VnDoc.com

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm học 2019-2020 trường THPT Hậu Lộc 4, Thanh Hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán

1 362

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4

TỔ TOÁN

KỲ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LẦN 1

Năm học: 2019 - 2020

Môn thi: TOÁN - Lớp 11 THPT

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi có 01 trang - gồm 05 câu

Câu I (4,0 điểm)

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

 

P

của hàm số

2

( 2) 1    

y x m x m

,biết rằng

 

P

đi qua điểm

(3;0)

M

.

2. Giải phương trình:

1 1

x 1 x x 1 x x.

2 2

   

     

   

   

Câu II (4,0 điểm)

1. Giải phương trình:

 

2cos 2sin 2 2sin 1

cos 2 3 1 sin

2cos 1

x x x

x x

x

  

  



.

2. Giải hệ phương trình:

 

2

3 3 1

3 2 1 0



    





       





x y x y

x y x y x x y

 

,

x y R



.

Câu III (4,0 điểm)

1. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

  

  

2 2 2

a b c 3 2

2

ab b bc c ca a

.

2.

Gọi

S

là tập hợp các số tự nhiên có

6

chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số

0; 1; 2; 3;

4; 5;

6; 7; 8

.

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập

S

. Tính Xác suất để số được chọn không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau.

Câu IV (4,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

, cho tam giác ABC cân tại

 



1;3

A

. Gọi D là một điểm trên cạnh AB

sao cho

 3AB AD

và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD. Điểm

 



 

 

1 3

;

2 2

M

là trung điểm đoạn HC.

Xác định tọa độ điểm C, biết điểm B nằm trên đường thẳng

  7 0.x y

2. Trong mặt phẳng với trục toạ độ

Oxy

cho hình thang cân

ABCD

 

/ /

AB CD

. Gọi

,H I

lần lượt là hình chiếu

vuông góc của

B

trên các đường thẳng

,

AC CD

. Giả sử

,M N

lần lượt là trung điểm của

,AD HI

. Viết phương

trình đường thẳng

AB

biết

   

1; 2 , 3;4

M N

và đỉnh

B

nằm trên đường thẳng

9 0x y  

,



2

cos

5

ABM 

.

Câu V (4,0 điểm)

1. Cho hình chóp

.

S ABCD

có đáy

ABCD

là hình bình hành. Gọi

A



là điểm trên

SA

sao cho -

1

2

A A A S

 



 

.

Mặt phẳng

 



qua

A



cắt các cạnh

SB

,

SC

,

SD

lần lượt tại

B



,

C



,

D



. Tính giá trị của biểu thức

SB SD SC

T

SB SD SC

  

  

.

2. Cho hình chóp

.

S ABCD

đáy là hình thang, đáy lớn

2BC a

,

AD a

,

AB b

. Mặt bên

( )SAD

là tam giác

đều. Mặt phẳng

( )



qua điểm

M

trên cạnh

AB

và song song với các cạnh

SA

,

BC

.

( )



cắt

, ,CD SC SB

lần

lượt tại

, ,N P Q

. Đặt

x AM

(0 )x b 

. Tính giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện tạo bởi

( )



và hình

chóp

.

S ABCD

.

................. HẾT .................

Số báo danh

………………………

FINAL

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

Câu NỘI DUNG Điểm

I

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

 

P

của hàm số

2

( 2) 1    

y x m x m , biết rằng

 

P

đi qua điểm

(3;0)

M

.

2.0

4,0

điểm

Do

 

P

đi qua điểm

(3;0)

M

nên ta có

9 - 3( 2) 1 0 2 4 0 2

m m m m

         

0.50

Khi đó ta có hàm số

2

4 3  y x x

Ta có đỉnh

2

: (2; 1)

1

x

I I

y





 



 



0.50

Bảng biến thiên

y

x

-1

+∞

-∞

2

0.50

2. Giải phương trình sau

1 1

x 1 x x 1 x x.

2 2

   

     

   

   

2.0

Điều kiện

1 x 1.  

Phương trình đã cho tương đương với:

   

2x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 0        

0.50

Đặt

a 1 x; 

b 1 x, 

 

a,b 0

2 2

2x a b .  

Phương trình dã cho trở thành:

 

        

2 2

1 0 1 1 0

a b a b a b a b a b a b

 

            

 

   

2

1 0

a b

a b a b









    





a b

1 5

a b

2













 





0.50

+ Với:

a b

1 x 1 x   

x 0 

0.50

+ Với:

1 5

a b

2



 

1 5

1 x 1 x

2



    

5 5

x

8



  

- Kết luận. Phương trình có các nghiệm

x 0;

5 5

x

8



 

.

0.50

FINAL

II

1. Giải phương trình:

 

2cos 2sin 2 2sin 1

cos 2 3 1 sin

2cos 1

x x x

x x

x

  

  



2.0

4,0

điểm

Điều kiện:

1

2cos 1 0 cos

2

x x

   

 

2 , .

3

x k k Z



    

 

   

2cos 1 2sin 2cos 1

cos 2 3 1 sin

2cos 1

x x x

Pt x x

x

  

   



0.50

 

  

2cos 1 1 2sin

cos2 3 1 sin

2cos 1

x x

x

 

   



2

1 2sin 3 3 sin 1 2sinx x x

     

 

2

2sin 2 3 sin 3 0

x x

    

3

sin

2

x 

hoặc

sin 1

x

 

.

0.50

Với

3

sin sin sin

2 3

x x



  

2

3

x k



  

hoặc

 

2

2 ,

3

x k k Z



  

Với

 

sin 1 2 ,

2

x x k k Z



      

0.50

So với điều kiện nghiệm của phương trình:

 

2

2 ; 2 , .

3 2

x k x k k Z

 

     

0.50

2. Giải hệ phương trình:

 

2

3 3 1

3 2 1 0



    





       





x y x y

x y x y x x y

2.0

Điều kiện:

x 0

y 1 0

y 2x 1 0







 





  



.

Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình :

   

x y 3 x 3 y 1 x y 2 x 3 y 1 x 3            

0.50

 

y x 2

x y 2 x 3

y 1 x 3

 

    

  

 

1

x y 2 x 3 0

y 1 x 3

 

     

 

  

 

 

1

Với điều kiện

x 0,y 1  

ta có :

1

x 3 0

y 1 x 3

  

  

.

Nên từ

 

1

ta có :

x y 2 0 y x 2     

.

0.50

Thay vào phương trình thứ nhất trong hệ ta được phương trình :

 

2

3 2 *

    x x x x

Điều kiện

0 3

x

 

. Vì

 

0 0 2;3

VT VP x    

.

Với mọi

 

2;3

x

ta có:

     

2

1 1 2 3 3 1 0

x x x x x x

          

0.50

   

2 2

2

3 1 3 1

3 1 0

1 2 3

x x x x

x x

x x x x

   

     

    

 

   

2

1 1

3 1 1 0

1 2 3

x x

x x x x

 

     

 

    

 

2

3 5

3 1 0

2

x x x



     

7 5

2

y



 

(tmđk). Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

 

3 5 7 5

; ;

2 2

x y

 

 



 

 

.

0.50

FINAL

Đề thi học sinh giỏi môn Toán 11 có đáp án

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm học 2019-2020 trường THPT Hậu Lộc 4, Thanh Hóa gồm có 05 bài toán dạng tự luận có lời giải chi tiết và thang chấm điểm giúp các em ôn tập và nâng cao kiến thức môn Toán 11.

Đề được biên soạn tập trung vào những nội dung kiến thức các em đã được học, giúp các em làm quen với các dạng bài tập thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi. Đề có kèm theo lời giải, giúp các em tự làm bài và đối chiếu kết quả. Để đạt kết quả cao các em xem thêm các đề thi học sinh giỏi lớp 11 của các môn học khác.

VnDoc xin giới thiệu tới các em Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 năm học 2019-2020 trường THPT Hậu Lộc 4, Thanh Hóa có kèm theo đáp án. Hi vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích hỗ trợ các em ôn tập thật hiệu quả. Mời các em tham khảo thêm các tài liệu khác tại mục Tài liệu học tập lớp 11 như: Học tốt Ngữ văn 11, Giải bài tập Vật lý 11, Trắc nghiệm Địa lý 11,....