Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 - 2019 trường Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc
Đề thi HSG Toán 12 có đáp án
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2
KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
NĂM HỌC 2018-2019
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2.5 điểm).
a) Cho hàm số
322
342yx mx m có đồ thị là
m
C . Tìm m để đồ thị hàm số
m
C có
hai điểm cực trị
,
A
B sao cho diện tích tam giác
A
BC
bằng 4 với điểm
1; 4 .C
b) Cho hàm số
24
1
x
y
x
có đồ thị là
C
và hai điểm
3; 0 , 1; 1MN
. Tìm trên đồ thị
hàm số
C hai điểm ,
A
B sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng
M
N
.
Câu 2 (2.0 điểm).
a) Giải phương trình:
2
4cos 1 sin 2 3 cos cos 2 1 2sin .
x
xxxx
b) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác
suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn
5
.
6
Câu 3 (1.0 điểm).Giải hệ phương trình
22 2
22
3252 121 22
,
2243
xx xx y yy
xy
xyxy
Câu 4 (1.5 điểm).
Cho hình hộp đứng
111 1
.ABCD A B C D có các cạnh
1
2, 3AB AD AA
và góc
0
60BAD
. Gọi
,
M
N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
11
AD
và
11
.AB
a) Chứng minh rằng
1
AC vuông góc với mặt phẳng
BDMN .
b) Tính thể tích khối chóp .
A
BDMN .
Câu 5 (1.0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD , đáy
A
BCD là hình chữ nhật có 3, 6,
A
BBC
mặt phẳng
SAB vuông góc với đáy, các mặt phẳng
SBC và
SCD cùng tạo với mặt
phẳng
ABCD
các góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng
6. Tính thể tích khối chóp .S ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SA và .BD
Câu 6 (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy , cho tam giác
A
BC ngoại tiếp đường
tròn tâm
2;1 .J Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác
A
BC
có phương trình:
2100
x
y và
2; 4D là giao điểm thứ hai của
AJ
với đường tròn ngoại tiếp tam giác
.ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết B có hoành độ âm và B thuộc đường
thẳng có phương trình
70.
x
y
Câu 7 (1.0 điểm). Cho các số thực dương ,,abcthỏa mãn
1abc
.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
222
7 121
14
A
abc abbcca
.
------------------- Hết -------------------
- Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………………………….; Số báo danh:………………
Trang 1/6, HDC HSG12-Môn Toán
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài thí
sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với
phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu 1.a (1.25 điểm)
Cho hàm số
322
342yx mx m có đồ thị là
m
C . Tìm
m
để đồ thị
hàm số
m
C
có hai điểm cực trị
,
A
B sao cho diện tích tam giác
A
BC bằng 4 với điểm
1; 4 .C
Nội dung Điểm
TXĐ: .
D
Đạo hàm:
2
'3 6yxmx
2
0
'0 3 6 0 .
2
x
yxmx
x
m
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì 0.m
0.25
Tọa độ hai điểm cực trị là
232
0;42,2;442.Am Bmmm
Ta có:
3264
2;4 4 16 2 14 .AB m m AB m m m m
Phương trình đường
22
:2 4 2 0.AB m x y m
0.5
2
4
62
;
14
m
dCAB
m
, suy ra
3
1
;. 62
2
ABC
SdCABABmm
.
0.25
Do đó
3
1
62 4 .
2
m
mm
m
0.25
Câu 1.b (1.25 điểm) Cho hàm số
24
1
x
y
x
có đồ thị là
C và hai điểm
3; 0 , 1; 1MN
. Tìm trên đồ thị hàm số
C
hai điểm ,
A
B sao cho chúng đối xứng
nhau qua đường thẳng
M
N
.
Nội dung Điểm
Phương trình đường :230
M
Nx y.
Phương trình đường
:2AB y x m.
0.25
Khi đó hai điểm ,
A
B có hoành độ thỏa mãn:
24
2
1
x
x
m
x
. ĐK: 1.
x
Pt
2
2401xmxm
0.25
Trang 2/6, HDC HSG12-Môn Toán
Để đường
A
B
cắt
C tại hai điểm phân biệt thì pt
1 có hai nghiệm phân biệt
khác -1
2
0443
8320 .
240
443
m
mm
mm
m
Trung điểm
I
của đoạn
A
B
có tọa độ
12
12
;
2
xx
x
xm
với
12
,
x
x là nghiệm
của pt
1. Mà
12
2
m
xx nên
;
42
mm
I
.
0.5
Ta có:
I
MN nên 2. 3 0 4
42
mm
m
( thỏa mãn).
Suy ra
0; 4 , 2;0AB
hoặc
2;0 , 0; 4 .AB
0.25
Câu 2.a
(1.0 điểm)
2
4cos 1 sin 2 3 cos cos2 1 2sin .
x
xxxx
Nội dung Điểm
Phương trình tương đương với:
22
2sin (2cos 1) 2 3 cos cos2 4cos 1 0.xx xx x
0.25
22
2sin cos 2 2 3 cos cos 2 3cos sin 0
2cos2 sin 3cos 3 cos sin 3 cos sin 0
3cos sin 2cos2 3cos sin 0
xx xx x x
xx x x x x x
xx x xx
0.25
+)
3cos sin 0 tan 3 .
3
x
xxxk
0.25
+)
5
2
5
6
2cos2 3 cos sin 0 cos2 cos .
52
6
18 3
xk
xxx xx
k
x
Vậy phương trình có nghiệm:
3
x
k
,
552
2, .
6183
k
xkx
0.25
Câu 2.b (1.0 điểm) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao
nhiêu thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn
5
.
6
Nội dung Điểm
Trong 9 thẻ đã cho có hai thẻ ghi số chia hết cho 4 (các thẻ ghi số 4 và 8), 7 thẻ còn
lại ghi số không chia hết cho 4.
Giả sử rút
19;xxx , số cách chọn
x
từ 9 thẻ trong hộp là
9
x
C , số phần tử
của không gian mẫu là:
9
.
x
C
0.25
Gọi
A
là biến cố:” Trong số
x
thẻ rút ra, có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4”
Suy ra
A
là biến cố:” Lấy
x
tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho 4”
Số cách chọn tương ứng với biến cố
A
là
7
x
A
C
Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 - 2019
VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 - 2019 trường Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc. Tài liệu gồm 7 bài tập tự luận, thời gian làm bài 180 phút, đề thi có lời giải chi tiết. Mời các bạn học sinh cùng tham khảo.
Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2017 - 2018, Sở GD&ĐT Bình Phước
Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm học 2017 - 2018 tỉnh Hải Dương
Đề thi học kì 1 Giải tích 12 năm 2018 - 2019 trường THPT Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An
Đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2018 - 2019 trường THPT Lê Thanh Hiền - Tiền Giang
Đề thi HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Thái Nguyên
---------------------------
Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12, Tài liệu học tập lớp 12 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.
