Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB

a) Theo bài ra ta có:

AB là đường kính của đường tròn tâm O

=> $AM\mathrm{\perp }MB$ (tính chất)

=> $\widehat{DMA}=\widehat{DCA}={90}^0$

=> Tứ giác ACMD nội tiếp đường tròn.

Ta lại có: $\widehat{BCK}=\widehat{BMK}={90}^0$

=> Tứ giác BCKM nội tiếp đường tròn.

b) Xét tam giác CKA và tam giác CBD ta có:

$\begin{array}{c}\widehat{BCK}=\widehat{BMK}={90}^0\hfill \\ \widehat{KAC}=\widehat{MAC}=\widehat{MDC}=\widehat{BDC}\hfill \\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }CAK\sim \mathrm{\Delta }CDB\left(g-g\right)\hfill \\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{AC}{DC}}={\displaystyle \frac{KC}{BC}}\hfill \end{array}$

=> KC . DC = AC . BC

c) Ta có: N thuộc (O)

=> $AN\mathrm{\perp }BN=>BN\mathrm{\perp }AD$ (1)

Do $AM\mathrm{\perp }BD;BN\mathrm{\perp }AD,AM\cap BN=\left\{K\right\}$ nên K là trực tâm tam giác DAB

=> $BK\mathrm{\perp }AD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm B, K, N thẳng hàng