Đường thẳng Steiner
Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán 9 về đường thẳng Steiner
Trong các chuyên đề hình học nâng cao dành cho học sinh giỏi Toán 9, Đường thẳng Steiner là một kiến thức quan trọng thường xuất hiện trong các bài toán về tam giác, đường tròn và các điểm đặc biệt. Hiểu rõ khái niệm, tính chất và phương pháp chứng minh đường thẳng Steiner sẽ giúp học sinh rèn luyện tư duy hình học, nâng cao kỹ năng chứng minh và giải quyết hiệu quả các bài toán khó trong kỳ thi học sinh giỏi cũng như tuyển sinh vào lớp 10 chuyên.
Đường thẳng Steiner là gì?
|
Cho tam giác |
Chứng minh:
Hình vẽ minh họa:
Gọi 
\(H;I;K\) theo thứ tự là hình chiếu của \(M\) lên \(AB,BC,CA\); thế thì \(H;I;K\) thẳng hàng (đường thẳng Simson).
Dễ thấy \(IH\) là đường trung bình của tam giác \(MNP\). Tương tự \(IK//PQ\). Theo tiên đề Ơ-clit và do \(H;I;K\) thẳng hàng nên suy ra \(N,P,Q\) thẳng hàng.
Đường thẳng đi qua \(N,P,Q\) được gọi là đường thẳng Steiner của điểm \(M\).
Chú ý:
a) Ta có thể chứng minh ba điểm \(N,P,Q\) thẳng hàng bằng cách dùng phép vị tự: Các điểm \(N,P,Q\) lần lượt là ảnh của \(H;I;K\) trong phép vị tự tâm \(M\) tỉ số 2, mà \(H;I;K\) thẳng hàng nên \(N,P,Q\) cũng thẳng hàng.
Như vậy đường thẳng Steiner là ảnh của đường thẳng Simson trong phép vị tự tâm \(M\) tỉ số 2.
b) Đường thẳng Steiner đi qua trực tâm của tam giác \(ABC\).
Thật vậy, gọi \(D\) là trực tâm của tam giác \(ABC;BD,CD\) cắt \((O)\) lần lượt ở \(E;F\). Dễ dàng chứng minh được \(E\) đối xứng với \(D\) qua \(AC\), \(F\) đối xứng với \(D\) qua \(AB\).
Ta có \(FDMN\) là hình thang cân nên \(\widehat {{F_1}} = \widehat {{N_1}}\) mà \(\widehat {{F_1}} = \widehat {{B_1}} = \widehat {{H_1}}\) (Tính chất góc nội tiếp) , do đó . Suy ra \(ND//HK\).
Vậy \(N,D,Q\) thẳng hàng hay đường thẳng Steiner đi qua trực tâm của tam giác \(ABC\).
Cách khác:
Hình vẽ minh họa:
Gọi \(AS,BJ,CR\) là các đường cao của tam giác \(ABC\), \(D\) là trực tâm.
Ta có \(\widehat {ANB} = \widehat {AMB}\) (tính chất đối xứng). Lại có \(\widehat {AMB} = \widehat {ADJ}\) (cùng bù với \(\widehat {SDJ}\)).
Suy ra \(\widehat {ANB} = \widehat {ADJ}\) nên \(ADBN\) là tứ giác nội tiếp, do đó \(\widehat {NAB} = \widehat {NDB}\).
Mà \(\widehat {NAB} = \widehat {MAB} \Rightarrow \widehat {NDB} = \widehat {MAB}\). Chứng minh tương tự \(\widehat {CDQ} = \widehat {CAM}\).
Ta có:
\(\widehat {NDB} + \widehat {CDQ} = \widehat {MAB} + \widehat {CAM} = \widehat {BAC}\)
\(\Rightarrow \widehat {NDQ} = \widehat {NDB} + \widehat {BDC} + \widehat {CDQ}\)\(= \widehat {BAC} + \widehat {BDC} = {180^0}\).
Vậy \(N,D,Q\) thẳng hàng hay đường thẳng Steiner đi qua trực tâm của tam giác \(ABC\).
----------------------------------------
Đường thẳng Steiner là một trong những nội dung giàu tính ứng dụng trong hình học Euclid, đặc biệt ở các bài toán tổng hợp và chứng minh nâng cao. Khi nắm vững các tính chất và luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau, học sinh sẽ phát triển tư duy logic, mở rộng phương pháp giải toán và tự tin chinh phục các đề thi học sinh giỏi Toán 9.
