VnDoc.com

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường Toán 11 năm 2018 - 2019 trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh

Đề thi HSG Toán 11 có đáp án

1 1.742

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

SỞ GD - ĐT BẮC NINH

TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2

______________________

(Đề gồm có 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC : 2018- 2019

MÔN: TOÁN - LỚP 11

________________

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 26 /01/2019

Câu 1 (5.0 điểm).

a. Giải phương trình sau

  

sin 2 sin cos 1 2sin cos 3 0x x x x x     

.

b. Có bao nhiêu số nguyên của tập hợp

 

1;2;...;1000

mà chia hết cho 3 hoặc 5?

Câu 2 (5.0 điểm).

a. Cho khai triển

 

2

0 1 2

1 2 ...

n

x a a x a x a x     

, trong đó

*

n

và các hệ số

thỏa mãn hệ thức

1

0

... 4096

2 2

n

a

a    

. Tìm hệ số lớn nhất ?

b.Ba cầu thủ sút phạt đền 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương

ứng là

x

,

y

và

0,6

(với

x y

). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi

bàn là

0,976

và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi ban là

0,336

. Tính xác suất để có

đúng hai cầu thủ ghi bàn.

Câu 3 (6.0 điểm).

Cho hình chóp

.S ABCD

, có đáy

ABCD

là hình thang cân

 

/ /AD BC

và

2BC a

,

 

0AB AD DC a a   

. Mặt bên

SBC

là tam giác đều. Gọi

O

là giao điểm

của

AC

và

BD

. Biết

SD

vuông góc với

AC

.

a. Tính

SD

.

b. Mặt phẳng (



) qua điểm

M

thuộc đoạn

OD

(

M

khác

, O D

) và song song với

hai đường thẳng

SD

và

AC

. Xác định thiết diện của hình chóp

.S ABCD

cắt bởi mặt

phẳng (



). Biết

MD x

. Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.

Câu 4 (4.0 điểm).

a. Cho dãy

( )

k

x

được xác định như sau:

1 2

...

2! 3! ( 1)!

k

x

k

   



.

Tìm

lim

n

u

với

1 2 2019

...

n n n

n

u x x x   

.

b. Giải hệ phương trình sau:

2 2

1 1 18

1 1 2



         





         





x x y x y x y y

.

........................................................HẾT...........................................................

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Họ, tên thí sinh:..............................................SBD:........................................

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GD – ĐT BẮC NINH

TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2

______________________

(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)

HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC : 2018- 2019

MÔN: TOÁN - LỚP 11

________________

Câu

Đáp án

Điểm

Câu1

(5điểm)

a.

    

     

  

2

sin cos 1 sin cosx 1 2sin cos 3 0

sin cos 1 sin cos 1 sin cosx 1 2sin cos 3 0

sin cos 1 sin 2cos 4 0

PT x x x x x

x x x x x x x

x x x x

        

          

      

2

sin cos 1

,( )

sin 2cos 4( )

2

x k

x x

k

x x VN

x k







 





  



 

 





Vậy phương trình có hai họ nghiệm:

2 , 2 ,( )

2

x k x k k



 

   

0,5

điểm

1,0

điểm

0,5

điểm

0,5

điểm

b. Đặt

 

1;2;...;1000S 

;

 

S 3A x x  

;

 

S 5B x x  

Yêu cầu bài toán là tìm

A B

Ta có

1000

333

3

1000

200

5

A

B

 

 

 

 

 

 

 

 

Mặt khác ta thấy

A B

là tập các số nguyên trong S chia hết cho cả 3 và 5 nên nó

phải chia hết cho BCNN của 3 và 5, mà

 

3,5 15BCNN 

nên

1000

66

15

A B

 

  

 

 

.

Vậy ta có

0,5

điểm

0,5

điểm

1,0

điểm

0,5

điểm

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

333 200 66 467A B A B A B        

Câu 2

(5điểm)

a. Số hạng tổng quát trong khai triển

 

1 2

n

x

là

.2 .

k k k

n

C x

,

0 k n 

,

k 

.

Vậy hệ số của số hạng chứa

k

x

là

.2 .2

k k k k

n k n

C a C 

.

Khi đó, ta có

 

0 1 2

1

0

... 4096 ... 4096 1 1 4096 12

2 2

n

n n n n

n

a

a C C C C n              

.

Dễ thấy

0

a

và

n

a

không phải hệ số lớn nhất. Giả sử

k

a

 

0 k n 

là hệ số lớn

nhất trong các hệ số

0 1 2

, , ,...,

n

a a a a

.

Khi đó ta có

     

1 1

1

12 12

1 1

1

12 12

12! 12!.2

!. 12 ! 1 !. 12 1 !

.2 .2

12! 12! 1

.2 .2

.

!. 12 ! 1 !. 12 1 ! 2

k k k k

k k

k k k k

k k

k k k k

a a

C C

a a

C C

k k k k

 



 









   







 

 

  















   



 

1 2 23

1 2 12 0

23 26

12 1 3

2 1 26

3 3

26 3 0

13 3

k

k k

k

k k

 

 

 

   



  

 

     

  

 





 

 

 



 

Do

8k k  

Vậy hệ số lớn nhất là

8 8

8 12

.2 126720a C 

.

0,5

điểm

0,5

điểm

1,0

điểm

0,5

điểm

b. Gọi

i

A

là biến cố “người thứ

i

ghi bàn” với

1,2,3i 

.

Ta có các

i

A

độc lập với nhau và

     

1 2 3

, , 0,6P A x P A y P A  

.

Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”

B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”

C: “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”

Ta có:

       

1 2 3 1 2 3

. . . . 0,4(1 )(1 )A A A A P A P A P A P A x y     

Nên

 

( ) 1 1 0,4(1 )(1 ) 0,976P A P A x y      

Suy ra

3 47

(1 )(1 )

50 50

x y xy x y       

(1).

Tương tự:

1 2 3

. .B A A A

, suy ra:

       

1 2 3

. . 0,6 0,336P B P A P A P A xy  

hay là

14

25

xy 

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

14

25

3

2

xy

x y











 





, giải hệ này kết hợp với

x y

ta tìm

1,0

điểm

1,0

điểm

0,5

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2018 - 2019

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường Toán 11 năm 2018 - 2019 trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh. Tài liệu gồm 4 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 150 phút, đề thi có đáp án. Mời các bạn học sinh tham khảo.

--------------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới bạn đọc Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường Toán 11 năm 2018 - 2019 trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc mời các bạn học sinh tham khảo Giải bài tập Sinh học lớp 11, Giải bài tập Vật lý lớp 11, Giải bài tập Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán lớp 11, Tài liệu học tập lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.