Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm học 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế

1
GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THỪA THIÊN HU
NĂM HỌC 2018 - 2019.
(Lời giải gồm 05 trang)
C©u 1:
(4,0 ®iÓm)
Cho hµm
2 1
1
x
y
x
®å thÞ
.C
Gäi
I
giao ®iÓm hai ®êng tiÖm cËn cña ®å
thÞ
.C
TiÕp tuyÕn t¹i
M
cña ®å thÞ
C
c¾t hai ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ
C
lÇn lît t¹i
hai ®iÓm
A
.B
a) Chøng minh
M
lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng
b)
X¸c ®Þnh täa ®é ®iÓm
M
®Ó chu vi tam gi¸c
IAB
nhá nhÊt.
Gi¶i:
a) Ta cã
2
1
.
1
y
x
Gäi
2 1
; 1
1
a
M a a
a
lµ tiÕp ®iÓm.
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn
d
cña ®å thÞ
C
t¹i ®iÓm
M
lµ:
2
1 2 1
1
1
a
y x a
a
a
.
Gi¶ sö
,A B
lÇn lît lµ giao ®iÓm cña
d
víi ®êng tiÖm cËn ®øng vµ tiÖm cËn ngang.
Suy ra:
2
1; , 2 1;2
1
a
A B a
a
Khi ®ã:
1 2 1 2 2
2 4 2
2 2
1 1
A B M
A B M
x x a a x
M
a a
y y y
a a
lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng
b) Ta cã
2
; 2 1 . 4
1
IA IB a IA IB
a
Tam gi¸c
IAB
vu«ng t¹i
I
nªn:
2 2
2 . 2 . 4 2 2
IA IB AB IA IB IA IB IA IB IA IB
VËy chu vi tam gi¸c
IAB
nhá nhÊt b»ng
4 2 2
khi vµ chØ khi:
0 0;1
2
2 1
1
2 2;3
a M
IA IB a
a
a M
C©u 2:
(4,0 ®iÓm)
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh
3
2 2 cos 2 sin 2 cos 4sin 0 .
4 4
x x x x x
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh
2 2
2 3 1 6 2 2 9 0 .
x x x x x x x
Gi¶i:
a) Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi:
1 1 1 1
2 2 cos sin cos sin sin 2 cos sin 4 sin cos 0
2 2 2 2
x x x x x x x x x
4 cos sin cos sin sin 2 cos sin 4 sin cos 0
cos sin 0 1
4 cos sin sin 2 4 0 2
x x x x x x x x x
x x
x x x
2
*Ta cã
1 tan 1 .
4
x x k k
*Gi¶i (2): §Æt
2
cos sin 2 cos 2; 2 sin 2 1
4
t x x x x t
Ph¬ng tr×nh trë thµnh:
2 2
1
4 1 4 0 4 3 0
3 ( )
t
t t t t
t loai
Víi
1t
ta cã
2
2 cos 1
4
2
2
x k
x k
x k
VËy ph¬ng tr×nh ban ®Çu cã 3 hä nghiÖm lµ
; 2 ; 2
4 2
x k x k x k k
b) §Æt
2
2 2
2 2
2
2 9 0
3
2 3
2
6 0
u x x
u v
u v x x
v x
Ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh:
2 2 2 2
2 2
1 1
. . 0
2 2
u v u v
u v v u
2 2 2 2
2
2 0
0
1 ( )
2 1 0
u v u v u v u v
u v
u v
u v vn
u v u v
Víi
u v
ta cã
2 2
3
6 2 9 .
2
x x x x
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 1 nghiÖm lµ
3
.
2
x
C©u 3:
(4,0 ®iÓm)
a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
3 3 2
3 2
3 4 2 0
, .
2 5 3 3 10 10
x y x x y
x y
x y x y x x y
b) Cho tËp
0;1;2;3;4;5;6 .
A
Gäi
S
tËp hîp c¸c nhiªn gåm 5 ch÷ kh¸c
nhau ®îc chän tõ c¸c phÇn tö cña tËp
.A
Chän ngÉu nhiªn 1 tõ tËp
S
. TÝnh x¸c
suÊt ®Ó sè ®îc chän chia hÕt cho 15.
Gi¶i:
a) §iÒu kiÖn
2 5 0
3 0
x y
x y
Ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ t¬ng ®¬ng:
3
3
1 1
x x y y
 
2
2
1 1 1 1 0
1
x y x y x y
y x
Thay
1y x
vµo ph¬ng tr×nh thø hai cña hÖ ta ®îc ph¬ng tr×nh:
3 2
3 4 4 2 3 10
5
5 2
3 4 4 2
0
5 2 3 4 4 2 5 (*)
x x x x x
x
x x x
x x
x
x x x x
3
Do
4
2
3
x
nªn
* 0
VT
nªn ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm.
b) Gäi
1 2 3 4 5
n a a a a a
lµ sè tù nhiªn cÇn t×m, trong ®ã c¸c ch÷ sè lÊy tõ tËp
.A
*Sè phÇn tö cña tËp S lµ sè c¸c sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè víi c¸c ch÷ sè kh¸c nhau lÊy tõ tËp A.
Ta cã
4
6
6 2160
n S A
*Do
n
chia hÕt cho 15 nªn
n
chia hÕt cho 3 vµ 5. Suy ra:
5
0
a
hoÆc
5
5.
a
TH1:
5 1 2 3 4
0 0a n a a a a
trong ®ã 4 sè
1 2 3 4
, , ,a a a a
lÊy tõ tËp
1;2;3;4;5;6
Khi ®ã ®Ó n chia hÕt cho 3 th×
1 2 3 4
3
a a a a
Do 4 sè
1 2 3 4
, , ,a a a a
lÊy tõ tËp
1;2;3;4;5;6
nªn x¶y ra 2TH sau:
i) Trong 4 sè ®ã gåm: hai sè chia hÕt cho 3, mét sè chia 3 d 1, mét sè chia 3 d 2
Cã tÊt c¶:
2
4
.2.2.2 96
A
sè.
ii) Trong 4 sè ®ã gåm: hai sè chia 3 d 1, hai sè chia 3 d 2
Cã tÊt c¶:
2
4
.2.2 48
A
sè.
TH2:
5 1 2 3 4
5 5a n a a a a
trong ®ã 4 sè
1 2 3 4
, , ,a a a a
lÊy tõ tËp
0;1;2;3;4;6
Khi ®ã ®Ó n chia hÕt cho 3 th×
1 2 3 4
a a a a
chia 3 d 1.
Do 4 sè
1 2 3 4
, , ,a a a a
lÊy tõ tËp
0;1;2;3;4;6
nªn x¶y ra 2TH sau:
iii) Trong 4 sè ®ã gåm: ba sè chia hÕt cho 3, mét sè chia 3 d 1
*NÕu
1
3
a
th×
2 3 4
, ,a a a
lµ c¸c sè trong bé ba sè
 
0;6;1 , 0;6;4
nªn cã
3! 3! 12
*NÕu
1
6
a
th×
2 3 4
, ,a a a
lµ c¸c sè trong bé ba sè
 
0;3;1 , 0;3;4
nªn cã
3! 3! 12
*NÕu
1
1
a
hoÆc
1
4
a
th×
2 3 4
, ,a a a
lµ c¸c sè trong bé ba sè
0;3;6
nªn cã
3! 3! 12
Cã tÊt c¶: 36 sè.
iv) Trong 4 sè ®ã gåm: mét sè chia hÕt cho 3, hai sè chia 3 d 1, mét sè chia 3 d 2
*NÕu
1
3
a
hoÆc
1
6
a
th×
2 3 4
, ,a a a
lµ c¸c sè trong bé ba sè
1;2;4
nªn cã
3! 3! 12
*NÕu
1
1
a
th×
2 3 4
, ,a a a
lµ c¸c sè trong bé ba sè
   
2;4;6 , 2;4;3 , 2;4;0
nªn cã
3.3! 18
*NÕu
1
2
a
hoÆc
1
4
a
th× t¬ng tù ®Òu cã 18 sè tháa m·n.
Cã tÊt c¶:
12 18.3 66
sè.
VËy x¸c suÊt cÇn tÝnh lµ:
96 48 36 66 41
.
2160 360
Bµi 4:
(3,0 ®iÓm)
Trong mÆt ph¼ng täa ®é
,Oxy
cho ®êng th¼ng
:5 2 19 0
x y
®êng trßn
2 2
: 4 2 0.
C x y x y
mét ®iÓm
M
n»m trªn ®êng th¼ng
hai tiÕp tuyÕn
,
MA MB
®Õn ®êng trßn
C
víi
,A B
lµ hai tiÕp ®iÓm. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ngo¹i
tiÕp tam gi¸c
AMB
biÕt
10.
AB
Gi¶i:
*C¸c tam gi¸c
,
IAM IBM
c¸c tam gi¸c vu«ng nªn ®êng trßn ®êng kÝnh
IM
®i qua hai
®iÓm
,A B
nªn ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c
AMB
lµ ®êng trßn ®êng kÝnh
IM
.
*§êng trßn
C
cã t©m
2;1
I
b¸n kÝnh
5
R

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm học 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế. Tài liệu gồm 6 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 180 phút, đề thi có đáp án. Mời các bạn học sinh tham khảo.

---------------------------

Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12, Tài liệu học tập lớp 12VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Đánh giá bài viết
1 812
Thi học sinh giỏi lớp 12 Xem thêm