Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Quảng Bình năm học 2012 - 2013 môn Toán - Có đáp án

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu 1: (2.0 điểm)

Cho biểu thức:

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2: (2.0 điểm)

Cho phương trình: x² - 2mx + m - 4 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x₁³ + x₂³ = 26(m)

b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.

Câu 3: (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC đều cố định nội tiếp trong đường tròn (O). Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt cung nhỏ AB tại điểm thứ hai là E (E A). Đường thẳng d cắt hai tiếp tại B và C của đường tròn (O) lần lượt tại M và N. MC cắt BN tại F. Chứng minh rằng:

a) Tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA, tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN.

b) Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm có định khi d thay đổi nhưng luôn đi qua A.

Câu 4: (1,5 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c =6.

Chứng minh rằng: . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n⁴ + 4ⁿ là hợp số.