VnDoc.com

Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 - 2019 trường Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc

Đề thi HSG Toán 12 có đáp án

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

NĂM HỌC 2018-2019

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2.5 điểm).

a) Cho hàm số

322

342yx mx m   có đồ thị là



m

C . Tìm m để đồ thị hàm số



m

C có

hai điểm cực trị

,

A

B sao cho diện tích tam giác

A

BC

bằng 4 với điểm



1; 4 .C

b) Cho hàm số

24

1

x

y

x







có đồ thị là



C

và hai điểm

 

3; 0 , 1; 1MN

. Tìm trên đồ thị

hàm số



C hai điểm ,

A

B sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng

M

N

.

Câu 2 (2.0 điểm).

a) Giải phương trình:



2

4cos 1 sin 2 3 cos cos 2 1 2sin .

x

xxxx 

b) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác

suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn

5

.

6

Câu 3 (1.0 điểm).Giải hệ phương trình



22 2

22

3252 121 22

,

2243

xx xx y yy

xy

xyxy



   















Câu 4 (1.5 điểm).

Cho hình hộp đứng

111 1

.ABCD A B C D có các cạnh

1

2, 3AB AD AA 

và góc



0

60BAD 

. Gọi

,

M

N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

11

AD

và

11

.AB

a) Chứng minh rằng

1

AC vuông góc với mặt phẳng



BDMN .

b) Tính thể tích khối chóp .

A

BDMN .

Câu 5 (1.0 điểm). Cho hình chóp .S ABCD , đáy

A

BCD là hình chữ nhật có 3, 6,

A

BBC

mặt phẳng



SAB vuông góc với đáy, các mặt phẳng



SBC và



SCD cùng tạo với mặt

phẳng



ABCD

các góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng

6. Tính thể tích khối chóp .S ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SA và .BD

Câu 6 (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ



Oxy , cho tam giác

A

BC ngoại tiếp đường

tròn tâm



2;1 .J Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác

A

BC

có phương trình:

2100

x

y  và



2; 4D  là giao điểm thứ hai của

AJ

với đường tròn ngoại tiếp tam giác

.ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết B có hoành độ âm và B thuộc đường

thẳng có phương trình

70.

x

y

Câu 7 (1.0 điểm). Cho các số thực dương ,,abcthỏa mãn

1abc

.Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức



222

7 121

14

A

abc abbcca



 

.

------------------- Hết -------------------

- Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……………………………………………….; Số báo danh:………………

Trang 1/6, HDC HSG12-Môn Toán



SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

I. LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài thí

sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với

phần đó.

II. ĐÁP ÁN:

Câu 1.a (1.25 điểm)

Cho hàm số

322

342yx mx m   có đồ thị là



m

C . Tìm

m

để đồ thị

hàm số



m

C

có hai điểm cực trị

,

A

B sao cho diện tích tam giác

A

BC bằng 4 với điểm



1; 4 .C

Nội dung Điểm

TXĐ: .

D

 

Đạo hàm:

2

'3 6yxmx

2

0

'0 3 6 0 .

2

x

yxmx

x

m





  







Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì 0.m 

0.25

Tọa độ hai điểm cực trị là

 

232

0;42,2;442.Am Bmmm

Ta có:



3264

2;4 4 16 2 14 .AB m m AB m m m m   



Phương trình đường

22

:2 4 2 0.AB m x y m 

0.5



2

4

62

;

14

m

dCAB

m







, suy ra



3

1

;. 62

2

ABC

SdCABABmm



.

0.25

Do đó

3

1

62 4 .

2

m

mm

m













0.25

Câu 1.b (1.25 điểm) Cho hàm số

24

1

x

y

x







có đồ thị là



C và hai điểm

 

3; 0 , 1; 1MN

. Tìm trên đồ thị hàm số



C

hai điểm ,

A

B sao cho chúng đối xứng

nhau qua đường thẳng

M

N

.

Nội dung Điểm

Phương trình đường :230

M

Nx y.

Phương trình đường

:2AB y x m.

0.25

Khi đó hai điểm ,

A

B có hoành độ thỏa mãn:

24

2

1

x

m

x







. ĐK: 1.

x



Pt



2

2401xmxm

0.25

Trang 2/6, HDC HSG12-Môn Toán



Để đường

A

B

cắt



C tại hai điểm phân biệt thì pt



1 có hai nghiệm phân biệt

khác -1

2

0443

8320 .

240

443

m

mm

m



  



















Trung điểm

I

của đoạn

A

B

có tọa độ

12

;

2

xx

x

xm











với

12

,

x

x là nghiệm

của pt



1. Mà

12

2

m

xx nên

;

42

mm

I









.

0.5

Ta có:

I

MN nên 2. 3 0 4

42

mm

m 

( thỏa mãn).

Suy ra



0; 4 , 2;0AB

hoặc

 

2;0 , 0; 4 .AB

0.25

Câu 2.a

(1.0 điểm)



2

4cos 1 sin 2 3 cos cos2 1 2sin .

x

xxxx 

Nội dung Điểm

Phương trình tương đương với:

22

2sin (2cos 1) 2 3 cos cos2 4cos 1 0.xx xx x  

0.25





22

2sin cos 2 2 3 cos cos 2 3cos sin 0

2cos2 sin 3cos 3 cos sin 3 cos sin 0

3cos sin 2cos2 3cos sin 0

xx xx x x

xx x x x x x

xx x xx

 

  

 

0.25

+)

3cos sin 0 tan 3 .

3

x

xxxk



 

0.25

+)

5

2

5

6

2cos2 3 cos sin 0 cos2 cos .

52

6

18 3

xk

xxx xx

k

x





 





















Vậy phương trình có nghiệm:

3

x

k



  ,

552

2, .

6183

k

xkx







   

0.25

Câu 2.b (1.0 điểm) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao

nhiêu thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn

5

.

6

Nội dung Điểm

Trong 9 thẻ đã cho có hai thẻ ghi số chia hết cho 4 (các thẻ ghi số 4 và 8), 7 thẻ còn

lại ghi số không chia hết cho 4.

Giả sử rút





19;xxx  , số cách chọn

x

từ 9 thẻ trong hộp là

9

x

C , số phần tử

của không gian mẫu là:

9

.

x

C

0.25

Gọi

A

là biến cố:” Trong số

x

thẻ rút ra, có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4”

Suy ra

A

là biến cố:” Lấy

x

tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho 4”

Số cách chọn tương ứng với biến cố

A

là

7

x

A

C

Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 - 2019

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 - 2019 trường Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc. Tài liệu gồm 7 bài tập tự luận, thời gian làm bài 180 phút, đề thi có lời giải chi tiết. Mời các bạn học sinh cùng tham khảo.

Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2017 - 2018, Sở GD&ĐT Bình Phước

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm học 2017 - 2018 tỉnh Hải Dương

Đề thi học kì 1 Giải tích 12 năm 2018 - 2019 trường THPT Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An

Đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2018 - 2019 trường THPT Lê Thanh Hiền - Tiền Giang

Đề thi HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Thái Nguyên

---------------------------

Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12, Tài liệu học tập lớp 12 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.