VnDoc.com

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Đồng Nai

Đề thi HSG môn Toán lớp 12 có đáp án

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2019 – 2020

Câu 1. (5,0 điểm) Cho hàm số

2 2 3

1 ( 4) (4 1)y m x m x x

, với

m

là tham số.

a) Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

để hàm số đã cho nghịch biến trên .

b) Tìm các số thực

m

để hàm số đã cho đạt cực đại tại

1x 

.

c) Tìm các số thực

m

để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên

[ 2; 1]

bằng

9

Giải

a)

22

' 3 2(4 1) 4y x m x m     

,

Hàm số nghịch biến trên

2 2 2

'

11

' 0 (4 1) 3( 4) 0 19 8 11 0 1

19

y

m m m m m               

.

Vậy có hai giá trị nguyên

0m 

và

1m 

b) Hàm số có cực đại tại

2

1

1 '(1) 0 8 9 0

9

m

x y m m

m





       









+ Nếu

2

1 ' 3 6 3 0 1m y x x x        

không là cực đại

1m

(loại)

+ Nếu

2

9, ' 3 74 77, '' 6 74 , ''(1) 80 0m y x x y x x y           

nên hàm số có cực đại tạ

1x 

. Vậy

9m 

(nhận)

c) Vì

[ 2; 1]

9Min y





suy ra mọi giá trị của hàm số

y

với

[ 2; 1]x   

phải lớn hơn hay bằng

9

nghĩa là

22

( 1) 9 4 5 9 4 4 0

2

( 2) 9

2 16 13 9 2 16 4 0

y m m m m

m

y

m m m m





        

  

   

  



      









Thử lại ta có

32

71y x x   

có

2

0

' 3 14 0

14

3

x

y x x

x







    









Suy ra hàm nghịch biến trên

[ 2; 1]

và

[ 2; 1 ]

min ( 1) 9yy



  

. Vậy

2m 

thỏa mãn

Câu 2. (3,0 điểm)

1) Giải phương trình

( 10 3) ( 10 3) 38

xx

   

.

2) Giải phương trình

sin2 cos2 3sin cos 1 0x x x x

Giải

1) Vì

( 10 3) .( 10 3) (10 9) 1

x x x

    

Đặt

1

( 10 3) ( 0) ( 10 3)

xx

tt

t

     

Ta được :

2

22

2

19 6 10 ( 10 3)

1

38 38 1 0

1

19 6 10 ( 10 3) ( 10 3)

( 10 3)

t

t t t

t





   



      



      







2

( 10 3) ( 10 3) 2

2

( 10 3) ( 10 3)

x





   











  





2)

2

sin2 cos2 3sin cos 1 0 cos (2sin 1) 2sin 3sin 2 0x x x x x x x x

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0 (2sin 1)(sin cos 2) 0x x x x x x x          

1

2

sin

6

()

2

5

sin cos 2 ( )

2

6

xk

x

k

x x VN

xk













  



  











Câu 3. (2,0 điểm) Một trang trại xây một bể nước hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng

3

18, 432 m

(tính cả thành và đáy bể), biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí xây bể được

tính theo tổng diện tích của thành (mặt bên ngoài) và đáy bể với giá

800

nghìn đồng

2

/m

. Tìm các kích

thước của bể để chi phí xây bể là nhỏ nhất và tính gần đúng chi phí đó.

Giải

Gọi chiều dài rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp chữ nhật là

2

18, 432

, 2 , ( , 0) 2 18,432

2

x x h x h V x h h

x

     

Tổng diện tích

5

mặt (không có nắp) là

2 2 2

2

18, 432 55,296

2 6 2 6 2

2

S x xh x x x

x

     

Xét

2 2 2

3

55,296 27,648 27,648 27,648 27,648

( ) 2 2 3 2 . . 34,56f x x x x

x x x x x

      

Dấu



xảy ra

2

27,648

2 2, 4 1,6x x h

x

     

.

Vậy ba kích thước chiều rộng, chiều dài và chiều cao là

2,4 ; 4, 8 ; 1,2

Chi phí là

34,56.800000 27648000

(đồng)

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho hình chóp

.S ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

a

và

SA

vuông góc mặt phẳng đáy,

SA a

. Biết

,MN

là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc hai cạnh

AB

và

AD

sao cho

AM AN a

1) Chứng minh thể tích

.S AMCN

có giá trị không đổi

2) Tính theo

a

khoảng cách từ

C

đến

()SMN

. Chứng minh mặt phẳng

()SMN

luôn tiếp xúc với một mặt

cầu cố định.

Giải

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

1) Đặt

,,AM m AN n m n a ND m BM n       

2

11

. , . ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

MBC NDC AMCN

an am am an a a

S BM BC S ND DC S a a m n





           





(không đổi) suy ra thể tích khối

3

1

. . .

36

AMN

a

S AMCN SAS





(không đổi)

2) Ta có

2 2 2 2

()DE ND m m m an m m n n m

DE CE a DE a

AM NA n n n n n

  

          

22

m mn n

n





22

( ,( )) . ( ,( ))

HC CE m mn n

k d C SMN k d A SMN

HA MA mn



    

Gọi

,GK

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

A

trên

MN

và

SG

( ) ( ,( ))SG AK SMN d A SMN AK   

2 2 2 2

2

2 2 2 2

.AM AN m n

AG

AM AN m n





22

2

2 2 2 2 2 2 2 2

22

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

22

2 2 2

.

. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [( ) 2 ]

( ) ( )

[( ) ] ( )

mn

a

AG SA m n m n m n m n

mn

AK

AG SA m n m n m n m n m n m n m n mn

a

mn

m n m n mn m n

AK

m n mn m n mn





   

       





  

   

22

2

( )( )

( ,( )) .

()

m n m mn n

d C AMN k AK m n a

m n mn

  

     



Cách khác: Chọn

(0;0;0), (0;0; ), ( ; ;0), ( ;0;0), (0; ;0)A S a C a a M m N n

( ;0; ),

(0; ; ) [ , ] ( ; ; )

SM m a

SN n a SM SN an am mn



   

Phương trình

22

2 2 2

( ) : 0 ( ,( ))

( ) ( ) ( )

a n a m mna

SMN anx amy mnz mna d C SMN

an am mn



     



3 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( )

( ) [( ) 2 ] ( 2 )

a mna a a mn a a mn

a n m m n a m n mn m n a a mn m n

  

  

      

22

2

4 2 2

( ) ( )

2

a a mn a a mn

a

a mn

a amn m n









Vì

( ,( ))d C SMN a

cố định và

C

cố định nên

()SMN

luôn tiếp xúc mặt cầu cố định có tâm

C

và bán

kính

Ra

Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 Sở GD&ĐT Đồng Nai

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Đồng Nai để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Đồng Nai vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết gồm có 6 câu tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 180 phút và có đáp án kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết.

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Đồng Nai, mong rằng qua bài viết này các bạn có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 12. Mời các bạn cùng tham khảo thêm kiến thức các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...