Xác định góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy

Trong chương Tính góc trong không gian Toán 11, dạng toán xác định góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy thường khiến học sinh gặp khó khăn do phải lựa chọn đúng đường vuông góc và hình chiếu phù hợp. Nếu không hiểu rõ bản chất, việc xác định góc rất dễ sai.
Bài viết này sẽ hướng dẫn cách xác định góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy theo phương pháp rõ ràng, giúp người học tiếp cận bài toán chính xác và hiệu quả.

A. Cách xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy

Hình vẽ minh họa:

Tìm góc giữa cạnh bên \(SA\) và mặt đáy \((ABC)\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng đáy \((ABC)\).

Như vậy \(HA\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên \((ABC)\).

Vậy \(\widehat{\left( SA;(ABC) \right)} = \widehat{(SA;HA)} = \widehat{SAH}\).

B. Bài tập ví dụ minh họa tìm góc giữa cạnh bên và mặt đáy

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Do \(SA\bot(ABC) \Rightarrow \widehat{\left( SB;(ABC) \right)} = \widehat{SBA} = 60{^\circ}\).

Do đó \(SA = AB\tan\widehat{SBA} = atan60{^\circ} = a\sqrt{3}\).

Ta có: \(AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = 2a;\widehat{\left( SC;(ABC) \right)} = \widehat{SCA}\).

Khi đó: \(\cos\widehat{SCA} = \frac{AC}{SC} = \frac{AC}{\sqrt{SA^{2} + AC^{2}}} = \frac{2a}{\sqrt{3a^{2} + 4a^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{7}}\).

b) Do \(SA\bot(ABC) \Rightarrow \widehat{\left( SM;(ABC) \right)} = \widehat{SMA} = \varphi\).

Ta có: \(AM = \sqrt{AB^{2} + BM^{2}} = \sqrt{a^{2} + \left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^{2}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}\).

Khi đó \(\cos\varphi = \frac{AM}{SM} = \frac{AM}{\sqrt{SA^{2} + AM^{2}}} = \frac{\sqrt{133}}{19}\).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) ta có: \(SH\bot AB\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{matrix} (SAB)\bot(ABCD) \\ AB = (SAB) \cap (ABCD) \end{matrix} \right.\ \Rightarrow SH\bot(ABCD)\).

Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(2a\) nên \(SH = a\sqrt{3}\).

\(HC = \sqrt{HB^{2} + BC^{2}} = a\sqrt{2}\).

Do \(SH\bot(ABCD) \Rightarrow \widehat{\left( SB;(ABCD) \right)} = \widehat{SBH} = 60{^\circ}\)

\(\widehat{\left( SC;(ABCD) \right)} = \widehat{SCH}\) và \(\tan\widehat{SCH} = \frac{SH}{HC} = \sqrt{\frac{3}{2}}\).

b) Ta có: \(HI = \sqrt{HB^{2} + BI^{2}} = \sqrt{a^{2} + \left( \frac{a}{2} \right)^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\).

Mặt khác \(\widehat{\left( SI;(ABCD) \right)} = \widehat{SIH}\) và \(\tan\widehat{SIH} = \frac{SH}{SI} = a\sqrt{3}:\frac{a\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{15}}{5}\).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

a) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow OABC\) là hình thoi cạnh \(a\)

\(\Rightarrow CO = a = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(C.\)

Do \(SA\bot(ABCD) \Rightarrow \widehat{\left( SB;(ABCD) \right)} = \widehat{SBA} = 45{^\circ}\).

Do đó \(SA = ABtan45{^\circ} = a\)

\(AC = \sqrt{AD^{2} - CD^{2}} = a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow \cos\widehat{\left( SC;(ABC) \right)} = \cos\widehat{SCA}\)

\(= \frac{AC}{SC} = \frac{AC}{\sqrt{SA^{2} + AC^{2}}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{a^{2} + 3a^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

\(\cos\widehat{\left( SD;(ABCD) \right)} = \cos\widehat{SDA} = \frac{AD}{\sqrt{SA^{2} + AD^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

b) Ta có: \(AI = \sqrt{AC^{2} + CI^{2}} = \sqrt{3a^{2} + \left( \frac{a}{2} \right)^{2}} = \frac{a\sqrt{13}}{2}\).

Do đó \(\tan\widehat{\left( SI;(ABCD) \right)} = \tan\widehat{SIA} = \frac{SA}{AI} = \frac{2}{\sqrt{13}}\).

==========================================

Khi nắm vững phương pháp xác định góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy, học sinh sẽ giải quyết các bài toán tính góc trong không gian một cách tự tin hơn. Việc hiểu rõ bản chất hình học giúp tránh nhầm lẫn, đồng thời nâng cao khả năng vận dụng trong các dạng bài Toán 11 liên quan.