Hỏi bài

# Bài Toán Tam Giác ABC và Các Đường Cao

## Đề bài:

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với AB < AC. Các đường cao BD và CE cắt nhau tại M. AM cắt đường tròn ngoại tiếp (O) của tam giác ABC tại N (N khác A). Chứng minh:

1. B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn.

2. MB·MC = MD·ME

3. ∠MDN = ∠MAE

## Hình minh họa:

```

          D

          |

          |

    B-----M-----E

         /|\

        / | \

       / | \

      / | \

     A | C

      \ | /

       \ | /

        \ | /

         \|/

          N

```

*Lưu ý: Đây là hình vẽ đơn giản. Trong thực tế, tam giác ABC là tam giác nhọn, M là giao điểm của các đường cao, và N nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.*

## Hướng dẫn vẽ hình chi tiết:

1. Vẽ tam giác ABC nhọn với AB < AC.

2. Vẽ đường cao BD (vuông góc với AC tại D).

3. Vẽ đường cao CE (vuông góc với AB tại E).

4. Xác định điểm M là giao điểm của BD và CE.

5. Vẽ đường tròn ngoại tiếp (O) của tam giác ABC.

6. Vẽ đường thẳng AM và kéo dài cắt đường tròn (O) tại N (N khác A).

## Chứng minh:

### 1. Chứng minh B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn:

Xét tứ giác BEDC:

- BD là đường cao của tam giác ABC, nên BD ⊥ AC, do đó ∠BDC = 90°.

- CE là đường cao của tam giác ABC, nên CE ⊥ AB, do đó ∠BEC = 90°.

- Tổng hai góc đối của tứ giác BEDC: ∠BDC + ∠BEC = 90° + 90° = 180°.

- Theo tính chất của tứ giác nội tiếp, nếu tổng hai góc đối bằng 180°, thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn.

Vậy tứ giác BEDC nội tiếp trong một đường tròn, hay B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn.

### 2. Chứng minh MB·MC = MD·ME:

Phương pháp 1: Sử dụng tam giác đồng dạng

- Xét tam giác MBE và tam giác MDC:

  - ∠BME = ∠DMC (góc đối đỉnh, bằng nhau)

  - ∠BEM = ∠CDM = 90° (vì CE và BD là đường cao)

  - Theo tiêu chuẩn góc-góc, tam giác MBE đồng dạng với tam giác MDC.

- Từ tính chất đồng dạng, ta có: MB/MD = ME/MC

- Suy ra: MB·MC = MD·ME

Phương pháp 2: Sử dụng định lý lực lượng điểm

- Ta đã chứng minh B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn.

- M là điểm bất kỳ trong mặt phẳng.

- Theo định lý lực lượng điểm đối với đường tròn, với M là điểm bất kỳ và MB, MC, MD, ME là các đoạn thẳng từ M đến 4 điểm trên đường tròn, ta có: MB·MC = MD·ME.

### 3. Chứng minh ∠MDN = ∠MAE:

Bước 1: Chứng minh ∠AED = ∠ACB

- Tứ giác BEDC nội tiếp (đã chứng minh ở câu 1).

- Trong tứ giác nội tiếp, các góc đối bù nhau bằng 180°: ∠BEC + ∠BDC = 180°.

- ∠BEC = 90° và ∠BDC = 90° (vì CE và BD là đường cao).

- Góc ngoài của tứ giác nội tiếp bằng góc trong đối: ∠AED = ∠ACB.

Bước 2: Chứng minh ∠ACB = ∠ANB

- A, B, C, N đều nằm trên đường tròn (O).

- Trong đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau.

- ∠ACB và ∠ANB cùng chắn cung AB trên đường tròn (O).

- Do đó: ∠ACB = ∠ANB.

Bước 3: Chứng minh tứ giác DENA nội tiếp

- Từ bước 1 và 2, ta có: ∠AED = ∠ACB = ∠ANB.

- Trong tứ giác DENA, tổng hai góc đối: ∠AED + ∠AND = ∠ANB + ∠AND = 180°.

- Vậy tứ giác DENA nội tiếp được trong một đường tròn.

Bước 4: Chứng minh ∠MDN = ∠MAE

- Trong tứ giác nội tiếp DENA, các góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau.

- ∠MDN và ∠MAE cùng chắn cung AE của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DENA.

- Do đó: ∠MDN = ∠MAE.

## Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh được cả ba yêu cầu của bài toán:

1. B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn (do tổng hai góc đối bằng 180°).

2. MB·MC = MD·ME (do tam giác MBE đồng dạng với tam giác MDC).

3. ∠MDN = ∠MAE (do cùng chắn cung AE trong tứ giác nội tiếp DENA).

Bài toán này sử dụng nhiều tính chất quan trọng trong hình học phẳng như: tính chất của đường cao trong tam giác nhọn, tính chất của tứ giác nội tiếp, định lý lực lượng điểm, và tính chất của các góc nội tiếp cùng chắn một cung.

Tôi rất tiếc khi bạn gặp vấn đề không tải được file MP3 dù đã mua gói. Dưới đây là một số nguyên nhân phổ biến và cách khắc phục:

**1. Kiểm tra điều khoản và tính năng của gói dịch vụ:**

   - Một số gói dịch vụ chỉ cho phép nghe trực tuyến mà không cho phép tải về

   - Xem lại mô tả gói dịch vụ bạn đã mua để xác nhận quyền tải xuống

**2. Kiểm tra trạng thái tài khoản:**

   - Đảm bảo tài khoản của bạn vẫn còn hiệu lực

   - Kiểm tra xem thanh toán đã được xử lý thành công chưa

**3. Kiểm tra giới hạn tải xuống:**

   - Nhiều dịch vụ giới hạn số lượng file có thể tải trong một khoảng thời gian

   - Nếu đã đạt giới hạn, bạn có thể cần đợi hoặc nâng cấp gói

**4. Kiểm tra kết nối internet:**

   - Đảm bảo kết nối internet ổn định và đủ mạnh

   - Thử tải xuống từ một mạng khác nếu có thể

**5. Kiểm tra dung lượng lưu trữ:**

   - Đảm bảo thiết bị có đủ dung lượng để lưu file

   - Giải phóng không gian nếu cần thiết

**6. Kiểm tra trình duyệt/ứng dụng:**

   - Cập nhật ứng dụng lên phiên bản mới nhất

   - Xóa bộ nhớ cache và cookie trong trình duyệt

   - Thử đăng xuất và đăng nhập lại

   - Thử sử dụng trình duyệt hoặc ứng dụng khác

**7. Kiểm tra cài đặt bảo mật:**

   - Kiểm tra xem tường lửa hoặc phần mềm diệt virus có chặn việc tải xuống không

   - Kiểm tra cài đặt bảo mật của trình duyệt hoặc thiết bị

**8. Liên hệ hỗ trợ khách hàng:**

   - Nếu đã thử các cách trên mà vẫn không được, hãy liên hệ trực tiếp với bộ phận hỗ trợ của dịch vụ

   - Cung cấp thông tin chi tiết về vấn đề bạn gặp phải

Để tôi có thể giúp bạn cụ thể hơn, bạn có thể chia sẻ thêm:

- Bạn đã mua gói dịch vụ từ nền tảng nào? (Spotify, Apple Music, Zing MP3, v.v.)

- Bạn đang sử dụng thiết bị gì để tải file?

- Bạn gặp thông báo lỗi cụ thể nào khi cố gắng tải file?

Đáp án đúng là: **B. chủ nghĩa yêu nước và ý chí độc lập tự do**

**Giải thích:**

Hoạt động của ba nhà yêu nước đầu thế kỷ 20 cho thấy nền tảng ngoại giao của Việt Nam dựa trên chủ nghĩa yêu nước và khát vọng độc lập:

1. **Phan Bội Châu**: Thành lập Việt Nam Quang Phục Hội, thực hiện phong trào Đông Du đưa thanh niên sang Nhật Bản học tập, chủ trương bạo động vũ trang để giành độc lập.

2. **Phan Châu Trinh**: Theo đuổi con đường cải cách ôn hòa, phong trào Duy Tân, chú trọng nâng cao dân trí, dân quyền, dân sinh làm nền tảng cho độc lập.

3. **Nguyễn Ái Quốc**: Gửi bản yêu sách đến Hội nghị Versailles (1919), tìm kiếm con đường cứu nước, sau đó tiếp thu chủ nghĩa Mác-Lênin nhưng vẫn dựa trên nền tảng yêu nước.

Mặc dù ba nhà cách mạng có phương pháp khác nhau, nhưng đều xuất phát từ lòng yêu nước sâu sắc và khát vọng giành độc lập tự do cho dân tộc.

**Lý do loại trừ các phương án khác:**

- A. Tranh thủ sự ủng hộ của các nước lớn: Đây chỉ là phương tiện, biện pháp tạm thời, không phải nền tảng tư tưởng chính.

- C. Độc lập dân tộc gắn liền với chủ nghĩa xã hội: Tư tưởng này chỉ rõ nét với Nguyễn Ái Quốc sau khi tiếp xúc với chủ nghĩa Mác-Lênin (1920), không phải nền tảng chung của cả ba nhân vật trong giai đoạn đầu thế kỷ 20.

- D. Giải phóng dân tộc là mục tiêu hàng đầu: Đây là mục tiêu chung nhưng chưa phản ánh đầy đủ nền tảng tư tưởng và phương pháp ngoại giao.

a. Nhận xét hành vi của S:

- S không nên bắt nạt vì điều đó đã vi phạm nội quy của nhà trường, hơn nữa S lại bắt nạt Đ bằng một cách hết sức vô lý, không thể chấp nhận được.

Nhận xét hành vi của T:

- Trước tiên, tuyên dương T đã biết yêu thương, lo lắng cho bạn của mình. Nhưng việc làm của T lại sai vì cũng như không khác gì T vẫn đang ở trong vai của S cả. Vậy nên, cách tốt nhất là nên khuyên bảo cậu ta hoặc báo cho giáo viên tuyên truyền về việc bắt nạt học đường.

b. Em sẽ nói:

- Các cậu cần báo cho thầy cô, cha mẹ phụ huynh biết để giải quyết kịp thời. Đồng thời hãy nhắn nhở và nêu tác hại của việc về bạo lực học đường. Thông báo cho thầy cô tuyên truyền về bắt nạt học đường.

Xe máy hoạt động dựa trên nguyên lý thứ nhất nhiệt động lực học

im: gỗ lim, lim dim, mím môi, con nhím,..

iêm: kiếm tìm, chiếm đoạt, kiếm, châm biếm,

**Bài toán: Tìm số kẹo của Hoa**

**Phân tích đề bài:**

- Lan có 35 viên kẹo

- Bình có 45 viên kẹo

- Hoa có số kẹo ít hơn trung bình cộng số kẹo của cả 3 bạn là 6 viên

- Cần tìm: Số kẹo của Hoa

**Phương pháp giải:**

Gọi số kẹo của Hoa là x viên.

**Bước 1: Tính tổng số kẹo của Lan và Bình**

Tổng số kẹo của Lan và Bình = 35 + 45 = 80 viên

**Bước 2: Tính tổng số kẹo của cả 3 bạn**

Tổng số kẹo của cả 3 bạn = 80 + x viên

**Bước 3: Tính trung bình cộng số kẹo của cả 3 bạn**

Trung bình cộng = (Tổng số kẹo) ÷ 3 = (80 + x) ÷ 3 viên

**Bước 4: Thiết lập phương trình từ điều kiện đề bài**

Theo đề bài, số kẹo của Hoa ít hơn trung bình cộng số kẹo của cả 3 bạn là 6 viên.

Điều này có nghĩa là: Số kẹo của Hoa = Trung bình cộng - 6

Thay vào ta có phương trình:

x = (80 + x) ÷ 3 - 6

**Bước 5: Giải phương trình**

x = (80 + x) ÷ 3 - 6

Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số:

3x = 80 + x - 18

3x = 62 + x

Chuyển x từ vế phải sang vế trái:

3x - x = 62

2x = 62

Chia cả hai vế cho 2:

x = 31

**Bước 6: Kiểm tra lại kết quả**

- Tổng số kẹo của cả 3 bạn: 35 + 45 + 31 = 111 viên

- Trung bình cộng số kẹo: 111 ÷ 3 = 37 viên

- Số kẹo của Hoa: 31 viên

- Số kẹo của Hoa ít hơn trung bình cộng: 37 - 31 = 6 viên (đúng với đề bài)

**Kết luận:** Hoa có 31 viên kẹo.

# Bài toán tìm điểm M thỏa mãn điều kiện khoảng cách

## Đề bài

Cho điểm A có tọa độ (-2; 3) và đường thẳng delta: 2x + y + 1 = 0. Tìm điểm M thuộc trục OX sao cho khoảng cách từ M đến A bằng căn bậc hai của 5 lần khoảng cách từ M đến delta.

## Giải

### Bước 1: Xác định tọa độ của điểm M

Vì M thuộc trục OX nên tọa độ của M có dạng M(x; 0), với x cần tìm.

### Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến A

Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm M(x; 0) và A(-2; 3):

$$MA = \sqrt{(x-(-2))^2 + (0-3)^2} = \sqrt{(x+2)^2 + 9} = \sqrt{x^2 + 4x + 4 + 9} = \sqrt{x^2 + 4x + 13}$$

### Bước 3: Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng delta

Đường thẳng delta có phương trình: 2x + y + 1 = 0

Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

$$d(M, delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Với M(x; 0), ta có:

$$d(M, delta) = \frac{|2x + 0 + 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|2x + 1|}{\sqrt{5}}$$

### Bước 4: Thiết lập phương trình theo điều kiện đề bài

Theo đề bài, khoảng cách từ M đến A bằng căn bậc hai của 5 lần khoảng cách từ M đến delta:

$$MA = \sqrt{5} \cdot d(M, delta)$$

Thay các biểu thức đã tính vào:

$$\sqrt{x^2 + 4x + 13} = \sqrt{5} \cdot \frac{|2x + 1|}{\sqrt{5}}$$

Rút gọn:

$$\sqrt{x^2 + 4x + 13} = |2x + 1|$$

### Bước 5: Giải phương trình

Bình phương hai vế để loại bỏ căn:

$$(x^2 + 4x + 13) = (2x + 1)^2$$

$$x^2 + 4x + 13 = 4x^2 + 4x + 1$$

$$x^2 + 4x + 13 - 4x^2 - 4x - 1 = 0$$

$$-3x^2 + 12 = 0$$

$$3x^2 = 12$$

$$x^2 = 4$$

$$x = \pm 2$$

Vậy có hai giá trị của x: x = 2 hoặc x = -2

### Bước 6: Kiểm tra lại các nghiệm

**Kiểm tra với x = 2 (điểm M₁(2; 0)):**

- MA = √[(2+2)² + 9] = √[16 + 9] = √25 = 5

- d(M, delta) = |2×2 + 1|/√5 = 5/√5 = √5

- MA = 5 và √5 × d(M, delta) = √5 × √5 = 5

- Vậy MA = √5 × d(M, delta) ✓

**Kiểm tra với x = -2 (điểm M₂(-2; 0)):**

- MA = √[(-2+2)² + 9] = √[0 + 9] = 3

- d(M, delta) = |2×(-2) + 1|/√5 = |-3|/√5 = 3/√5

- MA = 3 và √5 × d(M, delta) = √5 × (3/√5) = 3

- Vậy MA = √5 × d(M, delta) ✓

## Kết luận

Có hai điểm M thuộc trục OX thỏa mãn điều kiện đề bài:

- M₁(2; 0)

- M₂(-2; 0)