Đường thẳng Simmon
Cách chứng minh đường thẳng Simson
Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9, Đường thẳng Simson là một định lý hình học nổi tiếng, thường xuất hiện trong các bài toán về tam giác và đường tròn. Nắm vững điều kiện hình thành, tính chất và phương pháp chứng minh đường thẳng Simson sẽ giúp học sinh giải quyết hiệu quả nhiều bài toán hình học nâng cao và phát triển tư duy suy luận.
Đường thẳng Simson là gì?
|
Cho tam giác |
Chứng minh:
Hình vẽ minh họa:
Tứ giác 
\(MIBH\) có \(\widehat {BHM} + \widehat {BIM} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên là tứ giác nội tiếp \(\Rightarrow \widehat {MIH} = \widehat {MBH}\) (cùng chắn cung \(HM\)), mà tứ giác \(ABMC\) nội tiếp nên \(\widehat {MBH} = \widehat {KCM}\), do đó \(\widehat {MIH} = \widehat {KCM}\).
Mặt khác tứ giác \(KCMI\) nội tiếp (vì )\(\widehat {MIC} = \widehat {MKC} = {90^0}\) nên \(\widehat {KCM} + \widehat {MIK} = {180^0}\)\(\Rightarrow \widehat {MIH} + \widehat {MIK} = {180^0} \Rightarrow \widehat {HIK} = {180^0}\).
Vậy \(H,I,K\) thẳng hàng.
Đường thẳng đi qua \(H,I,K\) được gọi là đường thẳng Simson của điểm .
Chú ý: Ta có bài toán đảo về bài toán Simson như sau: Cho tam giác \(ABC\) và một điểm \(M\) nằm ngoài tam giác. Chứng minh rằng nếu hình chiếu của \(M\) lên ba cạnh của tam giác \(ABC\) là ba điểm thẳng hàng thì \(M\) nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
-----------------------------
Đường thẳng Simson là một kiến thức quan trọng trong hình học Euclid, đặc biệt hữu ích đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi và luyện thi vào lớp 10 chuyên. Việc luyện tập thường xuyên các bài toán vận dụng sẽ giúp học sinh hiểu sâu bản chất định lý, nâng cao kỹ năng chứng minh và tăng khả năng xử lý các bài toán hình học tổng hợp.
