Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS thành phố Cần Thơ năm học 2012 - 2013 môn Toán - Có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ (Đề thi chính thức)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TP - NĂM HỌC 2012-2013 (Ngày thi: 11 tháng 4 năm 2013)

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu 1 (5 điểm)

1. Cho biểu thức

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên.

2. Tính giá trị (a3 + 15a - 25)²⁰¹³ với

Câu 2 (5 điểm)

1. Giải phương trình:

2. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:

Câu 3 (5 điểm)

1. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn

2. Cho hai số x, y thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x² + y² - xy

Câu 4 (2 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Tìm điểm M trên đường tròn để MA + 2MB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 5 (3 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi P là một điểm di động trên cung BC không chứa A.

1. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ A xuống PB, PC. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

2. Gọi I, D, E là chân các đường cao lần lượt hạ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng chu vi tam giác IDE không đổi khi A, B, C thay đổi trên đường tròn (O; R) sao cho diện tích của tam giác ABC luôn bằng a²