VnDoc.com

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 môn Toán năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Bình Thuận vòng 1

Đề thi chọn HSG môn Toán lớp 12 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH THUẬN

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề này có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2018 – 2019

Ngày thi: 18/10/2018

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (6,0 điểm).

a) Cho

x

và

y

là các số thực thỏa mãn

2 0.x y 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

2

.

x xy y

P

x xy y

 



 

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để đồ thị hàm số

3 2

3 3

y x x mx m   

có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.

Bài 2 (5,0 điểm).

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số

 

n

u

biết

1

2u 

và

1

2 5,

n

u u



 

*

.n

 



b) Cho dãy số

 

n

v

thỏa mãn

1

,

2018

v 

1

2

,

1 2018

n

v







*

.

n

 



Chứng minh

rằng

*

1

, .

n

v v n



  

Bài 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình

 

2 2

2 2 2 2

2 1

.

1 1

xy x y x y

x y y x x y x











   

    

Bài 4 (5,0 điểm). Cho tam giác

ABC

nhọn có

AB AC

và hai đường cao

,BE CF

cắt

nhau tại

.H

Các đường tròn

 

1

,O

 

2

O

cùng đi qua

A

và theo thứ tự tiếp xúc với

BC

tại

, .B C

Gọi

D

là giao điểm thứ hai của

 

1

O

và

 

2

.O

a) Chứng minh đường thẳng

AD

đi qua trung điểm của cạnh

;BC

b) Chứng minh ba đường thẳng

,EF

,BC

HD

đồng quy.

-------------- HẾT -------------

Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . .

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Nội dung Điểm

1

6,0

a

Ta có

2

1

,

1

t t

P

t t

 



 

với

1

.

2

x

t

y

 

Xét hàm số

2

1

( )

1

t t

f t

t t

 



 

với

1

.

2

t



Tính được

2

2 2

(t) ,

( 1)

t

f

t t







 

( ) 0

1.

1

2

f t

t









 









Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của

P

bằng

1

3

, không có giá trị lớn nhất.

0,5

1,0

0,5

b

Tập xác định

D  

2

' 3 6 3y x x m

  

Yêu cầu bài toán



Phương trình

' 0

y



có hai nghiệm phân biệt

1 2

,x x

thỏa mãn

   

1 2

. 0.

y x y x



Phương trình

0

y





có hai nghiệm phân biệt

1 0

m

  

(*)

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là

   

1 1 2 2

; , ; .A x y B x y

Ta có

 

1

. 2 1

3 3

x

y y m x

 



   

 

 

Do đó

   

1 1 1

2 1y y x m x

   

   

2 2 2

2 1y y x m x

   

     

2

1 2 1 2

. 0 4 1 . 0

y x y x m x x

   

1 2

. 0 0 0

x x m m

      

Kết hợp với điều kiện (*) ta có

0

m



thỏa mãn bài toán

0,25

0,5

0,25

0,5

0,25

2

5,0

a

*

,

n 



ta có

 

1 1

2 5 5 2 5

n n n n

u u u u

 

     

Đặt

*

5, .

n n

w u n   



Khi đó

*

1

2 , .

n n

w w n



  



Do đó

 

n

w

là cấp số nhân có

1 1

5 7,

w u

  

công bội

2.

q



Suy ra

1 1 *

1

. 7.2 , .

n n

n

w w q n

 

   



Vậy

1 *

7.2 5, .

n

u n



   



0,5

b

Chứng minh được

*

0, .

n

v n  



Khi đó

*

1

2

2 2

1

, .

1 2108

2 2018. 2018

n n

n

v v

v n

v



    





(1)

Mặt khác,

*

,

n 



ta có

 

2

3

1

2 2 2

1 2018

2 2018

0

1 2018 1 2018 1 2018

n n

n n n

v v

v v v





     

  

0,5

1,0

3

 

2 2

2 2 2 2

2 1 (1)

.

1 1 (2)

xy x y x y

x y y x x y x



   





    





4,0

Điều kiện

0

xy



Ta có

2

1 0,x x x

    

nên

0

y



không thỏa mãn (2). Do đó

0.

y



Suy ra

0

x



không thỏa mãn (1).

Nếu

,x y

cùng âm thì (1) vô lí. Do đó

,x y

cùng dương.

Suy ra

   

2 2

2

1

(2) 1 1 1

x x y y

x

     

2

1 1 1

1 1

y y y

x x x

     

(3)

Xét hàm số

2

( ) 1f t t t t  

trên khoảng

 

0; .

Ta có

2

( ) 1 1 0, 0

1

t

f t t t

t



      



Suy ra

( )f t

đồng biến trên

 

0;



Do đó

 

1 1

(3) 1f f y y xy

x x

 

     

 

 

Thay

1xy 

vào phương trình (1) ta được

     

2 2

2 1 1 1 0 1x y x y x y x y           

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

   

; 1;1

x y 

0,25

0,5

0,25

0,5

0,25

0,5

0,25

4

5,0

a Gọi

I

là giao điểm của

AD

và

.BC

Ta có

2 2

. .IB IA ID IC

 

Suy ra

.IB IC

Do đó

I

là trung điểm của

.BC

Hay đường thẳng

AD

đi qua trung

điểm

I

của

.BC

0,25

0,75

0,25

b

Chứng minh được

 

.BHC BDC



Suy ra tứ giác

BHDC

nội tiếp.

Chứng minh

AFHD

nội tiếp

Chứng minh

, ,

EF BC HD

đồng qui

1,0

1,5

A

B C

E

F

H

D

I

K

Đề thi HSG môn Toán lớp 12 năm 2018 - 2019

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 môn Toán năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Bình Thuận vòng 1. Tài liệu gồm 4 bài toán tự luận, thí sinh có 180 phút để hoàn thành đề thi. Mời các bạn tham khảo.

-----------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 môn Toán năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Bình Thuận vòng 1. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12, Tài liệu học tập lớp 12 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.