VnDoc.com

Lý thuyết và bài tập Toán 11: Giới hạn của hàm số

Ôn tập kiến thức Toán lớp 11

Tải về

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

VnDoc. com - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Các giới hạn đặc biệt

1)

0

lim

xx





2)

0

lim

xx

CC





( C: hằng số)

3)

lim 0

k

x

c

x





(c: hằng số,

*k ¥

) 4)

1

lim 0

k

x





5)

lim

k

x



 

(

*k ¥

) 6)

lim

k

x

















neu k chan

neu k le

Định lí về giới hạn ở hữu hạn

 Định lí 1.

- Nếu

0

lim ( )

xx

f x L





và

0

lim ( )

xx

g x M





, thì:



0

lim . ( ) .

xx

c f x c L





(với C là hằng số)



0

lim[ ( ) ( )]

xx

f x g x L M



  



0

lim[ ( ) ( )]

xx

f x g x L M



  



0

lim[ ( ). ( )] .

xx

f x g x L M







0

()

lim

()

xx

f x L

g x M





(M



0)



0

lim ( )

xx

f x L







0

3

lim ( )

xx

f x L







Nếu

0

lim ( )

xx

fx



 

thì

0

xx

1

lim 0

f(x)





- Nếu

 

0fx

và

0

lim ( )

xx

f x L





thì

0L 

và

0

lim ( )

xx

f x L







Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi

x  

 Định lí 2.

0

00

lim ( ) lim ( ) lim ( )

xx

x x x x

f x L f x f x L







   

 Định lí 3. Định lí kẹp: Giả sử J là một khoảng chứa x

0

và f, g, h là ba hàm số xác

định trên tập hợp

 

0

\Jx

. Nếu

     

f x g x h x

,

 

0

\x J x

và

00

lim ( ) lim ( )

x x x x

f x h x L





thì

)

0

xx

lim g(x L





.

 Quy tắc về giới hạn vô cực

 Quy tắc tìm giới hạn của tích

   

.f x g x

 Quy tắc tìm giới hạn của thương

f(x)

g(x)

0

lim ( )

xx

x

fx







0

lim ( )

xx

x

gx







0

lim ( ). ( )

xx

x

f x g x







L > 0

+



+











L < 0

+











+



0

lim ( )

xx

x

fx







0

lim ( )

xx

x

gx







Dấu

của

 

gx

0

()

lim

()

xx

x

fx

gx







L





Tùy ý

0

L > 0

0

+







L < 0

0

+







+



BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

a)

2

35

lim

1

x





b)

4

1

lim

3

x





c)

32

3

lim( 2 1)

x

x x x



   

VnDoc. com - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Bài 2: Tính các giới hạn sau:

a)

2

35

lim

1

x







;

3

1

lim

3

x







b)

3

21

lim

3

x









;

3

21

lim

3

x









;

3

21

lim

3

x







c)

2

lim

2

x







;

2

lim

2

x







;

2

lim

2

x





Bài 3: Cho hàm số:

2

3

2 3 2

()

4 29 2

x x khi x

fx

x khi x



  









. Tính

2

lim ( )

x

fx





,

2

lim ( )

x

fx





và

0

lim ( )

x

fx



(nếu có)

Bài 4: Cho hàm số:

2

2 1 1

()

2 1 1

x khi x

fx

x khi x



  







  





. Tính

( 1)

lim ( )

x

fx





,

( 1)

lim ( )

x

fx





và

1

lim ( )

x

fx



(nếu có)

Bài 5: Cho hàm số:

2

4 5 2

()

7 4 2

x x khi x

fx

x a khi x











  





. Tìm a để hàm số có giới hạn khi x  2.

Bài 6: Tính các giới hạn sau:

a)

52

lim

31

x







b)

32

lim( 2 1)

x

x x x



   

c)

42

lim( 1)

x

x x x



  

d)

22

2

3 5 7

lim

1

x

xx







e)

2

51

lim

34

x

xx

x



  



f)

2

3

lim

27

x

xx







g)

2

lim 2 3 12

x

xx





Bài 7: Tính các giới hạn sau:

a)

2

lim

23

x

x x x

x







b)

2

2 7 1

lim

37

x

xx

x







c)

2

2 3 4

lim

4 1 1

x

x x x

xx



  

  

Bài 8: Tính các giới hạn sau:

a)

2

lim

4

x





b)

2

3

2 5 3

lim

3

x

xx

x







c)

2

3

43

lim

9

x

xx

x







d)

53

2

1

2

lim

1

x

xx

x







e)

54

3

1

4 5 1

lim

( 1)( 2)

x

xx

x x x





  

f)

1

lim

1

n

x





Bài 9:Tính các giới hạn sau:

a)

9

3

lim

9

x





b)

0

24

lim

x





c)

2

1

21

lim

x

xx







d)

( 2)

8 2 2

lim

2

x









e)

2

1

2 1 3 1

lim

1

x

x x x

x



   



Bài 11:Tính các giới hạn sau:

a)

4

lim 2 3 12

x

xx





b)





2

lim 3

x

xx





c)





22

lim 4

x

x x x



  

d)





2

lim 1 1

x

xx



  

Bài 12:Tính các giới hạn sau:

a)

2

0

11

lim

x

xx











b)

2

11

lim

24

x

xx















VnDoc. com - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

c)

2

1

21

lim

11

x

xx













d)

1

lim

11

n

x

n

xx













Bài 13:Tính các giới hạn sau:

a)

3

0

3 8 2

lim

5

x





b)

3

0

11

lim

x





c)

4

1

4 3 1

lim

1

x







d)

5

0

5 1 1

lim

x





Bài 14:Tính các giới hạn sau:

a)

3

0

2. 1 8

lim

x

xx

x



  

b)

3

2

0

1 2 1 3

lim

x

xx

x



  

c)

5

4

1

2 1 2

lim

1

x

xx

x



  



Bài 15:Cho hai hàm số

2

1

()

x

fx

x





và

32

2

1

()

xx

gx

x





.

1) Tính

0

lim ( )

x

fx



,

0

lim ( )

x

gx



,

lim ( )

x

fx



,

lim ( )

x

gx



.

2) Hai đường cong sau là dồ thị của

hai hàm số đã cho. Từ kết quả

câu 1), hãy xác định xem đường

cong nào là đồ thị của hàm số

nào?

Bài 16:Cho hàm số :

2

2 15 12

()

54

xx

fx

xx







có đồ thị như hình vẽ.

1) Dựa vào đồ thị, dự đoán giới hạn của hàm số f(x) khi

1x





,

1x





,

4x





,

4x





,

x  

và

x 

.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẬP

Bài 1. Tìm các giới hạn sau:

1)

2

3

1

lim

1

x







2)

26

lim

4

x





3)

2

17

lim

1

x





4)

6

33

lim

6

x







5)

2

21

lim

3

x

xx

x



  



6)

1

27

lim

1

x







7)

1

27

lim

1

x







8)

4

23

lim

4

x







9)

42

lim( 1)

x

x x x



  

10)

32

lim( 2 3 5)

x

xx



  

11)

2

lim 2 5

x

xx





12)

2

1

lim

52

x

xx

x







13)

2

3

lim

4

x

xx







Bài 2. Tìm các giới hạn sau:

x

O

1

4

3

y

2

x

O

y

1

a)

x

O

y

1

-1

b)

Lý thuyết và bài tập Toán 11: Giới hạn của hàm số tóm tắt lý thuyết và một số dạng bài tập về giới hạn của hàm số, nhằm giúp các bạn học tốt môn Toán 11. Mời các bạn học sinh tham khảo.

150 Câu Trắc nghiệm giới hạn của hàm số có đáp án

Giới hạn của hàm số lớp 11

Các giới hạn đặc biệt

1) $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ x} = x_{0}$ 2) $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ C} = C$ ( C: hằng số)

3) $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{c}{x^{k}} = 0$ (c: hằng số, $k\mathbb{\in N}*$ ) 4) $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0$

5) $\lim_{x \rightarrow + \infty}x^{k} = + \infty$ ( $k\mathbb{\in N}*$ ) 6) $\lim_{x \rightarrow - \infty}x^{k} = \left\{ \begin{matrix} + \infty\ neu\ k\ chan \\ - \infty\ neu\ k\ le \end{matrix} \right.$

Định lí về giới hạn ở hữu hạn

Định lí 1.

- Nếu $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }f(x) = L$ và $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }g(x) = M$ , thì:

· $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }c.f(x) = c.L$ (với C là hằng số) · $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }\lbrack f(x) + g(x)\rbrack = L\ + \ M$

· $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }\lbrack f(x) - g(x)\rbrack = L\ - \ M$ · $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }\lbrack f(x).g(x)\rbrack = L\ .\ M$

· $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ (M ≠ 0) · $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }\left| f(x) \right| = |L|$

· $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }\sqrt[3]{f(x)} = \sqrt[3]{L}$ · Nếu $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }\left| f(x) \right| = + \ \infty$ thì $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }\frac{1}{f(x)} = 0$

- Nếu $f(x) \geq 0$ và $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }f(x) = L$ thì $L \geq 0$ và $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }\sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$

Chú ý:

Định lí 1 vẫn đúng khi $x \rightarrow \pm \infty$
Định lí 2. $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }f(x) = L \Leftrightarrow \underset{x \rightarrow x_{\ _{0}}^{+}}{\lim\ }f(x) = \underset{x \rightarrow x_{\ _{0}}^{-}}{\lim\ }f(x) = L$
Định lí 3. Định lí kẹp: Giả sử J là một khoảng chứa x₀ và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp $J\backslash\left\{ x_{0} \right\}$ . Nếu $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ , $\forall x \in J\backslash\left\{ x_{0} \right\}$ và $\underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }f(x) = \underset{x \rightarrow x_{0}}{\lim\ }h(x) = L$ thì $\underset{x \rightarrow x_{0}}{lim\ }g(x) = L$ .

Quy tắc về giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tích $f(x).g(x)$

Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{f(x)}{g(x) }$

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \rightarrow 2}\frac{3x + 5}{x + 1}$ b) $\lim_{x \rightarrow 4}\frac{1}{\sqrt{x - 3}}$ c) $\lim_{x \rightarrow - 3}( - x^{3} + x^{2} - 2x + 1)$

Bài 2: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}\frac{3x + 5}{x + 1}$ ; $\lim_{x \rightarrow 3^{+}}\frac{1}{\sqrt{x - 3}}$

b) $\lim_{x \rightarrow 3^{+}}\frac{2x + 1}{x - 3}$ ; $\lim_{x \rightarrow 3^{-}}\frac{2x + 1}{x - 3}$ ; $\lim_{x \rightarrow 3}\frac{2x + 1}{x - 3}$

c) $\lim_{x \rightarrow 2^{+}}\frac{|x - 2|}{x - 2}$ ; $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}\frac{|x - 2|}{x - 2}$ ; $\lim_{x \rightarrow 2}\frac{|x - 2|}{x - 2}$

Bài 3: Cho hàm số: $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} - 2x + 3 & khi\ \ x \leq 2 \\ 4x^{3} - 29 & khi\ \ x > 2 \end{matrix} \right.$ . Tính $\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x)$ , $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x)$ và $\lim_{x \rightarrow 0}f(x)$ (nếu có)

Bài 4: Cho hàm số: $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2|x| - 1 & khi\ \ x \leq - 1 \\ \sqrt{2x^{2} + 1} & khi\ \ x > - 1 \end{matrix} \right.$ . Tính $\lim_{x \rightarrow ( - 1)^{+}}f(x)$ , $\lim_{x \rightarrow ( - 1)^{-}}f(x)$ và $\lim_{x \rightarrow - 1}f(x)$ (nếu có).

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

Bài tập trắc nghiệm về quan hệ vuông góc

Giải SBT Toán 11 bài 2: Giới hạn của hàm số

Giải bài tập Toán 11 bài 2: Giới hạn của hàm số

Phương pháp tính giới hạn hàm số

Tải về

Chọn file muốn tải về: