Toán học

Số chính phương là gì?

Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên.

Tức là: Nếu n là số chính phương thì n = k² (k ∈ Z)

Ví dụ: 4 = 2², 9 = 3², 100 = 10²

Một số tính chất

Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2

Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Một số tính chất

Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không bao giờ có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.

Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.

Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).

Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N).

Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.

Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.

Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.

Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.

Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4

Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2

Số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.

Ta có: n⁶ - n ⁴ + 2n³ + 2n² = n². (n⁴ - n² + 2n +2)

= n². [n²(n-1)(n+1) +2(n+1)]

= n²[(n+1)(n³ - n² + 2)]

= n²(n + 1) . [(n³ + 1) - (n² - 1)]

= n²(n + 1)² . (n² - 2n + 2)

Với nN, n > 1 thì n² - 2n + 2 = ( n -1)² + 1 > ( n - 1)²

Và n² - 2n + 2 = n² - 2(n - 1) < n²

Vậy (n - 1)² < n² - 2n + 2 < n² => n² - 2n + 2 không phải là một số chính phương.

Ta có:

k(k + 1)(k + 2) = k (k + 1)(k + 2). 4

= k(k + 1)(k + 2).

= k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1)

=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)

=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1

Theo kết quả bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là số chính phương.

# Bài toán về quãng đường nhảy xa của lực sĩ Báo

**Đề bài:**

Lực sĩ Báo thi nhảy xa năm bước. Ba bước đầu của lực sĩ là 605cm, hai bước nhảy cuối cùng của lực sĩ là 580cm.

a) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng ......... cm

b) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng ......... m ......... cm

**Giải:**

a) Tính tổng quãng đường lực sĩ Báo nhảy được (tính bằng cm)

Tổng quãng đường = Ba bước đầu + Hai bước cuối

Tổng quãng đường = 605 cm + 580 cm = 1185 cm

b) Chuyển đổi kết quả từ cm sang m và cm

Để chuyển từ cm sang m, ta chia cho 100:

1185 cm = 1185 ÷ 100 = 11,85 m

Viết dưới dạng m và cm:

1185 cm = 11 m 85 cm

**Đáp số:**

a) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng 1185 cm

b) Lực sĩ Báo nhảy được tổng cộng 11 m 85 cm

Gọi x; y; z là số vòng mà mỗi bánh răng quay được trong mỗi phút (x; y; z > 0)

Vì số răng của bánh răng tỉ lệ nghịch với số vòng quay được trong một phút nên ta có:

12x = 24y = 18z

Theo bài số vòng quay của bánh răng A quay được trong mỗi phút là 6 vòng nên x = 6

Khi đó: 12.6 = 24y = 18z = 72

Suy ra z = 4

Vậy Số vòng quay của bánh C quay được trong mỗi phút là 4 vòng

13) 2x² + 3x + 1 = 0

2x² + 2x + x + 1 = 0

2x(x +1) + (x + 1) = 0

(x + 1)(2x + 1) = 0

x = -1 hoặc x = -1/2

14) x² - 5x + 6 = 0

x² -2x - 3x + 6 = 0

x(x - 2) -3(x - 2) = 0

(x - 2)(x - 3) = 0

x = 2 hoặc x = 3

41) x² - 16x + 84 = 0

x² - 16x + 64 + 20 = 0

(x - 8)² + 20 = 0

=> Phương trình vô nghiệm

c) Xét tam giác ADK và tam giác HDC có:

\(\hat{DAK}=\hat{DHC}=90^{\circ}\)

AD = HD

\(\hat{ADK}=\hat{HDC}\) (2 góc đối đỉnh)

=> tam giác ADK = tam giác HDC (gcg)

=> \(\left\{\begin{matrix} DK = DC \\ AK=HC \end{matrix}\right.\) (2 cạnh tương ứng) (1)

Mà tam giác ABD = tam giác HBD (cma)

=> AB = HB (2)

BK = AB + AK và BC = BH + HC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BK = BC và DK = DC

=> BD là đường trung trực của KC

Mà I là trung điểm của KC

=> B, D, I thẳng hàng

Bài 1:

a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{3}=\frac{y}{6}=\frac{x+y}{3+6}=\frac{45}{9}=5\)

Do đó:

x = 3.5 =15

y = 6.5 = 30

b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{-3}=\frac{y}{-6}=\frac{x+y}{(-3)+(-6)}=\frac{45}{-9}=-5\)

Do đó:

x = 3.(- 5)= -15

y = 6.(-5) = - 30

c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{9}=\frac{y}{11}=\frac{x+y}{9+11}=\frac{60}{20}=3\)

Do đó:

x = 9.3 =27

y = 11.3 = 33