Định lý Brocard
Định lý Brocard trong hình học phẳng
Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9, Định lý Brocard là một trong những kiến thức hình học nâng cao giúp giải quyết hiệu quả nhiều bài toán về tam giác và đường tròn. Việc hiểu đúng nội dung định lý, điều kiện áp dụng và các dạng toán điển hình sẽ giúp học sinh phát triển tư duy chứng minh và nâng cao kỹ năng giải toán hình học.
|
Phát biểu : Cho tứ giác |
Chứng minh định lý Brocard
Hình vẽ minh họa:
Gọi 
\(E\) là giao điểm khác \(I\) của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AID\) và \(BIC\).
Ta có:
\(\widehat {DEC} = {360^0} - \left( {\widehat {DEI} + \widehat {IEC}} \right)\)
\(= {360^0} - \left( {{{180}^0} - \widehat {DAI} + {{180}^0} - \widehat {CBI}} \right)\)
\(= \widehat {DAI} + \widehat {CBI} = sd{BC} = \widehat {DOC}\) do đó tứ giác \(DOEC\) nội tiếp.
Ta có:
\(\widehat {AEB} = \widehat {AIE} + \widehat {BEI} = \widehat {ADI} + \widehat {BCI} = sd{AB} = \widehat {AOB}\) nên \(AOEB\) cũng là tứ giác nội tiếp.
Gọi \(E'\) là giao điểm của \(OM\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(DOC\).
Thế thì \(ME'.MO = MC.MD\), mà \(MC.MD = MA.MB\) nên \(ME'.MO = MA.MB\).
Từ đó chứng minh được tứ giác \(AOE'B\) nội tiếp. Như vậy \(E'\) là điểm chung khác \(O\) của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AOB\) và \(DOC\). Do đó \(E \equiv E'\) hay \(M,E,O\) thẳng hàng.
Tương tự \(N,I,E\) thẳng hàng.
Ta có: \(\widehat {IEO} = \widehat {AEI} + \widehat {AEO} = \widehat {DAI} + \widehat {OBA}\) (1).
\(\widehat {IEM} = \widehat {IEB} + \widehat {BEM} = \widehat {BCI} + \widehat {OAB}\) (2).
Lại có \(\widehat {DAI} = \widehat {BCI}\) và \(\widehat {OBA} = \widehat {OAB}\) (3).
Từ (1),(2) và (3) ta có \(\widehat {IEO} = \widehat {IEM}\), mà \(\widehat {IEO} + \widehat {IEM} = {180^0}\) nên \(\widehat {IEO} = \widehat {IEM} = {90^0}\) hay \(NI \bot OM\).
Tương tự gọi \(F\) là giao điểm khác \(I\) của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AIB\) và \(DIC\) thì thẳng hàng và \(MI \bot ON\). Vậy \(I\) là trực tâm của \(\Delta OMN\).
-----------------------------------
Định lý Brocard không chỉ là một kiến thức quan trọng trong hình học nâng cao mà còn là công cụ hữu ích để giải các bài toán học sinh giỏi và thi vào lớp 10 chuyên. Hãy kết hợp học lý thuyết với luyện tập các bài toán vận dụng để ghi nhớ sâu định lý và sử dụng linh hoạt trong từng dạng bài.
