Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm giữa O và A

a) Theo bài ra ta có:

AB là đường kính của đường tròn tâm O

=> \(AM \bot MB\) (tính chất)

=> \(\widehat {DMA} = \widehat {DCA} = {90^0}\)

=> Tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn.

Ta lại có: \(\widehat {BCK} = \widehat {BMK} = {90^0}\)

=> Tứ giác BCKM nội tiếp đường tròn.

b) Xét tam giác CKA và tam giác CBD ta có:

\(\begin{matrix} \widehat {BCK} = \widehat {BMK} = {90^0} \hfill \\ \widehat {KAC} = \widehat {MAC} = \widehat {MDC} = \widehat {BDC} \hfill \\ \Rightarrow \Delta CAK \sim \Delta CDB\left( {g - g} \right) \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{DC}} = \dfrac{{KC}}{{BC}} \hfill \\ \end{matrix}\)

=> KC . DC = AC . BC

c) Ta có: N thuộc (O)

=> \(AN \bot BN = > BN \bot AD\) (1)

Do \(AM \bot BD;BN \bot AD,AM \cap BN = \left\{ K \right\}\) nên K là trực tâm tam giác DAB

=> \(BK \bot AD\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm B, K, N thẳng hàng