Định lý Miquel
Chuyên đề định lý Miquel Toán 9 nâng cao
Trong các chuyên đề hình học nâng cao dành cho học sinh giỏi Toán 9, Định lý Miquel là một trong những định lý quan trọng giúp giải quyết hiệu quả các bài toán về đường tròn, tứ giác và đồng quy. Việc nắm vững phát biểu, điều kiện áp dụng và phương pháp chứng minh định lý Miquel sẽ giúp học sinh phát triển tư duy hình học, đồng thời nâng cao khả năng xử lý các bài toán khó trong kỳ thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 chuyên.
A. Điểm Miquel
|
Cho tứ giác |
Chứng minh:
Hình vẽ minh họa:
Gọi 
\(M\) là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác \(EBC\) và \(FCD\).
Ta có:
\(\widehat {EMD} = \widehat {EMC} + \widehat {CMD}\)\(= \widehat {ABF} + \widehat {AFB} = {180^0} - \widehat {EAD}\)
\(\Rightarrow \widehat {EAD} + \widehat {EMD} = {180^0}\)
Do tứ giác \(EMDA\) nội tiếp hay \(M\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(EAD\). Chứng minh tương tự \(M\) cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(FAB\). Vậy đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \(EBC,FCD,EAD,FAB\) đồng quy tại \(M\). Điểm \(M\) được gọi là điểm Miquel.
B. Đường tròn Miquel
|
Cho tứ giác |
Chứng minh:
Hình vẽ minh họa:
Gọi \(H,I,K\) theo thứ tự là trung điểm của \(FM,BM,CM\). Các đường tròn \((O_1)\) và \((O_2)\) cắt nhau tại \(M\) và \(C\) nên \({O_1}{O_2}\) là đường trung trực của \(MC\), do đó \({O_1}{O_2}\) vuông góc với \(MK\) tại \(K\).
Tương tự \({O_1}{O_4}\) vuông góc với \(MI\) tại \(I\), \({O_2}{O_4}\) vuông góc với \(MH\) tại \(H\).
Nói cách khác \(H,I,K\) theo thứ tự là hình chiếu của \(M\) trên các cạnh \({O_2}{O_4},{O_1}{O_4},{O_1}{O_2}\) của tam giác \({O_1}{O_2}{O_4}\).
Dễ thấy \(IK//BC\) và \(IH//FB\) mà \(F,B,C\) thẳng hàng nên \(H,I,K\) thẳng hàng.
Theo bài toán đảo về đường thẳng Simson, ta có \(M,{O_1},{O_2},{O_4}\) cùng nằm trên một đương tròn.
Tương tự \(M,{O_1},{O_3},{O_4}\) cùng nằm trên một đường tròn.
Vậy năm điểm \(M,{O_1},{O_2},{O_3},{O_4}\) cùng nằm trên một đường tròn.
Đường tròn đi qua năm điểm \(M,{O_1},{O_2},{O_3},{O_4}\) được gọi là đường tròn Miquel.
C. Định lý Miquel
|
Phát biểu: Cho tam giác |
Chứng minh định lý Miquel
Hình vẽ minh họa:
Gọi \(M\) là giao điểm khác \(D\) của đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(BFD,CDE\).
Ta có \(\widehat {AFM} = \widehat {BDM}\) và \(\widehat {AEM} = \widehat {CDM}\) (do \(BFMD,DMEC\) là các tứ giác nội tiếp).
Do đó \(\widehat {AEM} + \widehat {AFM} = \widehat {BDM} + \widehat {CDM} = {180^0}\) nên tứ giác \(AEMF\) nội tiếp hay \(M\) cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\).
Vậy đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(AEF,BDF,CDE\) đồng quy tại \(M\)(đpcm).
-----------------------------------
Định lý Miquel là một công cụ mạnh trong hình học phẳng, mở ra nhiều hướng tiếp cận sáng tạo cho các bài toán chứng minh và quỹ tích. Khi kết hợp định lý với các kiến thức như tứ giác nội tiếp, góc nội tiếp và tam giác đồng dạng, học sinh sẽ nâng cao kỹ năng giải toán, tự tin chinh phục các chuyên đề hình học nâng cao và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi quan trọng.
