Tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh tam giác ABC cân

4.1

Xét tam giác ABC có BD và CE là đường trung tuyến

=> \(BG=\frac{2}{3}BD;\ CG=\frac{2}{3\ }CE\)

Ta có BD < CE

=> \(\frac{3}{2}BG<\frac{3}{2}CG\)

=> BG < CG

=> \(\hat{GCB}<\hat{GBC}\)

4.2

Gọi G là giao điểm BD và CE khi đó ta có G là trọng tâm tam giác ABC

=> \(BG=\frac{2}{3}BD;\ CG=\frac{2}{3\ }CE\)

Mà BD = CE nên suy ra BG = CG

Do đó tam giác BGC là tam giác cân => \(\hat{GCB}<\hat{GBC}\)

=> Xét tam giác BCD và tam giác CBE có:

BD = CE

\(\hat{GCB}<\hat{GBC}\)

BC chung

=> Tam giác BCD = tam giác CBE (cgc)

=> \(\hat{DCB}<\hat{EBC}\)

=> Tam giác ABC cân tại A

4.3

Ta có \(IM=\frac{1}{2}BM\)

=> \(IM=\frac{1}{2}CM\)

=> \(CM=\frac{2}{3}CI\)

Xét tam giác ACE có CI là đường trung tuyến

Mà \(CM=\frac{2}{3}CI\)

=> M là trọng tâm tam giác ACE

b) Ta có F là trung điểm CE

Xét tam giác ACE có AF là đường trung tuyến

Mà M là trọng tâm tam giác ACE

=> AF đi qua M

=> A, M, F thẳng hàng

4.4

Tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G

Ta có: AM= 3/2 AG, BN=3/2 BG, CP=3/2 CG....

Trên tia đối của PG lấy sao cho PQ = PG hay GQ = GC

Tam giác AQB = t.giác BGA ( tự chứng minh) => AQ=BG

Xét t.giác AQG, có: AG+ AQ> GQ ( bất đẳng thức trong tam giác)

=> AG + AQ > CG

=> 2/3 AM + 2/3 BN > 2/3 CP

=> AM + BN > CP (đpcm)