Đường tròn Euler

Tài liệu Toán 9 nâng cao về đường tròn Euler

Trong các chuyên đề hình học nâng cao dành cho học sinh giỏi Toán 9, Đường tròn Euler là một kiến thức quan trọng gắn liền với nhiều điểm đặc biệt của tam giác. Việc hiểu rõ khái niệm, tính chất, cách chứng minh và ứng dụng của đường tròn Euler sẽ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán hình học tổng hợp và nâng cao tư duy chứng minh.

Đường tròn Euler là gì?

Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AD,BE,CF\) đồng quy tại \(H\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CA,AB\); \(S,R,Q\) lần lượt là trung điểm của \(HA,HB,HC\). Chứng minh rằng chín điểm \(D,E,F,M,N,P,S,R,Q\) cùng nằm trên một đường tròn.

Chứng minh 

Hình vẽ minh họa:

Trong tam giác \(ABH\) thì \(PR\) là đường trung bình nên \(PR//AH\) và \(PR = \frac{1}{2}AH\).

Trong tam giác \(ACH\) thì \(NQ\) là đường trung bình nên \(NQ//AH\) và \(NQ = \frac{1}{2}AH\).

Do đó \(PR//NQ\) và \(PR = NQ\) nên \(PNQR\) là hình bình hành. Mặt khác \(PR//AH\) mà \(AH \bot BC\) nên \(PR \bot BC\) , lại có \(PN//BC\) (\(PN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)).

Suy ra \(PN \bot PR\), do đó \(PNQR\) là hình chữ nhật. Gọi \(I\) là giao điểm của \(PQ\) và \(RN\) thì \(IP = IN = IR = IQ\).

Chứng minh tương tự ta có \(IS = IM = IN = IR\).

Ta được \(IP = IQ = IN = IR = IS = IM\).

Tam giác \(FPQ\) vuông tại \(F\) có \(I\) là trung điểm của \(PQ\) nên \(IF = IP = IQ\). Tương tự \(IE = IR = IN\); \(ID = IS = IM\).

Suy ra \(ID = IE = IF = IM = IN = IP = IS = IR = IQ\).

Vậy chín điểm \(D,E,F,M,N,P,S,R,Q\) cùng nằm trên đường tròn tâm \(I\).

Đường tròn đi qua chín điểm được gọi là đường tròn Euler của tam giác \(ABC\).

Chú ý:

a) Tâm đường tròn Euler nằm trên đường thẳng Euler.

Thật vậy, gọi \(G\) và O theo thứ tự là trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Ta chứng minh được \(OM = \frac{1}{2}AH = SH\), lại có \(OM//SH \Rightarrow OMHS\) là hình bình hành. Mà \(I\) là trung điểm của \(SM\) nên cũng là trung điểm của \(OH\).

Như vậy bốn điểm \(H,I,O,G\) thẳng hàng, tứ là tâm đường tròn Euler nằm trên đường thẳng Euler.

b) Bán kính đường tròn Euler bằng \(\frac{R}{2}\)(với \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)). Thật vậy, ta có  là đường trung bình của  nên \(IS = \frac{{OA}}{2} = \frac{R}{2}\).

---------------------------------------------

Đường tròn Euler không chỉ là một nội dung trọng tâm trong hình học nâng cao mà còn xuất hiện trong nhiều bài toán học sinh giỏi và đề thi vào lớp 10 chuyên. Khi nắm vững các tính chất và phương pháp vận dụng, học sinh sẽ có thêm công cụ mạnh để xử lý những bài toán hình học phức tạp và phát triển tư duy logic.