Lý thuyết Toán 7 Bài 2: Cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y bằng cách viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu số dương rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số

+ Tổng quát: Với \(x = \frac{a}{m};y = \frac{b}{m}\left( {a,b,m \in Z;m > 0} \right)\), ta có:

                             \(x + y = \frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{{a + b}}{m}\) và \(x - y = \frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{{a - b}}{m}\)

+ Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số. Đó là:

- Giao hoán: \(x + y = y + x\left( {x;y \in Q} \right)\)

- Kết hợp: \(x + \left( {y + z} \right) = \left( {x + y} \right) + z\left( {x;y;z \in Q} \right)\)

- Cộng với số 0: \(x + 0 = 0 + x = x\left( {x \in Q} \right)\)

+ Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối, hai số đối nhau luôn có tổng bằng 0.

a + (- a) = 0

+ Chú ý:

• Nếu hai số hữu tỉ đều được cho dưới dạng số thập phân thì ta áp dụng quy tắc cộng và trừ đối với số thập phân

• Trong tập các số hữu tỉ Q, ta cũng có quy tắc dấu ngoặc tương tự như trong tập các số nguyên Z

• Đối với một tổng trong Q, ta có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong Z

+ Ta có thể nhân, chia hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.

Với \(x = \frac{a}{b};y = \frac{c}{d}\left( {a,b,c,d \in Z;b,d \ne 0} \right)\), ta có:

\(x.y = \frac{a}{b}.\frac{c}{d} = \frac{{a.c}}{{b.d}}\)

\(x:y = \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}.\frac{d}{c} = \frac{{a.d}}{{b.c}}\)

+ Phép nhân số hữu tỉ có các tính chất của phép nhân phân số: giao hoán, kết hợp, nhân với số 1 giống phép nhân phân số

– Chú ý:

• Nếu hai số hữu tỉ đều được cho dưới dạng số thập phân thì ta có thể áp dụng quy tắc nhân và chia đối với số thập phân.

• Mỗi số hữu tỉ y khác 0 đều có một số nghịch đảo là \(\frac{1}{y}\). Số nghịch đảo của \(\frac{a}{b}\) là \(\frac{b}{a}\) (với a, b ≠ 0)

• Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y ≠ 0 gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu là \(\frac{x}{y}\) hoặc x : y.

a) Dạng 1: Thực hiện phép tính của hai hay nhiều số hữu tỉ

Phương pháp: Vận dụng quy tắc cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

b) Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp:

- Để tính giá trị biểu thức, ta căn cứ vào thứ tự thực hiện phép tính: trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau; nhân chia trước, cộng trừ sau.

- Ngoài ra ta có thể sử dụng các quy tắc phép tính cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ kết hợp các tính chất của các phép tính cộng và nhân để tính hợp lí (nếu có thể).

- Chú ý dấu của kết quả và rút gọn.

c) Dạng 3: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ

Phương pháp: Để viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ, ta thường thực hiện các bước sau:

- Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương.

- Bước 2. Viết tử của phân số thành tổng hoặc thành hiệu của hai số nguyên.

- Bước 3. “Tách” số hữu tỉ thành hai phân số có tử là các số nguyên tìm được.

- Bước 4. Rút gọn từng phân số (nếu có thể) và kết luận.

d) Dạng 4: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ

Phương pháp: Để viết một số hữu tỉ dưới dạng tích hoặc thương của hai số hữu tỉ ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số.

- Bước 2. Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số nguyên.

- Bước 3. “Tách” ra hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.

- Bước 4. Lập tích hoặc thương của các phân số đó.

e) Dạng 5: Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp: Với bài toán tìm x, ta thường làm như sau:

- Bước 1. Ta xác định vai trò và tính chất của x trong đẳng thức hoặc điều kiện ở đề bài.

- Bước 2. Sử dụng các quy tắc và tính chất đã biết về phép tính số hữu tỉ để tìm x.

f) Dạng 6: Tính tổng dãy số có quy luật

Phương pháp: Để tính tổng dãy số có quy luật ta cần tìm ra tính chất đặc trưng của từng số hạng trong tổng, từ đó biến đổi và thực hiện phép tính.

Tổng quát: Nếu trong tổng xuất hiện các số hạng dạng \(\frac{k}{n\left(n+k\right)}\) thì ta tách các số hạng theo công thức sau: 

\(\frac{k}{n\left(n+k\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\)

g) Dạng 7: Tìm điều kiện của x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Phương pháp: Tìm điều kiện của x để biểu thức nhận giá trị nguyên, ta thường làm như sau:

- Bước 1. Tách phần nguyên. Tách tử theo mẫu sao cho A có dạng tổng của một số nguyên và một phân số có tử nguyên.

- Bước 2. Tìm x.

- Bước 3. Đối chiếu với điều kiện và kết luận.

h) Dạng 8: Bài toán thực tế

Phương pháp: Để giải một bài toán thực tế liên quan đến cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thường làm như sau:

- Bước 1: Phân tích bài toán, từ các dữ kiện đề bài xác định các giá trị của cùng một đại lượng (ví dụ: các giá trị của một đoạn đường, một chiếc bánh, một quyển sách, một đơn vị thời gian...) và thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán.

- Bước 2: Thực hiện các phép toán tương ứng.

- Bước 3: Kết luận.