VnDoc.com

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán Sở GD&ĐT Quảng Bình năm học 2019-2020

Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG BÌNH

(Đề thi có 01 trang và 05 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM 2019 - 2020

Môn thi: TOÁN

LỚP 12 THPT

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (2,0 điểm).

a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

sin cos 1

2 sin 2

xx

y

x







.

b. Cho hàm số

1

x

y

x





có đồ thị

 

C

và điểm

 

1; 1A 

. Tìm các giá trị của m để đường thẳng

 

:1d y mx m 

cắt đồ thị

 

C

tại hai điểm phân biệt

,MN

sao cho

22

AM AN

đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2 (2,0 điểm).

a. Cho hàm số

 

1

1 2019

x

fx



. Tính tỉ số

P

Q

, với

    



' 1 2 ' 2 ... 2019 ' 2019Pf f f  

và

    



' 1 2 ' 2 ... 2019 ' 2019Qf f f    

.

b. Giải phương trình:

 

22

log 3 log 3 1 1xx









.

Câu 3 (2,0 điểm).

a. Cho tam giác đều ABC cạnh 8cm. Chia tam giác này thành 64 tam giác

đều cạnh 1cm bởi các đường thẳng song song với các cạ

nh tam giác ABC (như

hình vẽ). Gọi S là tập hợp các đỉnh của các tam giác cạnh 1cm. Chọn ngẫu

nhiên 4 đỉnh thuộc S. Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của

hình bình hành nằm trong miền trong của tam giác ABC và có cạnh chứa các

cạnh của các tam giác cạnh 1 cm ở trên.

b. Tìm công sai d của cấp số cộng

 

n

u

có tất cả các số hạng đều dương và thỏa mãn:

 

1 2 2020 1 2 1010

222

3335314

... 4 ...

log log log 2

uu u uu u

uuu





    







 





.

Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA

⊥

(ABCD), SA = a. Một mặt phẳng

 



qua CD cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Đặt AM = x, với

0 xa

.

a. Tứ giác MNCD là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCD theo a và x.

b. Xác định x để thể tích khối chóp S.MNCD bằng

2

9

lần thể tích khối chóp S.ABCD.

Câu 5 (1,0 điểm).

a. Cho các số thực phân biệt

,1ab

. Chứng minh rằng:

   

log log log log

aa ba

bb

.

b. Cho các số thực

 

12

... 1, 2

n

aa a n  

. Chứng minh rằng:

       

11 22 1 1

23 1

log log log log ... log log log log 0

n n nn

a a a a a an a a

aa a a



   

.

............ HẾT ............

B

C

A

ĐỀ CHÍNH THỨC

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

HƯỚNG DẪN GIẢI (THAM KHẢO)

Câu 1a (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

sin cos 1

2 sin 2

xx

y

x







.

Hướng dẫn

Đặt

2

sin cos 2; 2 sin 2 1x xt xt



     





, khi đó





2

1

, 2; 2

1

t

y ft t

t





  







.

Ta có

 

22

1

' '0 1

11

t

ft ft t

tt



   



.

Tính

   





12 12

2 ; 2 ,1 2

33

f ff



  

.

Suy ra:

12 3

min 2

4

3

y xk





   

;

max 2 2 , 2

2

y xkx k



   

.

Câu 1b (1,0 điểm). Cho hàm số

1

x

y

x





có đồ thị

 

C

và điểm





1; 1A 

. Tìm các giá trị của m để

đường thẳng

 

:1d y mx m 

cắt đồ thị

 

C

tại hai điểm phân biệt

,MN

sao cho

22

AM AN

đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn

Cách 1:

Dễ thấy đường thẳng

 

:1d y mx m 

luôn đi qua điểm

 

1; 1I 

là giao điểm của hai đường tiệm

cận. Ta có

 

2

1

' 0, 1

1

yx

x

  



nên để đường thẳng

 

d

cắt

 

C

tại hai điểm phân biệt

,MN

thì

0m 

. Khi đó

 

1; 1I



luôn là trung điểm của đoạn MN.

Ta có

 

2

22

242322AM AN AM AN AM AN AI AM AN AMAN

       

(*).

Do A cố định nên: nếu ta xét được

AMAN

 

là số dương và trong tam giác AMN có cạnh MN nhỏ nhất

thì tìm được giá trị nhỏ nhất. Mà

 

C

là Hypebol nên khi

 

d

là đường phân giác của góc tạo bởi hai

tiệm cận thì

1

m 

và

 

:dy x

cắt

 

C

tại hai điểm phân biệt

   

0; 0 , 2; 2MN

và MN nhỏ nhất,

ta có:

  

1.3 1 3 6 0AMAN     

 

, hơn nữa

22

32 12 20AM AN 

. Vậy

 

22

min 20 1AM AN m   

.

Cách 2:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của

 

d

cắt và

 

C

:

1 ,1

1

x

mx m x

x

  



2

2 10mx mx m   

(vì

1x 

không là nghiệm).

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì





2

0

10

m

m mm















 





.

Theo định lý Viet ta có:

12

2

1

xx

m

xx

m





















.

Mặt khác

     

 

22

12 1 2

1 1 12 12AM AN x x m x m x        

 



    

 

22

22 2

12 1 2

21

10 1 1 4 1 1 8

m

AM AN m x x m x m x

m





          





 

   

2

22 2

12 12 12

21

18 2 2 2

m

AM AN m x x x x x x

m





       







  

 

22 2

21 21

11

18 2 16 2 16 4 .

mm

AM AN m m m

mm m

m















          





















 

22

min 20 1 1AM AN m m      

.

Câu 2a (1,0 điểm). Cho hàm số





1

1 2019

x

fx



. Tính tỉ số

P

Q

, với

     

' 1 2 ' 2 ... 2019 ' 2019Pf f f  

và

     

' 1 2 ' 2 ... 2019 ' 2019Qf f f    

.

Hướng dẫn

 





 





 





22

1 2019 ln 2019 2019 ln 2019

' ' ',

1 2019

1 2019 1 2019

xx

x

xx

fx fx f x fx x

        







.

Do đó

 

'fx

là hàm số chẵn, suy ra

   

.'g x xf x

là hàm số lẻ.

Vậy nếu

 

2019

1k

P gk







thì

   

2019 2019

11

1

kk

P

Q g k gk P

Q



     



.

Câu 2b (1,0 điểm). Giải phương trình:

 

22

log 3 log 3 1 1xx









.

Hướng dẫn

Đặt

 

2

log 3 1 3 1 2

y

x yx   

, từ phương trình đã cho ta có:

 

2

log 3 1 3 1 2

x

y xy   

. Như thế ta có điều kiện

1

,;

3

xy









 













và ta được hệ phương trình:

3 12

y

x

y



















. Xét hàm

   

1

1 2 3 , ; ' 2 ln 2 3

3

tt

f t tt f t









       













, ta có:

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán Sở GD&ĐT Quảng Bình năm học 2019-2020 để bạn đọc cùng tham khảo và có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 12 nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán Sở GD&ĐT Quảng Bình năm học 2019-2020 vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Đề thi gồm có 5 câu tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 90 phút và có đáp án kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo tại đây.

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán Sở GD&ĐT Quảng Bình năm học 2019-2020, mong rằng qua đây các bạn có thêm tài liệu ôn tập thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 nhé. Mời các bạn tham khảo thêm các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...