Cho tam giác ABC cân tại A, D trên cạnh AB, E trên cạnh AC sao cho BD = CE

a) Tam giác ABC cân tại A => AB = AC

AB = AD + DB

AC = AE + EC

DB = EC

=> AD = AE

Xét tam giác ABC có \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)

=> DE // BC (talet đảo)

b) Xét tam giác ABE và tam giác ACD có:

AE = AD

Góc A chung

AB = AC

=> Tam giác ABE = tam giác ACD

c) Ta có tam giác ABE = tam giác ACD (cmt)

=> \(\hat{AEB}=\hat{ADC}\) (2 góc tương ứng)

\(\hat{AEB}+\hat{BEC}=180^{\circ}\) (2 góc kề bù)

\(\hat{ADC}+\hat{CDB}=180^{\circ}\) (2 góc kề bù)

=> \(\hat{BDC}=\hat{CEB}\)

Xét tam giác BID và tam giác CIE có:

\(\hat{DBI}=\hat{ECI} (\triangle ABE=\triangle ACD)\)

BD = CE

\(\hat{BDI}=\hat{CEI}\)

=> tam giác BID = tam giác CIE (gcg)

d) tam giác BID = tam giác CIE (cmt)

=> BI = CI (2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ABI và tam giác ACI có:

AB = AC

BI = CI

AI chung

=> tam giác ABI = tam giác ACI (c.c.c)

=> \(\hat{BAI}=\hat{CAI}\) (2 góc tương ứng)

=> AI là tia phân giác góc BAC

e) Ta có:

AB = AC

IB = IC

=> AI là đường trung trực của BC

=> AI vuông góc với BC