac{5}{{19.43}} + \frac{3}{{23.43}} + \frac{{11}}{{23.57}}\)

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{3}{2} - \frac{5}{6} + \frac{7}{{12}} - \frac{9}{{20}} + \frac{{11}}{{30}} - \frac{{13}}{{42}} + \frac{{15}}{{56}} - \frac{{17}}{{72}} + \frac{{19}}{{90}}\)

Bài 8: Cho biểu thức \(P = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{{399}}{{400}}\). Chứng tỏ rằng \(A < \frac{1}{{20}}\)

Bài 9: Tính nhanh \(A = 1 + \frac{1}{{1 + 2}} + \frac{1}{{1 + 2 + 3}} + ... + \frac{1}{{1 + 2 + ... + 8}}\)

Bài 10: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức dưới đây đạt giá trị nhỏ nhất: \(A = \left| {x - 9} \right| + 10\)

B. Lời giải các câu hỏi nâng cao trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6

Bài 1:

\(A = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{2019.2021}}\)

\(= 2.\frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{5.7}} + ... + \frac{1}{{2019.2021}}} \right)\)

\(= \frac{1}{2}.\left( {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + ... + \frac{2}{{2019.2021}}} \right)\)

\(= \frac{1}{2}.\left( {\frac{{3 - 1}}{{1.3}} + \frac{{5 - 3}}{{3.5}} + ... + \frac{{2021 - 2019}}{{2019.2021}}} \right)\)

\(= \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}} + \frac{1}{{2019}} - \frac{1}{{2021}}} \right)\)

\(= \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{1}{{2021}}} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{2020}}{{2021}} = \frac{{1010}}{{2021}}\)

Bài 2:

Đề B là phân số tối giản thì ước chung của tử và mẫu bằng 1 hoặc

Gọi d là ước chung của 14n + 3 và 21n + 5 (d tự nhiên)

Khi đó ta có \(\left( {14n + 3} \right) \vdots d \Rightarrow 3.\left( {14n + 3} \right) \vdots d \Rightarrow 42n + 9 \vdots d\)

Và \(\left( {21n + 5} \right) \vdots d \Rightarrow 2.\left( {21n + 5} \right) \vdots d \Rightarrow 42n + 10 \vdots d\)

Ta có nếu a > b và a và b đều chia hết cho cùng một số thì hiệu a - b cũng chia hết cho số đó

Vậy ta có \(\left( {42n + 10} \right) - \left( {42n + 9} \right) \vdots d \Rightarrow 1 \vdots d\)

Vậy B là phân số tối giản

Bài 3:

Ta có \(\frac{{{2^{2018}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}}}} > \frac{{{2^{2018}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}}\)

\(\frac{{{3^{2018}}}}{{{3^{2019}} + {5^{2020}}}} > \frac{{{3^{2018}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}}\)

\(\frac{{{5^{2020}}}}{{{5^{2020}} + {2^{2018}}}} > \frac{{{5^{2020}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}}\)

Từ đó \(A > \frac{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}}{{{2^{2018}} + {3^{2019}} + {5^{2020}}}} = 1\)

\(B = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{5.6}} + ... + \frac{1}{{2019.2020}}\)

\(B = \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{4 - 3}}{{3.4}} + ... + \frac{{2020 - 2019}}{{2019.2020}}\)

\(B = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}} + \frac{1}{{2019}} - \frac{1}{{2020}}\)

\(B = 1 - \frac{1}{{2020}} = \frac{{2019}}{{2020}} < \frac{{2020}}{{2020}} = 1\)

Vậy A > B

Bài 4:

\(A = \left( {\frac{1}{{4.9}} + \frac{1}{{9.14}} + ... + \frac{1}{{44.49}}} \right).\frac{{1 - 3 - 5 - 7 - ... - 49}}{{89}}\)

Có \(\frac{1}{{4.9}} + \frac{1}{{9.14}} + ... + \frac{1}{{44.49}} = 5.\frac{1}{5}.\left( {\frac{1}{{4.9}} + \frac{1}{{9.14}} + ... + \frac{1}{{44.49}}} \right)\)

\(= \frac{1}{5}.\left( {\frac{5}{{4.9}} + \frac{5}{{9.14}} + ... + \frac{5}{{44.49}}} \right) = \frac{1}{5}.\left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{49}}} \right) = \frac{9}{{196}}\)

Có \(\frac{{1 - 3 - 5 - 7 - ... - 49}}{{89}} = \frac{{1 - \left( {3 + 5 + + ... + 49} \right)}}{{89}}\)

Tổng 3 + 5 + … + 49 là tổng của dãy số lẻ liên tiếp từ 3 đến 49. Vậy 3 + 5 + … + 49 = 624

\(A = \frac{9}{{196}}.\frac{{1 - 624}}{{89}} = \frac{9}{{196}}.\frac{{\left( { - 623} \right)}}{{89}} = \frac{{ - 9}}{{28}}\)

Bài 5:

\(\frac{1}{{{2^2}}} < \frac{1}{{1.2}};\frac{1}{{{3^2}}} < \frac{1}{{2.3}};...;\frac{1}{{{{2020}^2}}} < \frac{1}{{2019.2020}}\)

Vậy \(A < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{2019.2020}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{{2020}} = \frac{{2019}}{{2020}} < \frac{{2020}}{{2020}} = 1\)

Bài 6:

\(A = \frac{4}{{7.31}} + \frac{6}{{7.41}} + \frac{9}{{10.41}} + \frac{7}{{10.57}} \Rightarrow \frac{A}{5} = \frac{4}{{35.31}} + \frac{6}{{35.41}} + \frac{9}{{50.41}} + \frac{7}{{50.57}}\)

\(\frac{A}{5} = \frac{1}{{31}} - \frac{1}{{35}} + \frac{1}{{35}} - \frac{1}{{41}} + \frac{1}{{41}} - \frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}} - \frac{1}{{57}}\)

\(\frac{A}{5} = \frac{1}{{31}} - \frac{1}{{57}} = \frac{{26}}{{31.57}} \Rightarrow A = \frac{{130}}{{31.57}}\)

\(\frac{B}{2} = \frac{7}{{38.31}} + \frac{5}{{38.43}} + \frac{3}{{46.43}} + \frac{{11}}{{46.57}} \Rightarrow \frac{B}{2} = \frac{1}{{31}} - \frac{1}{{57}} = \frac{{26}}{{31.57}}\)

\(\Rightarrow B = \frac{{52}}{{31.57}}\)

\(\frac{A}{B} = \frac{{130}}{{31.51}}:\frac{{52}}{{31.57}} = \frac{5}{2}\)

Bài 7:

\(A = \frac{3}{2} - \frac{5}{6} + \frac{7}{{12}} - \frac{9}{{20}} + \frac{{11}}{{30}} - \frac{{13}}{{42}} + \frac{{15}}{{56}} - \frac{{17}}{{72}} + \frac{{19}}{{90}} = \frac{2}{3} + \frac{2}{{15}} + \frac{2}{{35}} + \frac{2}{{63}} + \frac{2}{{90}}\)

\(\frac{2}{3} + \frac{2}{{3.5}} + \frac{2}{{5.7}} + \frac{2}{{7.9}} + \frac{2}{{9.10}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{10}}\)

\(= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{10}} = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}\)

Bài 8:

\(P = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{{399}}{{400}}\)

Có \(P = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{{399}}{{400}}\) và  \(Q = \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}.....\frac{{400}}{{401}}\)

Và \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3};\frac{3}{4} < \frac{4}{5};...;\frac{{399}}{{400}} < \frac{{400}}{{401}}\)

\(P.Q = \left( {\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{{399}}{{400}}} \right).\left( {\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{{400}}{{401}}} \right) = \frac{1}{{401}}\)

Có P.P < P.Q

hay \(P.P < \frac{1}{{401}} < \frac{1}{{400}} \Rightarrow P < \frac{1}{{20}}\)

Bài 9:

\(A = 1 + \frac{1}{{1 + 2}} + \frac{1}{{1 + 2 + 3}} + ... + \frac{1}{{1 + 2 + ... + 8}} = 1 + \frac{1}{{2.3:2}} + \frac{1}{{3.4:2}} + ... + \frac{1}{{8.9:2}}\)

\(= 1 + 2.\left( {\frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ...\frac{1}{{8.9}}} \right) = 1 + 2.\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{9}} \right) = 1 + 2.\frac{7}{{18}} = \frac{{16}}{9}\)

Bài 10:

Có \(\left| {x - 9} \right| \ge 0\forall x \Rightarrow \left| {x - 9} \right| + 10 \ge 10\forall x\)

Dấu “=” xảy ra khi x = 9

Vậy minA = 10 khi x = 9

Bộ đề thi học kì 2 Toán 6 sách mới

• Đề thi học kì 2 Toán 6 - Kết nối
• Đề thi học kì 2 Toán 6 - Chân trời
• Đề thi học kì 2 Toán 6 - Cánh diều

--------------

Trên đây, VnDoc đã gửi tới các bạn Tổng hợp câu hỏi nâng cao trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6. Ngoài các dạng toán toán nâng cao trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 6 trên, các em học sinh có thể tham khảo đề thi học kì 2 lớp 6 mà VnDoc.com đã sưu tầm và chọn lọc. Hy vọng với những tài liệu này, các em học sinh sẽ học tốt môn Toán lớp 6 và Ngữ Văn lớp 6 hơn.