Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Hải Dương năm học 2011 - 2012 môn Toán (Vòng 2) - Có đáp án

Vndoc.com xin gửi đến các bạn: Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Hải Dương năm học 2011 - 2012 môn Toán (Vòng 2) - Có đáp án.

Đề thi học sinh giỏi môn Toán:

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2 điểm)

a) Cho hàm số y = x² + 2mx - 3m và hàm số y = -2x + 3. Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.

b) Giải bất phương trình:

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình:

b) Giải phương trình:

Câu 3 (2 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1; 4). Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A (hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B (tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x - 2)² + (y + 3)² = 9 và điểm A(1; -2). Đường thẳng Δ qua A, Δ cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.

Câu 4 (3 điểm)

a) Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD²

b) Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: (trong đó AB=c; AC=b; đường cao qua A là h_a).

Câu 5 (1 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: