Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Bắc Ninh năm 2012 - 2013

Câu 1. (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

1. Rút gọn biểu thức P

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho parabol (P) có phương trình y = x² và đường thẳng d có phương trình y = kx + 1 (k là tham số). Tìm k để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN = 2√10.

2. Giải hệ phương trình:
(Với x, y, z là các số thực dương).

Câu 3. (3,0 điểm)

1. Giải phương trình nghiệm nguyên: x⁴ - 2y⁴ - x²y² - 4x² - 7y² - 5 = 0.

2. Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1; a² + b² + c² = 1; a³ + b³ + c³ = 1

Chứng minh rằng: a²⁰¹³ + b²⁰¹³ + c²⁰¹³ = 1.

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP của đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm).

1. Dựng điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.

2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn thuộc đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d.

Câu 5. (3,0 điểm)

1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn a2 + b2 = [a, b] + 7(a, b) (với [a,b] = BCNN(a,b), (a,b) = ƯCLN(a,b)).

2. Cho tam giác ABC thay đổi có AB = 6, AC = 2BC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.