Giải Toán 8 bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Giải SGK Toán 8 trang 20, 21

Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

A. Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
B. Trả lời câu hỏi trang 20 SGK Toán 8 tập 1
- Câu hỏi 1 trang 20 SGK Toán 8 tập 1
- Câu hỏi 2 trang 20 SGK Toán 8 tập 1
C. Giải bài tập trang 20, 21 SGK Toán 8 tập 1

Giải bài tập SGK Toán lớp 8 bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức với lời giải chi tiết, rõ ràng theo khung chương trình sách giáo khoa Toán lớp 8. Lời giải SGK Toán 8 bao gồm đáp án chi tiết cho các câu hỏi trong SGK Toán lớp 8 trang 20, 21, giúp học sinh ôn tập và củng cố các dạng bài tập, rèn luyện kỹ năng giải Toán 8 hiệu quả. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

A. Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

1. Định nghĩa

+ Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Ta sẽ đưa đa thức cần phân tích về dưới dạng của hằng đẳng thức rồi phân tích thành nhân tử bằng các hằng đẳng thức (hay gặp như hiệu hai bình phương, tổng hai lập phương, hiệu hai lập phương,…)

+ Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

${\left( {3x - 1} \right)^2} - 16$ ${\left( {3x - 1} \right)^2} - 16$

Nhận xét: ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để phân tích đa thức thành nhân tử

Lời giải:

${\left( {3x - 1} \right)^2} - 16 = {\left( {3x - 1} \right)^2} - {4^2} = \left( {3x - 1 - 4} \right)\left( {3x - 1 + 4} \right) = 3\left( {3x - 5} \right)\left( {x + 1} \right)$ ${\left( {3x - 1} \right)^2} - 16 = {\left( {3x - 1} \right)^2} - {4^2} = \left( {3x - 1 - 4} \right)\left( {3x - 1 + 4} \right) = 3\left( {3x - 5} \right)\left( {x + 1} \right)$

B. Trả lời câu hỏi trang 20 SGK Toán 8 tập 1

Câu hỏi 1 trang 20 SGK Toán 8 tập 1

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x³+ 3x²+ 3x + 1;

b) (x + y)²- 9x².

Đáp án:

a) x³+ 3x²+ 3x + 1 = x³ + 3x².1 + 3x.1² + 1³ = (x + 1)³

b) (x + y)²– 9x²= (x + y)² – (3x)²

= (x + y + 3x)(x + y - 3x)

= (4x + y)(-2x + y)

Câu hỏi 2 trang 20 SGK Toán 8 tập 1

Tính nhanh: 105² – 25.

Đáp án:

105² - 25 = 105² - 5²

= (105 + 5)(105 - 5)

= 110.100

= 11000

C. Giải bài tập trang 20, 21 SGK Toán 8 tập 1

Bài 43 trang 20 SGK Toán 8 Tập 1

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) ${x^2} + 6x + 9$ ${x^2} + 6x + 9$

c) $8{x^3}-\dfrac{1}{8}$ $8{x^3}-\dfrac{1}{8}$

b) $10x - 25 - {x^2}$ $10x - 25 - {x^2}$

d) $\dfrac{1}{25}{x^2} - 64{y^2}$ $\dfrac{1}{25}{x^2} - 64{y^2}$

Đáp án:

a)

$\begin{array}{l} \;\;{x^2} + 6x + 9 = {x^2} + 2.x.3 + {3^2}\\ = {\left( {x + 3} \right)^2}.\\ \end{array}$ $\begin{array}{l} \;\;{x^2} + 6x + 9 = {x^2} + 2.x.3 + {3^2}\\ = {\left( {x + 3} \right)^2}.\\ \end{array}$

b)

$\begin{array}{l} \;10x - 25 - {x^2} \\= - \left( - 10x + 25+{{x^2}} \right)\\= - \left( {{x^2} - 10x + 25} \right) \\=-(x^2-2.x.5+5^2)\\= - {\left( {x - 5} \right)^2}.\\ \end{array}$ $\begin{array}{l} \;10x - 25 - {x^2} \\= - \left( - 10x + 25+{{x^2}} \right)\\= - \left( {{x^2} - 10x + 25} \right) \\=-(x^2-2.x.5+5^2)\\= - {\left( {x - 5} \right)^2}.\\ \end{array}$

c)

$\begin{array}{l} \;8{x^3} - \dfrac{1}{8} = {\left( {2x} \right)^3} - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3}\\ = \left( {2x - \dfrac{1}{2}} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} \right]\\ = \left( {2x - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {4{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} \right).\\ \end{array}$ $\begin{array}{l} \;8{x^3} - \dfrac{1}{8} = {\left( {2x} \right)^3} - {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3}\\ = \left( {2x - \dfrac{1}{2}} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} \right]\\ = \left( {2x - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {4{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} \right).\\ \end{array}$

d)

$\begin{array}{l} \;\dfrac{1}{{25}}{x^2} - 64{y^2} = {\left( {\dfrac{1}{5}x} \right)^2} - {\left( {8y} \right)^2}\\ = \left( {\dfrac{1}{5}x - 8y} \right)\left( {\dfrac{1}{5}x + 8y} \right). \end{array}$ $\begin{array}{l} \;\dfrac{1}{{25}}{x^2} - 64{y^2} = {\left( {\dfrac{1}{5}x} \right)^2} - {\left( {8y} \right)^2}\\ = \left( {\dfrac{1}{5}x - 8y} \right)\left( {\dfrac{1}{5}x + 8y} \right). \end{array}$

Bài 44 trang 20 SGK Toán 8 Tập 1

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) ${x^3} + \dfrac{1}{27}$ ${x^3} + \dfrac{1}{27}$

c) (a + b)³+ (a – b)³

e) –x³+ 9x²– 27x + 27

b) (a + b)³– (a – b)³

d) 8x³+ 12x²y + 6xy²+ y³

Đáp án:

a)

$\begin{array}{l} \,\,{x^3} + \dfrac{1}{{27}} = {x^3} + {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3}\\ = \left( {x + \dfrac{1}{3}} \right)\left[ {{x^2} - \dfrac{1}{3}x + {{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^2}} \right]\\ = \left( {x + \dfrac{1}{3}} \right)\left( {{x^2} - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{9}} \right) \end{array}$ $\begin{array}{l} \,\,{x^3} + \dfrac{1}{{27}} = {x^3} + {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3}\\ = \left( {x + \dfrac{1}{3}} \right)\left[ {{x^2} - \dfrac{1}{3}x + {{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^2}} \right]\\ = \left( {x + \dfrac{1}{3}} \right)\left( {{x^2} - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{9}} \right) \end{array}$

b) (a + b)³ – (a – b)³

(Xuất hiện hằng đẳng thức (7))

= [(a + b) – (a – b)][(a + b)² + (a + b).(a – b) + (a – b)²]

= (a + b – a + b)(a² + 2ab + b² + a² – b²+ a² – 2ab + b²)

= 2b.(3a²+ b²)

c) (a + b)³ + (a – b)³

(Xuất hiện hằng đẳng thức (6))

= [(a + b) + (a – b)][(a + b)² – (a + b)(a –b) + (a – b)²]

= [(a + b) + (a – b)][(a² + 2ab + b²) – (a² – b²) + (a² – 2ab + b²)]

= (a + b + a – b)(a² + 2ab + b² – a² + b² + a² – 2ab + b²)

= 2a.(a² + 3b²)

d) 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³

= (2x)³ + 3.(2x)².y + 3.2x.y² + y³

(Xuất hiện hằng đẳng thức (4))

= (2x + y)³

e) –x³ + 9x² – 27x + 27

= (–x)³ + 3.(–x)².3 + 3.(–x).3² + 3³

(Xuất hiện Hằng đẳng thức (4))

= (–x + 3)³

= (3 – x)³

Bài 45 trang 20 SGK Toán 8 Tập 1

Tìm x, biết:

a) $2 - 25x^2= 0$

b) $x^2- x + \dfrac{1}{4} = 0$ $x^2- x + \dfrac{1}{4} = 0$

Đáp án:

a) $2 - 25x^2= 0$

$(\sqrt2)^2 - (5x)^2 = 0$ $(\sqrt2)^2 - (5x)^2 = 0$

$(\sqrt 2 - 5x)( \sqrt 2 + 5x) = 0$ $(\sqrt 2 - 5x)( \sqrt 2 + 5x) = 0$

$\Rightarrow \sqrt 2 - 5{\rm{x}} = 0$ $\Rightarrow \sqrt 2 - 5{\rm{x}} = 0$ hoặc $\sqrt 2 + 5{\rm{x}} = 0$ $\sqrt 2 + 5{\rm{x}} = 0$

+) Với $\sqrt 2 - 5{\rm{x}} = 0\Rightarrow 5{\rm{x}}=\sqrt 2\Rightarrow x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}$ $\sqrt 2 - 5{\rm{x}} = 0\Rightarrow 5{\rm{x}}=\sqrt 2\Rightarrow x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}$

+) Với $\sqrt 2 + 5{\rm{x}} = 0\Rightarrow 5{\rm{x}}=-\sqrt 2\Rightarrow x = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{5}$ $\sqrt 2 + 5{\rm{x}} = 0\Rightarrow 5{\rm{x}}=-\sqrt 2\Rightarrow x = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{5}$

Vậy $x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}$ $x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}$ hoặc $x = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{5}$ $x = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{5}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} 2 - 25{x^2} = 0 \Rightarrow 25{x^2} = 2\\ \Rightarrow {x^2} = \dfrac{2}{{25}} \end{array}$ $\begin{array}{l} 2 - 25{x^2} = 0 \Rightarrow 25{x^2} = 2\\ \Rightarrow {x^2} = \dfrac{2}{{25}} \end{array}$

$\Rightarrow x = \sqrt {\dfrac{2}{{25}}}$ $\Rightarrow x = \sqrt {\dfrac{2}{{25}}}$ hoặc $x = -\sqrt {\dfrac{2}{{25}}}$ $x = -\sqrt {\dfrac{2}{{25}}}$

$\Rightarrow x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}$ $\Rightarrow x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}$ hoặc $x = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{5}$ $x = -\dfrac{{\sqrt 2 }}{5}$

b) $x^2- x + \dfrac{1}{4} = 0$ $x^2- x + \dfrac{1}{4} = 0$

$x^2- 2 . x . \dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}= 0$ $x^2- 2 . x . \dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}= 0$

${\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0$ ${\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0$

$\Rightarrow x - \dfrac{1}{2}= 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow x - \dfrac{1}{2}= 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$

Vậy $x = \dfrac{1}{2}.$ $x = \dfrac{1}{2}.$

Bài 46 trang 21 SGK Toán 8 Tập 1

Tính nhanh:

a) 73² - 27²;

c) 2002² - 2²

b) 37² - 13²;

Đáp án:

a) 73² - 27² = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600

b) 37² - 13² = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200

c) 2002² - 2² = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000

Bài tiếp theo: Giải Toán 8 bài 8 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Xem thêm:

Trên đây, VnDoc đã gửi tới các bạn tài liệu Giải Toán 8 bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Để tham khảo lời giải những bài tiếp theo, mời các bạn vào chuyên mục Giải bài tập Toán lớp 8 trên VnDoc nhé. Chuyên mục tổng hợp lời giải Toán lớp 8 theo từng đơn vị bài học giúp các em nắm vững kiến thức được học trong từng bài, từ đó học tốt Toán 8 hơn.

Ngoài Soạn Toán 8, mời các bạn tham khảo thêm Giải SBT Toán 8, Giải Vở BT Toán 8 và các đề thi học học kì 1 lớp 8, đề thi học học kì 2 lớp 8 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa... được cập nhật liên tục trên VnDoc.