Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Đồng Nai
Đề thi HSG môn Toán lớp 12 có đáp án
Dạng tài liệu:
Đề thi HSG Toán Lớp 12
Phân loại:
Tài liệu Tính phí
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2019 – 2020
Câu 1. (5,0 điểm) Cho hàm số
2 2 3
1 ( 4) (4 1)y m x m x x
, với
m
là tham số.
a) Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để hàm số đã cho nghịch biến trên .
b) Tìm các số thực
m
để hàm số đã cho đạt cực đại tại
1x
.
c) Tìm các số thực
m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên
[ 2; 1]
bằng
9
Giải
a)
22
' 3 2(4 1) 4y x m x m
,
Hàm số nghịch biến trên
2 2 2
'
11
' 0 (4 1) 3( 4) 0 19 8 11 0 1
19
y
m m m m m
.
Vậy có hai giá trị nguyên
0m
và
1m
b) Hàm số có cực đại tại
2
1
1 '(1) 0 8 9 0
9
m
x y m m
m
+ Nếu
2
1 ' 3 6 3 0 1m y x x x
không là cực đại
1m
(loại)
+ Nếu
2
9, ' 3 74 77, '' 6 74 , ''(1) 80 0m y x x y x x y
nên hàm số có cực đại tạ
1x
. Vậy
9m
(nhận)
c) Vì
[ 2; 1]
9Min y
suy ra mọi giá trị của hàm số
y
với
[ 2; 1]x
phải lớn hơn hay bằng
9
nghĩa là
22
22
( 1) 9 4 5 9 4 4 0
2
( 2) 9
2 16 13 9 2 16 4 0
y m m m m
m
y
m m m m
Thử lại ta có
32
71y x x
có
2
0
' 3 14 0
14
3
x
y x x
x
Suy ra hàm nghịch biến trên
[ 2; 1]
và
[ 2; 1 ]
min ( 1) 9yy
. Vậy
2m
thỏa mãn
Câu 2. (3,0 điểm)
1) Giải phương trình
( 10 3) ( 10 3) 38
xx
.
2) Giải phương trình
sin2 cos2 3sin cos 1 0x x x x
Giải
1) Vì
( 10 3) .( 10 3) (10 9) 1
x x x
Đặt
1
( 10 3) ( 0) ( 10 3)
xx
tt
t
Ta được :
2
2
22
2
19 6 10 ( 10 3)
1
38 38 1 0
1
19 6 10 ( 10 3) ( 10 3)
( 10 3)
t
t t t
t
t
2
2
( 10 3) ( 10 3) 2
2
( 10 3) ( 10 3)
x
x
x
x
2)
2
sin2 cos2 3sin cos 1 0 cos (2sin 1) 2sin 3sin 2 0x x x x x x x x
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0 (2sin 1)(sin cos 2) 0x x x x x x x
1
2
sin
6
()
2
5
sin cos 2 ( )
2
6
xk
x
k
x x VN
xk
Câu 3. (2,0 điểm) Một trang trại xây một bể nước hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng
3
18, 432 m
(tính cả thành và đáy bể), biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí xây bể được
tính theo tổng diện tích của thành (mặt bên ngoài) và đáy bể với giá
800
nghìn đồng
2
/m
. Tìm các kích
thước của bể để chi phí xây bể là nhỏ nhất và tính gần đúng chi phí đó.
Giải
Gọi chiều dài rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp chữ nhật là
2
2
18, 432
, 2 , ( , 0) 2 18,432
2
x x h x h V x h h
x
Tổng diện tích
5
mặt (không có nắp) là
2 2 2
2
18, 432 55,296
2 6 2 6 2
2
S x xh x x x
x
x
Xét
2 2 2
3
55,296 27,648 27,648 27,648 27,648
( ) 2 2 3 2 . . 34,56f x x x x
x x x x x
Dấu
xảy ra
2
27,648
2 2, 4 1,6x x h
x
.
Vậy ba kích thước chiều rộng, chiều dài và chiều cao là
2,4 ; 4, 8 ; 1,2
Chi phí là
34,56.800000 27648000
(đồng)
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
và
SA
vuông góc mặt phẳng đáy,
SA a
. Biết
,MN
là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc hai cạnh
AB
và
AD
sao cho
AM AN a
1) Chứng minh thể tích
.S AMCN
có giá trị không đổi
2) Tính theo
a
khoảng cách từ
C
đến
()SMN
. Chứng minh mặt phẳng
()SMN
luôn tiếp xúc với một mặt
cầu cố định.
Giải
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
1) Đặt
,,AM m AN n m n a ND m BM n
2
2
11
. , . ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
MBC NDC AMCN
an am am an a a
S BM BC S ND DC S a a m n
(không đổi) suy ra thể tích khối
3
1
. . .
36
AMN
a
S AMCN SAS
(không đổi)
2) Ta có
2 2 2 2
()DE ND m m m an m m n n m
DE CE a DE a
AM NA n n n n n
22
m mn n
n
22
( ,( )) . ( ,( ))
HC CE m mn n
k d C SMN k d A SMN
HA MA mn
Gọi
,GK
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
trên
MN
và
SG
( ) ( ,( ))SG AK SMN d A SMN AK
2 2 2 2
2
2 2 2 2
.AM AN m n
AG
AM AN m n
22
2
2 2 2 2 2 2 2 2
22
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
22
2 2 2
2 2 2
.
. ( ) ( )
( ) ( ) ( ) [( ) 2 ]
( ) ( )
[( ) ] ( )
mn
a
AG SA m n m n m n m n
mn
AK
AG SA m n m n m n m n m n m n m n mn
a
mn
m n m n mn m n
AK
m n mn m n mn
22
2
( )( )
( ,( )) .
()
m n m mn n
d C AMN k AK m n a
m n mn
Cách khác: Chọn
(0;0;0), (0;0; ), ( ; ;0), ( ;0;0), (0; ;0)A S a C a a M m N n
( ;0; ),
(0; ; ) [ , ] ( ; ; )
SM m a
SN n a SM SN an am mn
Phương trình
22
2 2 2
( ) : 0 ( ,( ))
( ) ( ) ( )
a n a m mna
SMN anx amy mnz mna d C SMN
an am mn
3 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
( ) [( ) 2 ] ( 2 )
a mna a a mn a a mn
a n m m n a m n mn m n a a mn m n
22
2
4 2 2
( ) ( )
2
a a mn a a mn
a
a mn
a amn m n
Vì
( ,( ))d C SMN a
cố định và
C
cố định nên
()SMN
luôn tiếp xúc mặt cầu cố định có tâm
C
và bán
kính
Ra
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2020 Sở GD&ĐT Đồng Nai
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Đồng Nai để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới nhé. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây.
- Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 cụm trường THPT tỉnh Bắc Ninh
- Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 trường THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Đồng Nai vừa được VnDoc.com sưu tập và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết gồm có 6 câu tự luận, thí sinh làm đề trong thời gian 180 phút và có đáp án kèm theo. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết.
Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2019 - 2020 Sở GD&ĐT Đồng Nai, mong rằng qua bài viết này các bạn có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 12. Mời các bạn cùng tham khảo thêm kiến thức các môn Ngữ văn 12, Tiếng Anh 12, đề thi học kì 1 lớp 12, đề thi học kì 2 lớp 12...
