Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O)

a)

CF, BE là đường cao của ∆ABC nên \(\hat{AEH} =\hat{AFH} =90^{\circ}\)

⇒ \(\hat{AEH} +\hat{AFH} =180^{\circ}\)

⇒ Suy ra tức giác AEHF là tứ giác nội tiếp (điều cần chứng minh)

CF, BE là đường cao của ∆ABC nên \(\hat{CEB} =\hat{BFC} =90^{\circ}\)

=> Điểm E, F thuộc đường tròn đường kính BC.

=> B, C, E, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC (điều cần chứng minh).

b)

Tam giác AEH và ADH có chung góc tại đỉnh A và \(\hat{AEH} =\hat{ADC} =90^{\circ}\) nên ∆AEH đồng dạng với ∆ADC

⇒ AE/AD = AH/AC

⇒ AE.AC = AH.AD (điều cần chứng minh).

Tam giác BEC và ADC có chung góc tại đỉnh C và \(\hat{BEC} =\hat{ADC} =90^{\circ}\) nên ∆BEC đồng dạng ∆ADC

⇒ BE/AD = BC/AC

⇒ AD.BC = CE.AC (điều cần chứng minh).

c) Ta có:

 \(\hat{A_{1} } =\hat{C_{1} }\) (cùng phụ với góc FBC);

\(\hat{A_{2} } =\hat{C_{2} }\) (cùng chắn cung của (O));

 Suy ra \(\hat{C_{1} } =\hat{C_{2} }\)

⇒ CD là phân giác của góc HCM

Tam giác CHM có CD vừa là phân giác vừa là đường cao nên cân tại C, suy ra CD đồng thời cũng la trung trực của HM.

⇒ H, M đối xứng với nhau qua BC (điều cần chứng minh).